空间点、直线、平面之间的位置关系.ppt
1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空 间图形的位置关系的简单命题.,1.平面的基本性质,2.直线与直线的位置关系,(2)平行公理：,平行于同一条直线的两条直线平行,思考探究,垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系？,提示：可能平行、相交或异面.,(3),3.直线和平面的位置关系,4.平面与平面的位置关系,1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()A.Al，l B.Al，l C.Al，l D.Al，l,解析：本小题考查立体几何中的符号语言.,答案：B,2.已知a，b是异面直线，直线ca，则c与b()A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线,解析：c与b不可能是平行直线，否则cb，又ca，则有ab，与a，b异面矛盾.,答案：C,3.直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线 的平面的个数为()A.1 B.3 C.6 D.0,解析：如图所示，可知确定3个平面.,答案：B,4.若直线l上有两点到平面的距离相等，则直线l与平面 的关系是.,解析：当这两点在的同侧时，l与平行；当这两点在的异侧时，l与相交.,答案：平行或相交,5.(文)如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且 是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是.,解析：中PQRS，中RSPQ，中RS和PQ相交.,答案：,(理)在正方体ABCDA1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是.,解析：如图所示，取CC1的中点N，连结MN，DN，则MN AD，四边形AMND为平行四边形，AM DN，B1DN即为异面直线所成角.连结B1N，设正方体棱长为a，则B1D a，DN a，B1N a，cosB1DN.,答案：,1.公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个 平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.这三个推论可以作为证明共面问题的理论依据.,2.证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况，其 常用方法如下：(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内.(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再 证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合.,如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC AD，BE FA，G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？,思路点拨,(2)方法一：证明D点在EF、CH确定的平面内.方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M，可证M与M重合，从而FE与DC相交.,课堂笔记(1)证明：由已知FGGA，FHHD，可得GH AD.又BC AD，GH BC，四边形BCHG是平行四边形.,(2)法一：由BE AF，G为FA中点知BE GF，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面.又DFH，C、D、F、E四点共面.,法二：如图，延长FE、DC分别与AB交于点M，M，BE AF，B为MA的中点，BC AD，B为MA的中点，M与M重合，即EF与CD相交于点M(M)，C、D、E、F四点共面.,1.证明共线问题的理论依据 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过这个点的公共直线.2.证明共线问题的常用方法(1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；,(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交 两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个 适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的 公共点.,如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证：M、N、K三点共线.,思路点拨,课堂笔记 M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K三点共线.,在四面体ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EFGHP，求证：B、D、P三点共线.,证明：EAB，FAD，EF平面ABD，同理，GH平面BCD，又EFGHP，P平面ABD，P平面BCD，而平面ABD平面BCDBD，P直线BD，即B、D、P三点共线.,1.异面直线的判断方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.(2)反证法：反证法是证面异面直线的常用方法.定义法仅仅用来直观判断，直观判断还可用以下结论：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过 该点的直线是异面直线.,2.(理)异面直线所成角(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法 一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用 特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.(2)求异面直线所成角的步骤：作：通过作平行线，得到相交直线；证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；求：通过解三角形，求出该角.,(2009辽宁高考改编)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一个平面内，M、N分别为AB、DF的中点.(1)(文)若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长；(1)(理)若平面ABCD平面DCEF，求异面直线MN与AF所成的角；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线.,思路点拨,课堂笔记(1)(文)取CD的中点G，连结MG，NG，因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG.因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF.可得MGNG，所以MN.,(1)(理)如图，取EF的中点G，连结MG，则GF CD，又MA CD，GF MA.四边形MAFG为平行四边形，MG AF.GMN即为异面直线MN与AF所成的角.连结AN，NG，设正方形棱长为a，,则有MG a，NG a，MN a，在MNG中，cosGMN，GMN30，此即为异面直线MN与AF所成的角.,(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN.又ABCDEF，所以ENEF，这与ENEFE矛盾，故假设不成立.所以ME与BN不共面，它们是异面直线.,(文)空间两直线位置关系的判定，特别是两直线异面与共面的判定是高考对本节内容的考查热点，2009年湖南高考考查了共面直线的判定问题，是较典型的代表.,(理)通过将直线平移将异面直线所成的角(空间角)转化为平面角，进而通过解三角形求角来刻画空间两直线的位置关系，是高考的一个常考知识点.2009年上海高考以正四棱柱为载体，考查了异面直线所成的角，代表着此类问题考查的方向.,考题印证(文)(2009湖南高考)平行平面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面，也与CC1共面的棱的条数为()A.3 B.4 C.5 D.6,【解析】根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件.,【答案】C,(理)(2009上海高考改编)如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的余弦值为.,【解析】由题意知，A1D1AD，A1D1B即为异面直线BD1与AD所成的角.连结A1B，则A1D1A1B，由底面边长为2，高为4，得A1B 2，BD1 2，cosA1D1B.,【答案】,自主体验(文)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由.(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.,解：(1)不是异面直线.理由：连接MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1A C1C，A1ACC1为平行四边形.A1C1AC，得到MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.,(2)是异面直线，证明如下：ABCDA1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾.假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.,(理)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：ABEF；AB与CM成60角；EF与MN是异面直线；MNCD，其中正确的是()A.B.C.D.,解析：将展开图还原为正方体，由于EFND，而NDAB，EFAB；显然AB与CM平行；EF与MN是异面直线，MN与CD也是异面直线，故正确，错误.,答案：D,1.(2010大连模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线 为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行.若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点.,答案：A,2.以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.A.0 B.1 C.2 D.3,解析：若有三点共线，则这四点共面，故正确；若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E不一定共面，故错误；若a、b共面，a、c共面，则b、c共面或异面，故错误；依次首尾相接的四条线段可能共面，也可能不共面，如空间四边形，故错误.,答案：B,3.(2009四川高考改编)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底 面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论 正确的是()A.PBAD B.平面PAB平面PBC C.直线BC平面PAE D.PB与AD是异面直线,解析：PB在底面射影为AB，AB与AD不垂直，PB与AD不垂直，排除A.又BDAB，BDPA，BD面PAB.但BD不在面PBC内，排除B.BDAE，BD面PAE，BC与面PAE不平行，排除C.PB平面ABD于点B，面AD是平面ABD内不过B点的直线，PB与AD是异面直线.,答案：D,4.(文)如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的十 二条棱中，共有异面直线对。,解析：如图，正方体ABCDA1B1C1D1中与AB异面的有C1C、D1D、B1C1、A1D1，因为各棱具有相同的位置，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算，所以异面直线共有 24对.,答案：24,(理)如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD2AB4，EFAB，则EF与CD所成的角是.,解析：取AD中点G，连结EG，FG，则EG CD，FG AB，FEG即为EF与CD所成的角.由条件知EFFG，且FG1，EG2，sinFEG，FEG30.,答案：30,5.正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，则正方体的过P、Q、R的截面图形是.,解析：分别取BB1、C1D1、D1D的中点E、F、G，则正方体的过P、Q、R的截面是PERFGQ.连结BD、B1D1，则QP BD，FR B1D1，又B1D1 BD，QP FR，同理，GF PE，QG ER.PERFGQ是正六边形.,答案：正六边形,6.(文)如图，已知平面，且 l.设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB，CD，l共点(相交于一点).,证明：梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两条腰，AB，CD必定相交于一点.如图，设ABCDM.又AB，CD，M，且M，M.又 l，Ml，即AB，CD，l共点.,(理)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.,解：(1)连结A1D，则A1D B1C，C1A1D即为A1C1与B1C所成的角.连结C1D，则A1C1A1DC1D，C1A1D60即为异面直线所成的角.(2)连结AC，由于E、F分别是AB、AD的中点，ACEF，又ACA1C1，A1C1EF，即A1C1与EF所成角为90.,
