空间向量及其运算⑷-两个向量的数量积.ppt
2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,1,第九章直线、平面、简单几何体,2023/9/14,王新敞,9.5空间向量及其运算,两个向量的数量积,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,2,空间向量的基本定理,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数对 x、y、z，使,A,B,D,C,O,思路：作,E,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,3,推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对 x、y、z使,O,A,B,C,P,P,P,注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底如：,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,4,教学过程,一、几个概念,1）两个向量的夹角的定义,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,5,2）两个向量的数量积,注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,6,3）射影,B,A,A1,根据以上定义正射影（简称射影）是一个向量！,向量 在 方向上的射影的长度为,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,7,4)空间向量的数量积性质,注意：性质2）是证明两向量垂直的依据；性质3）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量，有：,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,8,5)空间向量的数量积满足的运算律,注意：,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,9,二、课堂练习,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,10,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,11,三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l,分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。,l,要证l与g垂直，只需证lg0,而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn,要证lg0,只需l g=xlm+yln=0,而lm0，ln0,故 lg0,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,12,三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l,证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn,lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg lg 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,13,例2：已知：在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，求证：OCAB,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,14,例3 如图，已知线段在平面 内，线段，线段，线段，如果，求、之间的距离。,解：由，可知.由 知.,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,15,例4已知在平行六面体中，,求对角线的长。,解：,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,16,1.已知线段、在平面 内，线段，如果，求、之间的距离.,解：,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,17,2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是边的中点。求证：。,同理，,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,18,3.已知空间四边形，求证：。,证明：,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,19,4.如图，已知正方体，和 相交于点，连结，求证：。,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,20,思考题：利用向量知识证明三垂线定理,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,21,已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的数量积：,作业讲评,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,22,课堂小结：,1正确分清楚空间向量的夹角.,2两个向量的数量积的概念、性质和计算方法.,2023/9/14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,23,本讲到此结束，请同学们课后再做好复习.谢谢！,再见！,作业：P40 9.5 3,
