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第6章 离散时间体统z域分析,6.1 Z变换6.2 Z变换的性质6.3 信号的Z变换求法6.4 反Z变换 6.5 离散时间系统的Z变换分析法6.6 数字滤波器的概念,6.1 Z变换,6.1.1 Z变换的定义 一般来说，常把具有单位响应h(n)的离散时间非时变系统的双边Z变换（简称Z变换）定义为,(61),而对信号x(n)的双边Z变换定义为,(62),正像有双边和单边拉普拉斯变换一样，Z变换也分为单边Z变换和双边Z变换。（62）式所示的是双边Z变换，而单边Z变换定义为,(63),例61 已知x(n)=u(n)求其Z变换表达式。解 由（62）式可知：,(64),由等比数列求和的性质可知，（64）式的级数在|z-1|1时是发散的，只有在|z-1|1时才收敛。这时无穷级数可以用封闭形式表示为,(65),6.1.2 Z变换的收敛域 1.收敛域的定义 与拉普拉斯变换的收敛域的定义相类似，Z变换的收敛域的定义为：能使某一序列x(n)的Z变换 级数收敛的z平面上z值的集合。序列Z变换级数绝对收敛的条件是绝对可和，即要求,(66),因为,为满足上述绝对可和的条件，就必须要对|z|有一定范围的限制。这个范围一般可表示为 由此可见Z变换的收敛域为z平面上是一个以Rx-及Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，如图6.1所示。,(67),图6.1 环形收敛域,2.序列x(n)的特性与X(z)的收敛域 由（66）式很容易知道X(z)的收敛域不仅与|z|有关，还与序列x(n)的特性有关。为说明二者之间的关系根据序列的不同分四种情况讨论。1)有限长序列,(1)n10,n20时，有,上式中除了第一项的z=处及第二项中的z=0处外都收敛，所以总收敛域为0|z|。有时将这个开域(0,)称为“有限z平面”。,(2)n10,n20时，有 显然其收敛域为0|z|，是包括零点的半开域，即除z=外都收敛。(3)n10,n20时，有 显然其收敛域为0|z|，是包括z=的半开域，即除z=0外都收敛。,(4)特殊情况，n1=n2=0时，这就是序列，它的收敛域为整个闭域z平面，即0|z|。2)右边序列,的Z变换为,(1)n10时，这时的右边序列就是因果序列。,因此，n10时的右边序列的收敛域可以写成|z1|z|，如图（6.2）所示。(2)n10时，Z变换为,图6.2 右边序列收敛域,例62求指数序列x(n)=anu(n)的Z变换。解 显然指数序列是一个因果序列,3)左边序列,图6.3 指数序列收敛域,图6.4 左边序列收敛域,例63 求左边序列x(n)=-bnu(-n-1)(b1)的Z变换。解 由信号的Z变换的定义可知,若公比|b-1 z|1，即|z|b|时此级数收敛。此时,图6.5 收敛域零、极点分布,4.双边序列 当n，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列，它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此序列进行Z变换得到,6.1.3 Z变换与拉普拉斯变换的关系 如果信号x(n)是与连续时间信号xc(t)的理想取样函数xp(t)对应的序列，那么x(n)的Z变换X(z)，可以由该理想取样函数xp(t)的拉氏变换式导出。连续时间信号xc(t)被理想取样后的函数xp(t)可表示为 其中xc(nT)为连续时间函数xc(t)在t=nT时刻的值是一个离散时间序列，记为x(n)。取样函数xp(t)的拉氏变换为,(68),(69),(610),图6.6 s平面与z平面的对应关系,为了更清楚地表达这个映射关系，将s写成直角坐标的形式：s=+j，而将z写成极坐标的形式z=rej。这样将s平面变换到z平面后就可以写成,(611),6.2 Z变换的性质,6.2.1 线性特性 设x1(n)X1(z)其收敛域为A，x2(n)X2(z),其收敛域为B，则有ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z)其收敛域为AB（这里a,b为常数）。这一关系显然是和拉普拉斯变换的同一特性相对应，为了避免不必要的重复，它的证明从略。,6.2.2 移序特性 若x(n)X(z)的收敛域为A，则x(n-n0)z-n0 X(z)的收敛域也为A，但在零点和无穷远点可能发生变化。,例64 求信号x(n)=u(n+1)的Z变换及其收敛域。解 因为u(n)利用Z变换的移序特性，有 因为u(n)是一个因 果序列，而u(n+1)是非因果序列，所以它的收敛域在无穷远处发生了变化，即删除原有的无穷远点，u(n+1)的Z变换的收敛域为1|z|。,6.2.3 频移特性 若x(n)X(z),则e jnx(n)X(e-jz)。证明：设 e jn x(n)的Z变换为F（z），则有 上述特性表明，信号在时域内乘以复指数信号 ejn，相当于在z平面作一旋转，即全部零、极点的位置旋转一个角度。为更好地说明这个问题，请看下面的例子。,例65求信号x(n)=sin(n)u(n)的Z变换及其收敛域。解 由于,因此,图6.7 收敛域及零、极点图,6.2.4 尺度变换特性 若x(n)X(z)的收敛域为R,且收敛域为|a|R。证明：,令，则它的Z变换,所以,6.2.5 z域微分特性 若x(n)X(z),收敛域为R，则nx(n)收敛域为R。证明 设序列y(n)=nx(n),则它的Z变换,例66 已知x(n)=nu(n),求其Z变换及其收敛域。解 由例61可知，u(n)的Z变换 并由z域微分特性可知，,其收敛域为|z|1。,6.2.6 卷积特性 若x1(n)X1(z),x2(n)X2(z),其收敛域分别为A、B，则x1(n)*x2(n)X1(z)X2(z)，其收敛域为AB。证明 设x1(n)*x2(n)的Z变换是X(z)，则,例67如果x1(n)=u(n)，且y(n)=x1(n)*x2(n)，求y(n)的Z变换Y(z)。解 先分别求x1(n),x2(n)的Z变换X1(z),X2(z):,收敛域为|z|1,收敛域为|z|,收敛域为|z|,例68已知,求u(n)*u(n)。解令y(n)=u(n)*u(n)，则它的Z变换为,由例66可知,由例61可知,所以,而,所以,6.2.7 时域反转特性 例69已知x(n)=u(-n)，求其Z变换及其收敛域。解 由例61可知u(n)的Z变换,由时间反转特性可知，,6.2.8 时域求和特性 若x(n)X(z)的收敛域为R，则,其收敛域为R(|z|1)。证明 因为,6.2.9 初值定理 如果因果序列x(n)的Z变换为X(z)，而且 存在，则 证明 当z时，在上式级数中除第一项x0外，其它各项都趋于零，所以,故有由此递推，得到一般式,(612),例610 已知，求y0,y1,y2。解,6.2.10 终值定理 若因果序列x(n)的Z变换为X(z)，而且X(z)的极点除了在z=1处允许有一阶极点外，其余极点均在单位圆内，则 证明 设y(n)=x(n+1)-x(n)，由于x(n)为因果序列，于是y(n)的Z变换,两边同时对z1取极限有,因为X(z)的极点除了在z=1处允许有一阶极点外，其余极点均在单位圆内，而且x(n)又是因果序列，因而y(n)=x(n+1)-x(n)的Z变换Y(z)的收敛域是最外部极点的外部，一定包括z=1，因此，求极限可以与求和来交换运算次序，这样就有：,表61 Z变换的性质及定理,6.3 信号的Z变换求法,6.3.1 常用信号的Z变换 为了便于Z变换及其反变换的计算，把一些常用信号的Z变换列于表62中。对于这些信号的Z变换，可以直接由定义计算，也可以根据一些常用信号的Z变换，再应用Z变换的性质获得。下面就用后一种方法讨论表62中的部分信号的Z变换。,表62 Z变换表,6.3.2 求序列Z变换的方法 求序列的Z变换常用的方法有三种：(1)利用Z变换的定义直接求解序列的Z变换；(2)借助Z变换性质从已知变换推导出未知的Z变换；(3)利用幂级数展开的方法求Z变换。下面分别举例说明。,例611 求下列序列的Z变换，并表明收敛域，画出零、极点图：,解(1)已知序列，Z变换为 当 时，级数收敛于,图 6.8,（2）已知 则其双边Z变换为 当|z|时，级数收敛于,（3）已知 则其Z变换,|z|0时，级数收敛于,图 6.9,（4）已知，则双边Z变换为,图 6.10,例612求序列x(n)=cosncosnu(n)的Z变换。解 利用欧拉公式将x(n)化为指数函数：,例613 证明下列Z变换式（n0）:,常数,常数,例614 已知序列x(k)的Z变换为X(z)，若将x(k)由k=0到k=n的各项进行求和，给出新序列（1）求g(n)的Z变换G(z);（2）若令x(k)=k2，求g(n)及G(z)。,6.4 反Z变换,6.4.1 幂级数展开法（长除法）因为x(n)的Z变换定义为z-1的幂级数，,一般而言，对于因果序列f(n)的单边Z变换F(z)即为,把它与Z变换的定义式（62）比较可以看出：,例615求 的逆变换x(n)（收敛域为|z|1）。解 由于X(z)的收敛域为|z|1，因而x(n)必然是因果序列。此时X(z)按照z的降幂排列形成下列形式：,例616 设有Z变换式，试用幂级数展开法进行反Z变换。这里的f(k)为有始序列。解 要用展开F(z)为幂级数的方法求f(k)，为此将F(z)进行长除：,例617 求收敛域分别为|z|1和|z|1两种情况下，的逆变换x(n)。解 对收敛域|z|1，X(z)相应的序列x(n)是因果序列，这时X(z)写成,进行长除，展开成级数 这样得到x(n)=(3n+1)u(n)。,6.4.2 部分分式法 当F(z)有n个单阶极点a1,a2,an时，则 展开为,再在等式两边同时乘以z，可得,最后，利用表62中的第(1)号和第(3)号公式，即可得原序列,例618 设有Z变换式，试用部分分式展开法进行反Z变换。这里的f(k)为有始序列。解 把 展开为 再在等式两边同时乘以z，可得,因为这里的f(k)为有始序列，所以其收敛域为|z|1和|z|0.5的公共部分即|z|1。由表62中的第(1)号和第(4)号公式：,所以，当|z|1时,例619求 的逆变换x(n)，其中|z|1。解 把 展开为,再在等式两边同时乘以z，可得,因为|z|1，由表62中的第(1)号和第(4)号公式：,例620 已知一有始序列y(n)的Z变换为，求y(n)。解 由于 很难一下子求 出其部分分式，通常采用与拉普拉斯反变换一样的待定系数法将上式化为三个分式的和的形式。,与上例相同的分析可以得到,如果利用长除法求反Z变换可得,6.4.3 留数法 反Z变换也可以像拉普拉斯反变换那样利用留数定理来计算，即 其中C是包围F(z)zk-1的所有极点的闭合积分路径，它通常是在z平面的收敛域内以原点为中心的一个圆。为证明此式，只要把式中积分函数中的F(z)展开成幂级数，这样上式的积分即成为,(613),由复变函数理论可知，上式中除m=k的积分项外，其余各个积分均为零。对于m=k的积分则有,(614),在C内的留数,式中Res表示极点的留数，zm为F(z)z k-1的极点。如果F(z)z k-1在z=zm处有s阶极点，此时它的留数由下式确定：,(615),若只含有一阶极点，即s=1，此式简化为 在利用式（614）(616)的时候，应当注意收敛域内的环线所包围的极点的情况，以及对于不同的n值，在原点处的极点具有不同的阶次。,(616),例621 设有Z变换式，试用留数法进行反Z变换。这里的f(k)为有始序列。解 先求被积函数F(z)zk-1的极点。因为f(k)为有始序列，所以仅考虑k0时极点的情况：显然其极点在z=1和z=-0.5,那么被积函数在这两个极点处的留数分别为,由于这里的f(k)为有始序列，故 f(k)=1+(-0.5)ku(k),与例616，例6-18的结果相同。,例622 求 的逆变换x(n)，其中|z|1。解 先求被积函数X(z)zn-1的极点。,例 623求 的逆变换。解 先求被积函数X(z)z k-1的极点。,因为X(z)的收敛域为|z|1，所以x(k)必然为因果序列。当k2时X(z)z k-1只含有两个一阶极点：z1=1和z2=0.5。此时由式,当k=0时，X(z)zk-1除含有两个一阶极点z1=1和z2=0.5外，还含有一个二阶极点z3=0。可以分别求出它们的留数。对于二阶极点z3=0，,而对于一阶极点，,这样x(k)=8-13+6=1,(k=0)，当k=1时，X(z)z k-1含有三个一阶极点z1=1和z2=0.5，z3=0。,这样x(k)=8-6.5+2=3.5，(k=1)。综上所述，可以得到X(z)的逆变换为,6.5 离散时间系统的Z变换分析法,6.5.1 系统函数 从第三章的内容可知，一个线性非时变系统，其输入、输出一定满足如下线性常系数差分方程,(617),把差分方程两边同时进行Z变换，并利用Z变换的线性和移序特性可以得到,通常把,(618),在时域分析一个离散时间系统时也常用y(n)=x(n)*h(n)，该式反映了系统的激励与系统响应之间的关系。如果把该式两边同时进行Z变换就得 Zy(n)=Zx(n)*h(n)(619)H(z)=Zh(n)或h(n)=Z-1H(z)(620),6.5.2 系统函数的计算 从式（618）可以看出，一个满足线性常系数差分方程的系统，其系统函数一定是z的有理函数。在式（618）中并没有给出系统函数H(z)的收敛域。事实上也确实存在着两种或两种以上的单位响应它们都满足同一个差分方程的情况。例624求由线性常系数差分方程 y(n)+5y(n-1)+6y(n-2)=x(n)-x(n-1)所描述的离散时间因果系统的系统函数。,解 对方程两边同时进行Z变换有 Y(z)-5z-1 Y(z)+6z-2 Y(z)=X(z)-z-1 X(z)因此 因为该系统是因果系统，其收敛域在最外的极点之外为|z|3。,例625 如果将上例差分方程中各项的序号都加n0，则其差分方程就变为 y(n+n0)-5y(n+n0-1)+6y(n+n0-2)=x(n+n0)-x(n+n0-1)试求该方程所描述的离散时间因果系统的系统函数。解 方程两边同时进行Z变换后得到,所以,收敛域为|z|3。,6.5.3 系统分析举例 这里特别需要指出系统单位响应h(n)的问题：h(n)是激励(n)产生的零状态响应；h(n)同时也是系统函数H(z)的反变换，故可由H(z)求得h(n)。例626 一离散时间系统的差分方程为 解 将,例627一离散时间系统的差分方程为 y(n)-3y(n-1)+3y(n-2)-y(n-3)=x(n)求其单位响应。解 方法1（用解齐次方程的方法）:将y(n)-3y(n-1)+3y(n-2)-y(n-3)=x(n)可以写成 h(n)-3h(n-1)+3h(n-2)-h(n-3)=(n)首先求出差分方程的齐次解，然后再用(n)等效为初始条件，进而求出h(n)。齐次解的特征方程为a3-3a2+3a-1=0，其解为a1=a2=a3=1（三重根），故齐次解为 h(n)=C1n2+C2n+C3,初始条件除h(0)=(0)=1外，其余h(-1)=h(-2)=0，代入得 h(0)=1=C3 h(-1)=0=C1-C2+C3 H(-2)=0=4C1+2C2+C3 解之得,6.5.4 利用单边Z变换分析离散系统 关于双边Z变换的分析完全适应于单边Z变换。根据双边反Z变换有 由单边Z变换的定义可以证明单边Z变换的位移性质如下：若x(n)X(z)则,(621),(622),例628 初始条件为 的线性常系数差分方程，y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)若输入信号x(n)=u(n)，求输出的系统时域响应y(n)。解对该方程两边同时取单边Z变换，并利用单边Z变换的位移性质可以得到：Y(z)-3z-1 Y(z)+y(-1)+2z-2 Y(z)+z-1 y(-1)+y(-2)=X(z),即,由于右边第一项与初始条件和系统特性有关，因此对应于零输入响应，而第二项只与输入和系统特性有关，所以对应于零状态响应。代入初始条件及 可得,进行反变换以后得到系统响应为 y(n)=2(2)nu(n)+-3-n+4(2)nu(n)其中第一部分为零输入响应，第二部分为零状态响应。由本例可以看出，运用单边Z变换求系统响应时的步骤是：(1)对差分方程两边进行单边Z变换，并代入初始条件；(2)解出单边Z变换Y(z)；(3)对Y(z)进行反变换，即得到时域响应y(n)。,例629 用Z变换的方法求解线性差分方程 y(n)+y(n+1)+y(n+2)=u(n)其中y(0)=1,y(1)=2。解 对y(n)+y(n+1)+y(n+2)=u(n)两边同时进行单边Z变换得到 代入初始值y(0)=1,y(1)=2后，上式变形为,这样Y(z)的逆变换为,代入A、B、C的值，经化简得,例630 已知由差分方程 所描述的增量线性系统的初始条件为y(-2)=1,y(-1)=1,系统的输入激励为x(n)=(-1)nu(n)，求系统响应y(n)。,解 对 两边同时进行单边Z变换，有,代入初始条件后得,对Y(z)进行反变换，即得到时域响应y(n)为,6.6 数字滤波器的概念,在3.2中曾经指出，在离散时间系统的输入和输出处分别加上模数转换器和数模转换器等接口，就可以把模拟信号转变成数字信号，以便利用计算机这一有效手段来进行处理。数字滤波器的应用就是这种信号处理的典型例子。包含数字滤波器及上述接口的混合系统的示意图如图6.11所示。,图6.11 包含数字滤波器的混合系统,6.6.1 数字滤波器的实现 首先假设数字滤波器的转移函数H(z)为已知，要求实现这种滤波器。至于如何求得H(z),留到下面再讨论。一个离散时间系统如数字滤波器，当其转移函数已知时，就很容易写出它的差分方程来，两者的一般对应关系如式（617）和式（618）所示。,所谓级联实现，是指由差分方程直接作出框图（有些书籍中把这种实现方式称为直接实现）。这种实现方式在第一章中讨论过，这里不再重复。并联实现形式是将转移函数H(z)分解为若干个一级或二级的简单转移函数或者还可能有一常数等项之和，即 H(z)=H0(z)+H1(z)+H2(z)+Hr(z),分解方法并不是唯一的，通常总是用代数方法把H(z)展开为部分分式。与上式相对应的方框图如图6.12所示，其中除常数乘法器H0外，其余每一个方框都是一个一阶的或二阶的子系统。这些系统都可以表示为简单的模拟框图。,图6.12 并联实现形式,串联实现形式是将转移函数H(z)分解为若干个一阶或二阶的简单转移函数的乘积，即 H(z)=bmH1(z)H2(z)Hr(z)其中,bm是式（618）中分子多项式最高次项的系数。与此式相对应的方框图示于图6.13，除常数乘数器bm之外，其余各方框也都可用一阶或二阶的模拟图来表示。,图6.13 串联实现形式,这里还要指出的是，在数字滤波器的差分方程，y(k+n)+a n-1 y(k+n-1)+a0y(k)=bmx(k+m)+b m-1 x(k+m-1)+b0 x(k)中，若同时包含有ai及bi项，则此滤波器称为递推滤波器。若从an-1到a0的诸系数ai均为零，则此滤波器称为非递推滤波器，后者是前者的一种特殊情况。,6.6.2数字滤波器系统函数的确定 由上面所述可知，只要给定了数字滤波器的系统函数，滤波器的实现问题就不难解决，所以主要的问题在于怎样去确定系统函数。滤波器的设计任务就是根据滤波要求去确定系统函数或差分方程的诸系数ai及bi，一旦这些系数确定了，系统函数就随之确定，滤波器也即可实现。,