离散数学第三章集合.ppt
2023/9/14,1,第三章 集 合,3.1 集合论基础3.2 集合运算及其性质,2023/9/14,2,例 在一个住着一些人家的僻静孤岛上,岛上只有一个理发师a,a给且只给岛上所有不能自己理发的人理发。问谁给a理发？解:设 S=x|x 是不能自己理发的人。(1)若aS,则a给自己a理发。又由题意知,a只给不能自己理发的人理发,所以a是不能自己理发的人,即aS,矛盾。(2)若aS,则a是不能自己理发的人。又由题意知,a只给集合S中的人理发,所以a要给a理发,即aS,矛盾。无论如何,都有aS和aS同时成立。这是著名的罗素悖论paradox。,2023/9/14,3,集合的特性,集合论依赖于三大基本原理,它们从根本上规定了集合概念的意义。集合的元素一旦给定,这一集合便完全确定,这一事实被形式地叙述为外延性公理。,2023/9/14,4,1.外延(extension)公理-两个集合A和B相等的充分必要条件是它们有相同的元素。外延公理刻划了集合的下列特性:A.互异性:一个集合的各元素是可以互相区分开的,即每一元素只出现一次。B.无序性:集合中元素排列次序无关紧要,即集合表示形式的不唯一性。,2023/9/14,5,2.概括(comprehension)公理-构成一个集合应符合两个要求:I.纯粹性:凡该集合中的元素都具有某种性质II.完备性:凡具有某种性质的元素都在该集合中概括公理规定了集合描述法的理论依据和集合元素的确定性。,2023/9/14,6,C.确定性:任一事物是否属于一个集合,回答是确定的。对于界限不分明的情况,在经典集合论中绝对不容许存在。不确定的事物构成的集合属于模糊(fuzzy)集合的研究范畴。例：“好书”的全体不构成集合,因为难以对每一本书的好坏作出确定的判断。,2023/9/14,7,3.正则(regularity)公理:不存在集合A,B,C,使得 CBA。(即任何一个非空集合都有一个极小元)正则公理的一个自然推论是:对任何集合S,S S(否则有SSS),从而规定了集合S与 S的不同层次性。,2023/9/14,8,集合与其成员是两个截然不同的概念,集合的元素可以是任何具体或抽象事物,包括别的集合,但不能是本集合自身。因为一个集合是由它的成员构成的,是先有成员后才形成集合,所以一个正在形成中的集合便不能作为一个实体充当本集合的成员。否则在概念上将产生循环,从而导致悖论。正则公理也消除了悖论。,2023/9/14,9,3.1 集合论基础,1.集合与元素 所谓集合，是指某些可辨别的不同对象的全体，将用大写字母A，B，X，Y，表示之。组成集合的对象称为集合的元素或成员，将用小写字母a，b，x，y，表示之。a是A的元素或a属于A，记作aA；a不属于A或a不是A的元素，记作aA，或者(aA)。,2023/9/14,10,集合的元素一旦给定，这一集合便完全确立。这一事实被形式地叙述为外延公理。外延公理：两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。若A与B相等，记为A=B；否则，记为AB。,2023/9/14,11,外延公理可形式表为：A=B(x)(xAxB)或者A=B(x)(xAxB)(x)(xBxA)顺便指出，在应用外延公理证明集合A与B相等时，只需考察：对于任意元素x，应有下式xAxB成立即可。这就是说，证明两集合相等时可按此法行事。,2023/9/14,12,表示一个特定集合，基本上有两种方法：一是枚举法，在可能时列出它的元素，元素之间用逗号分开，再用花括号括起。如A=a,e,i,o,u表明集合A是由字母a,e,I,o和u为元素构成的。,2023/9/14,13,二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则x|P(x)定义了集合S，并可表为S=x|P(x)由此可见，P(c)为真当且仅当cS。从而有xSxP(x),2023/9/14,14,例如，A=a,e,i,o,u 可表为A=x|x是英文字母表中元音字母,2023/9/14,15,应该指出的是：集合的元素可以是具体事物，可以是抽象概念，也可以是集体，不是集合的元素称为本元。如，一本书，一支笔，集合1,2,3可以组成集合B=一本书，一支笔，1,2,3。特别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类，如A=1,2,3,8,9,6。,2023/9/14,16,2.子集、全集与空集 子集是描述一个集合与另一个集合之间的关系，其定义如下。定义 设A和B是任意两个集合，如果集合A的每个元素，都是集合B中的一个元素，则称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说B包含A，并记为AB。,2023/9/14,17,子集定义也可表成AB(x)(xAxB)这表明，要证明AB，只需对任意元素x，有下式xAxB成立即可。此外，若集合B不包含集合A，记为AB。,/,2023/9/14,18,定义 设A和B是两个集合，若AB且AB，则称A是B的真子集，记为AB，也称B真包含A。该定义也可表为AB(ABAB),2023/9/14,19,定义 如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。它可形式地表为U=x|P(x)P(x)其中P(x)为任何谓词公式。,2023/9/14,20,显然，全集U即是第二章中的全总论域。于是，每个元素x都属于全集U，即命题(x)(xU)为真。由定义易知，对任意集合A，都有AU。在实际应用中，常常把某个适当大的集合看成全集U。,2023/9/14,21,定义 没有任何元素的集合，称为空集，记为，它可形式地表为：=x|P(x)P(x)其中P(x)为任何谓词公式。由定义可知，对任何集合A，有A。,2023/9/14,22,注意，与是不同的。是以为元素的集合，而没有任何元素，能用构成集合的无限序列：(1)，该序列除第一项外，每项均以前一项为元素的集合。,2023/9/14,23,(2)，该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素的集合。它即是冯诺依曼在1924年使用空集给出自然数的集合表示：0:=，1:=，2:=,，这里,:=表示“定义符”定理 空集是唯一的定理()对任一集合A，有AA。()若AB且BC，则AC。,2023/9/14,24,3集合的基数 表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作集合的基数或势。一个集合A的基数，记为|A|。如果一个集合恰有m个不同的元素，且m是某个非负整数，称该集合是有限的或有穷的，否则称这个集合为无限的或无穷的。例如，常用有穷集有：Nm=0,1,2,m-1,2023/9/14,25,常见的无穷集合有：N=0,1,2,3,，即自然数集合。Z=,-2,-1,0,1,2,3,，即整数集合。Z+=1,2,3,，即正整数集合。Q=有理数集合。R=实数集合。C=复数集合。,2023/9/14,26,4集合的幂集 一个集合的幂集是指该集合所有子集组成的集合，即是由这些子集所组成的集合族。定义 设A为一集合，A的幂集是一集合族，记为P(A)，P(A)=B|BA由定义可知，P(A)，AP(A)。,2023/9/14,27,例：试写出集合A1,2,3的幂集P(A)，1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3,2023/9/14,28,5文氏图 文氏(Venn)图是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。全集U用一个矩形的内部表示，其他集合用矩形内的园面或一封闭曲线圈成的面积来表示。,2023/9/14,29,如果AB，则表示A的圆面一般将完全落在表示B的圆面内，如图1中(a)。如果A与B没有公共元素，那么表示A的圆面将同表示B的圆面分开，如图3-1中(b)。当A和B是两个任意的集合时，可能会是：有些元素在A中但不在B中，有些元素在B中却不在A中，有些元素同时在A和B中，有些元素则既不在A中也不在B中，因此用图1中(c)表示任意两个集合A和B。,2023/9/14,30,图 3-1,2023/9/14,31,最后给出集合的形式定义结束本节。定义 A为集合:=(x)(xAA=)。该定义与直观想法是一致的，一个集合或是具有成员的客体或是空集。,2023/9/14,32,3.2 集合运算及其性质,集合运算是指用已知的集合去生成新的集合。假设所有集合都是全集U的子集，即这些集合是利用子集公理得到的。下面依次介绍常见的集合运算。,2023/9/14,33,1并、交和差运算定义 设A和B是任意两个集合，A和B的并是集合，记为AB，AB=x|xAxB A和B的交是集合，记为AB，AB=x|xAxB A和B的差，或B关于A的相对补是集合，记为A-B，A-B=x|xAxBA B=AB(B 表示集合B的补集),2023/9/14,34,例：已知A1,2,3，B1,4，C=3，则A-B=2,3B-A=4C-A=,A-B,2023/9/14,35,定理 任给集合A，B和C，则：AB=BA AB=BA(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)该定理表明，集合并和交运算满足交换律和结合律。,2023/9/14,36,定理 任给集合A、B和C，则 A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)该定理表明，集合运算并对交、交对并都是可分配的。,2023/9/14,37,定理3.2.3 任给集合A，B，C和D，则 若AB，则AB=B，AB=A若AB和CD，则ACBD，ACBD,2023/9/14,38,推论 AU=U，AU=A定理 任给集合A，B和C，则 A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C),2023/9/14,39,定义 设A是含有元素为集合的集合，或者集合族。A的并是集合，记为A，A=x|(B)(BAxB)=B A的交是集合，记为A，A=x|(B)(BAxB)=B,B A,B A,2023/9/14,40,例 令A=1,2,3,4,B=4,5,5,6,则A=1,23=1,2,3,B=55,6=5,6,A=1,23=,B=55,6=5,2023/9/14,41,集合A的补是集合，记为A，A=U-A=x|xUxA=x|xA 任给集合A，则 AA=U，AA=。,2023/9/14,42,定理3.2.6 任给集合A和B，则B=A iff AB=U 且 AB=该定理表明了若A的补是B，则B的补是A，即A和B互补。补的唯一性。U=，=U 任给集合A，则A=A。该定理表明了，A的补的补是A。,2023/9/14,43,任给集合A和B，则(AB)=AB，(AB)=AB。任给集合A和B，A和B的对称差是集合,记为AB，AB=(A-B)(B-A)=x|(xAxB)(xBxA)AB=(AB)(AB),2023/9/14,44,例:A0,1,2，B2，3，则有 AB0,130,1,3或AB0,1,2,32=0,1,3,AB,2023/9/14,45,任给集合A和B，则AB=(AB)(AB)=(AB)-(AB)AB=AB AB=BA AA=,2023/9/14,46,2集合运算定律与对偶原理 任何代数运算都遵从一定的定律,集合运算也不例外。下面列出集合性质中最主要的几条基本定律,对于全集合U的任意子集A、B、C,有：,2023/9/14,47,（1）等幂律AA=A AA=A（2）结合律(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)（3）交换律 AB=BA AB=BA（4）分配律 A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)（5）幺律 A=A AU=A,2023/9/14,48,（6）零律AU=U A=（7）补律 AA=U AA=（8）吸收律 A(AB)=A A(AB)=A（9）德摩根律(AB)=AB(AB)=AB（10）对合律(A)=A,2023/9/14,49,下面介绍集合代数中的对偶原理，它与命题逻辑中对偶原理也很相似。对偶原理 设E是集合代数中等式，将E中的，U和的每一个出现分别代以，和U后得到一等式E*，称E*为E的对偶式。,2023/9/14,50,显然，E也是E*的对偶式，即E与E*互为对偶。如果E是一集合恒等式，则E*也是一集合恒等式.可见，上述的集合定律中，凡成对的定律都是为对偶的。,
