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    离散数学-1-5重言式与蕴含式.ppt

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    离散数学-1-5重言式与蕴含式.ppt

    1,第一章 命题逻辑,1-5 重言式与蕴含式,2,一、公式的真假值分类,有些命题公式不论对分量做何种指派,其对应的真值都为1(真)或0(假),这两类特殊的命题公式在今后的命题演算中极为有用,可根据公式的取值情况对公式进行分类。定义1-5.1 给定一个命题公式,若无论对分量作怎样的指派,其对应的真值永为1,则称该命题公式为重言式或永真公式。定义1-5.2 给定一个命题公式,若无论对分量作怎样的指派,其对应的真值永远为0,则称该命题为矛盾式或永假公式。*注:命题公式若不是矛盾式,则可称为可满足式。,3,一、公式的真假值分类,真值表可用来判断公式的类型:(1)若真值表最后一列全为1,则公式为重言式。(2)若真值表最后一列全为0,则公式为矛盾式。(3)若真值表最后一列中至少有一个1,则公式为可满足式。,4,一、公式的真假值分类,定理1.5.1及证明 P19定理1.5.2及证明 P19定理1.5.3及证明 P20,5,二、(永真/重言)蕴含式,形如AB重言式在我们将要学习的推理理论中有着十分重要的作用。定义1-5.3 当且仅当PQ是一个重言式时,我们称“P蕴含Q”,并记作PQ。(注:本课约定,“P Q”读作P蕴含Q,“P Q”读作P永真/重言蕴含Q。)*注:其中“”同样是一种元语言符号,用来表示蕴涵式为重言式。,6,二、(永真/重言)蕴含式,PQ是不对称的,PQ与QP一般是不等价的。对PQ来说:QP 称为它的逆换式。(前、后件取逆序)PQ 称为它的反换式。(前、后件取其否定)QP 称为它的逆反式。(前、后件取逆序及否定)注:“”命题公式与它的逆反式等价(P Q)(QP),(QP)(PQ)证明见P20真值表1-5.1*因此要证明PQ,只需要证明Q P,反之亦然,7,三、蕴含式证明,对PQ来说,除一种情况(P真值取1,Q真值取0这样一种指派时,PQ为0)外,其余情况PQ真值为1。要证PQ,只需对命题PQ的前件P指派真值为1,若可由此出发,推导出Q的真值为真,则PQ成立(即PQ为重言式)。同理,可假定后件Q的真值取0,若可由推出P的真值必为0,即证明了Q P。,8,三、蕴含式证明,例题1:推证Q(PQ)P证法一:(由假定前件为真推出后件必为真)假定Q(PQ)为1,则 Q 为1且PQ为1,由Q 为1可知Q为0,此时由PQ为1可知,P必为0,故P为真证法二:(由假定后件为假推出前件必为假)假定P为0,则P为1。对Q的情况做如下讨论:(1):若Q为0,则PQ为0,Q(PQ)为0(2):若Q为1,则 Q为0,Q(PQ)为0 所以P为0 时,必有Q(PQ)为0,Q(PQ)P成立。,9,四、一些重要的(重言)蕴含式,P21页 这些重言蕴含式有些与思维逻辑相似PQP,PQQPPQ(附加律)P(PQ)Q(PQ)(PQ)P(PQ)QP(PQ)Q(假言推理),10,四、一些重要的(重言)蕴含式,Q(PQ)P(拒取式)P(PQ)Q(析取三段论)(PQ)(QR)PR(假言三段论)(PQ)(PR)(QR)R(PQ)(RS)(PR)(QS)(PQ)(QR)(P R)(等价三段论),11,五、重言蕴含的常用性质,定理1-5.4 设P、Q为任意两个命题公式,PQ的充分必要条件是PQ,Q P。证明见P22蕴含的几个常用性质(1)设A、B、C为合式公式,若AB且A为重言式,则B是重言式。(2)若AB,BC,则AC,即永真蕴含关系是传递的。(3)若AB,且AC,那么A(B C)(4)若AB,CB,则ACB性质的证明见P22,12,内容小结,公式的真假值分类(重言)蕴含式蕴含式证明一些重要的(重言)蕴含式重言蕴含的常用性质,13,课后作业,P23(7)(8)(a)、(c)、(e),

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