2.4 随机变量函数的分布.ppt

第二章 随机变量及其分布,第一讲 离散型随机变量及其分布,第三讲 连续型随机变量及其分布,第二讲 随机变量的分布函数,第四讲 随机变量函数的分布,在实际中，,求截面面积Y 的分布.,例如，已知圆轴截面直径 X的分布，,所考虑的随机变量常常依赖另一个随机,变量，,称随机变量Y是X的函数,又如，,一辆公共汽车单程固定支出为 k 元，,用X表示一单程运载的乘客数，,它是离散型随机变量。,那么一单程的纯收收益额Y 也是随机变量（票价2元）。,其可能值,即Y 的可能值 y 通过普通的线性函数,算得。,问题的提出,再如，,求功率 W=V 2/R(R为电阻）的分布等.,已知t=t 0 时刻噪声电压V 的分布，,在实际中，人们常常对随机变量 X 的函数Y=g(X)所表示的随机变量 Y 更感兴趣,设随机变量X 的分布已知，又Y=g(X)(设g是连续函数),无论在实践中还是在理论上都是重要的,如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,通过实例找方法,(分布列或分布密度）。,第四讲 随机变量函数的分布,随机变量 Y 是随机变量 X 的函数Y=g(X)其中，g(t)是 t 的连续函数,一、离散型随机变量函数的分布,当X为离散型随机变量时，,也是离散型,随机变量。,求Y的,分布列是容易的。,例1 已知X的分布列为,求,的分布列。,解 由Y的分布列可列出,并且在 X 的分布列已知的情况下，,中,例2,3/10,3/10,1/10,1/10,1/5,5/2,2,1,0,-1,试求:,(1),的分布律;,(2),的分布律.,解,列出下表:,解,先根据,的分布律,列出下表:,(1),所以,的分布律为,解,(2),注：1、设,互不相等时，则事件,由,2、当,则把那些相等的值合并起来。,并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布列。,例3 设随机变量 X 的概率密度为,求随机变量Y=2X+8 的概率密度。,解 记Y 的分布函数为FY(y)，则 FY(y)=P Yy,=P X(y 8)/2,分布函数转化法,=P 2 X 8 y,从而Y 的概率密度,解,例4,再由分布函数求概率密度.,当 Y=2X+3 时，有,解题思路,设 的密度函数为 又 是严格单调函数,其反函数 连续可导,则的密度函数为,定理,解,例,记 则,的密度函数为,严格单调增(或单调减),严格单调函数其反函数一定存在,且反函数也严格单调,Cauchy分布,设X的密度为,求,的概率密度,解,取值在(0,1)时，y 的取值也在(0,1),注意1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数；2、注意定义域的选择。,证明,X 的概率密度为,例5,正态r.v的线性函数仍是正态r.v,重要结论,设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求,解：,在区间(0,1)上，函数,故,于是 y 在区间(0,1)上单调下降，,由前述定理得,注意取绝对值,例6,Y=-2lnX 的概率密度.,有反函数,已知 X 在(0,1)上服从均匀分布，,代入,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,的表达式中,小结：,六个常用分布：(0-1)分布，二项分布b(n,p)，Poisson分布P()均匀分布U(a,b)，指数分布E()，正态分布N(,2),一个方法：求随机变量函数的分布,六个概念：,21.设 求,的概率密度,解：,记Y 的分布函数为FY(y)，则 FY(y)=P Yy,=P eX y,=P Xlny,从而Y 的概率密度,的概率密度,21.设 求,解：,记Z 的分布函数为FZ(z)，则 FZ(z)=P Zz,=P-2lnX z,从而Z 的概率密度,22.,23.,(1)当 y 0 时，FY（y）=0,(2)当 y 0 时，FY（y）=,P18:*24.设随机变量,.试求随机变量,的分布律.,解 Y 仅取离散值1与1,故为离散型随机变量.,Y 的分布律为,