点集拓扑学教案.docx

点集拓扑学教案为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设点集拓扑课程。按熊金城点集拓扑讲义（第三版，北京：高等教育出版社,2003）第一至七章编写的教案。本科生授课64学时，教学内容与进度安排如下：章节本科生授课主要内容课时数备注拓扑学的起源1一朴素集合论21.1集合、映射与关系11.2无限集1拓扑空间与连续映射21习题课时22.1度量空间与连续映射3不讲附录2.2拓扑空间与连续映射32.3邻域与邻域系2不讲定理2.3.32.4导集、闭集、闭包内部、边界3不讲例2.4.4,定理2.4.82.5内部、边界22.6基与子基2部分证明定理2.6.3,临域基及相关内容在5.1中介绍2.7拓扑空间中的序列2子空间、有限积空间、商空间6习题课时13.1子空间23.2积空间23.3商空间1例3.3.3起不讲四连通性8习题课时14.1连通空间24.2连通性的某些简单应用14.3连通分支14.4局部连通空间24.5道路连通空间1道路连通分支不讲五有关可数性的公理6习题课时15.1第一与第二可数性公理25.2可分空间1.5定理5.2.1不讲5.3Lindeloff空间1.5六分离性公理8习题课时1.56.1T0,T1Hausdorff空间26.2正则、正规、T3J4空间1.5例6.2.2讲部分6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理1不讲定理6.3.1,6.3.4的证明6.4完全正则空间，Tychonoff空间16.5分离性公理与子空间、积空间和商空间16.6可度量化空间1定理6.6.1讲部分七紧致性10习题课时17.1紧致性3定理7.1.6讲部分7.2紧致性与分离性公理1引理7.3.2用分析中的结论7.3n维欧氏空间R”中的紧致子集0.57.4几种紧致性以及其间的关系1.57.5度量空间中的紧致性17局部紧致空间，仿紧致空间1定理7.6.8不讲.6第一章朴素集合论点集拓扑学(POint-SetToPoIOgy)现称般拓扑学(GeneraIToPOlogy),它的起源与出发点都是集合论.作为基本的点集拓扑学知识，所需的只是一些朴素集合论的预备知识.本章介绍本书中要用到的一些集合论内容，主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等.作为一教材，讲义对各部分内容均有较系统的论述，作为授课，我们只强调一些基本内容，而对已有过了解的知识不提或少提.记号:Z,Z+,R,Q分别表示整数集，正整数集，实数集和有理数集.教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理一.集合的运算事集P(X),交、并U、差一(补，余A',A').运算律:DeMOrgan律:A-(BuC)=(A-B)C(A-C).(2)A-(BnC)=(A-B)U(A-C)A-(BC)=(A-B)U(A-C)利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并，如记AlUA25.u=(Al5.2A”)U=Uy,A,=U：A,Ai.规定0个集之并是。，不用0个集之交.二.关系R是集合X的一个关系，即RUXXX,(x,y)wR记为xRy,称X与y是R相关的.R称为自反的，若VxX,xRx;R称为对称的，若xRy,则yRx;R称为传递的，若xRy,yRz,则XRz.等价关系：自反、对称、传递的关系.11,(X)=(x,X)xX,恒同关系，它是等价关系;(x,y)x,yR,x<y,小于关系,它是传递的，但不是对称的、不是自反的.设R是X上等价关系，VxX,X的R等价类或等价类xr或x为yXRy,xr的元称为xr的代表元；商集XR=xRxX.定理1.4.1设R是非空集合X的等价关系，则(1) VxX,Xxr;(2) Vx,yX,或者xr=Mr,或者xRCyh=证(2).设z因rcyk,则ZRxyzRy,于是xRy且xrnyR,于是Mr=yR.三.映射函数：fXY.像：AX,（八）=(x)xA);原像：VBy,1()=xXIf(x)B满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射、限制力八、扩张、内射%aX集合Xj,i",笛卡儿积X1×X2×.XXh=111,zjx,=xf=(xi,x2.11)xzX,h到第i个坐标集Xj的投射Pj：X->X,定义为P(X)=Xj,其中X=(XI,.对等价关系R,集合X到商集X/R的自然投射pXXR定义为P(X)=xft.四.集族数列Xn=XnLz.,有标集族Ay,指标集,与Ay不同，可记有标集族A=4；类似地,定义其并U-Al（或UA）、交11yAyi（或nA）,不定义。个集的交.与有限集族有相同的运算律，如DeMorgan律A-UyJy=zer-）-zer=Uze/，映射对应的集族性质：/（jzez）=lx.j（aj（u4）=ru（A尸（5鸟）=U，（约），尸（"*，）="J（4）五.无限集通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集（。或与某H,2,.,n有一一映射）,无限集,可数集S或存在X到Z+的单射）,不可数集.易验证：有限集是可数集，可数集的子集是可数集，可数集的映像是可数集.定理1.7.3X是可数集=X是Z÷的映像.由此,Q是可数集，两可数集的笛卡儿积集是可数集，可数个可数集之并集是可数集.定理1.7.8R是不可数集.利用Cantor对角线法证明开区间（0,1）中的实数不可数.直观上，集合A中元素的个数称为该集合的基数，记为CardA,或A.Z+=,R=c.若存在从集合A到集合B的单射，则定义AB.连续统假设：不存在基数,使得vVc.选择公理：若A是由非空集构成的集族，则AA,可取定e（八）A.由选择公理可证明,若。,夕是基数,则下述三式中有且仅有一成立：a<.a=.a>第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础，从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念：拓扑空间、连续映射，分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教学重点：拓扑空间与连续映射,邻域与邻域系；教学难点：基与子基；可度量化空间2.1度量空间与连续映射在R上,x-y表示点X与y之间的距离.绝对值是一非负函数，具有三条重要性质.定义2.1.1设X是一集合，rXxXR如果满足正定性、对称性和三角不等式，则称P是X的一个度量.(X,p)称为度量空间，P(X,y)表示两点,y之间的距离.例2.1.1实数空间R(x,y)=x-y,R的通常度量.例2.1.2n维欧氏空间Rn=R×R×.×R.对于XWR”,记X=(z)<11定义P(Ky)=JX(i-H)2为Rn的通常度量,n维欧Yi=I氏空间.R2称为欧氏平面或平面.例2.1.3Hilbert空间H.H=工=(*,工2，演JX<,Z=I定义p:HXHTRR易证夕为度量则度量空间(”,夕)称为HiIbert空(%,y)p(,y)=J(i-yi)V/=1间.例2.1.4离散度量空间.度量空间(X,p)称为离散的，若x日2>0,使得不存在X中的点ywx,满足p(x,y)<x如对集合X,按如下方式定义：XxXA是X上的离散度量:09x=yp(,y)=l,y定义2.L2设(X/)是度量空间BwG=RcX以“加<.称为以X为心,为半径的球形邻域或邻域,或球形邻域.对(R,I.I),B(x,£)=(X-£,X+£).定理2.1.1度量空间(X，夕)的球形邻域具有性质：VxX,>0,xBx,)xX,y2>0,则三邑>0,满足XeB(x9,3)B(x,.l)nB(x,.2i)(3)若yeB(x,g)Jb>O使5(y,小u5(x,e)；证(2)0<%而可巧，？；6=£_P(X,y)9则6(y,b)UB(X,)定义2.1.3X的子集4称为(X,0)的开集，若A,me>O,使8(x,e)uA.每一球形邻域是开集.例2.1.5R中的开区间是开集.冗(a,Z?)让£=minx-,Z?-x则B(x,)(a,b)同样可证，无限开区也是开集.闭区间a,b不是开集.定理2.1.2度量空间的开集具有以下性质：(1) X。是开集;(2)两开集的交是开集;(3)任意开集族之并是开集.证(1)由定理2.1.1(1);(2),(3)由定理2.1.1(2).定义2.1.4设X是度量空间，xX,U=X,U称为X的邻域，若有开集V,使xVU.定理2.1.3U是X中点X的邻域存在£>0,使B(x,)UU.定义2.1.5设x,y是两度量空间.yxy,°x,称/在/连续，若/(/)的球形邻域8(x0),£),(£>0)存在X0的球形邻域B(x0,),使f(B(x0,)U(x0),£).称/在X连续，若f在X的每一点连续.定理2.1.4设x,y是两度量空间.yxy,/x,那么(1)/在/连续若U是/(XO)的邻域，则/T(U)是/的邻域；(2)/在X连续若U是丫的开集，则/-(U)是X的开集.证(D利用定义2.152.1.4.(2)"(U)是每一点的邻域.“”证每一点连续，利用(1).由此可见，度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更般的拓扑空间的概念及其连续性.2.2拓扑空间与连续映射定义221设是集合X的子集族，若T满足：(I)X,r;(2)VA,Br=>AnBr;(3)Vr1,Jr1称汇是X的一个拓扑(X")是拓扑空间，的元称为X的开集.空间X的拓扑是X的全体开集的族.定义222(X,p)度量空间由X的所有开集构成的族.(X,%)称为由度量诱导出的拓扑空间.%简称为度量拓扑.度量空间一定是拓扑空间.例2.2.1平庸拓扑r=X,。平庸空间.例2.2.2离散拓扑汇=P(X).离散空间.X的每一子集是开集.由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑.例2.2.4有限补拓扑r=(7XU'是X的有限子集3。验证T是X上的拓扑.(1)显然.(2)A,BuX,讨论ACB时分两种情形，一是A,B中有一是。，二是A,B都不是。；(3)TlUz",不妨设&%利用DeMOrgan律.有限补空间.例2.2.5可数补拓扑Z=UUXU'是X的可数子集口。定义223可度量化空间.离散空间是可度量化空间.多于一点的平庸空间不是可度量化空间.度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一.本书将在6.6中给出该问题的一个经典的解.定义2.2.4X9Y是两拓扑空间.7:Xy称/连续，若Y中每一开集U的原象f(U)是X中的开集.定理2.2.1恒同映射连续.连续函数的复合是连续的.定义225:Xy称为同胚或同胚映射，若ff是一一映射且ff及fl均连续.定义226称两空间X与Y同胚，或X同胚于Y,若存在从X到Y的同胚.定理2.2.2（2.2.3）恒同映射同胚（X与X同胚）;f同胚=/一同胚（若X与Y同胚，则Y与X同胚）；同胚的复合是同胚（若X与Y同胚，且Y与Z同胚，则X与Z同胚）.空间的同胚关系是等价关系.拓扑学的中心任务：研究拓扑不变性质.抽象化过程：欧氏空间一度量空间一拓扑空间；点距离T度量T开集.2.3 邻域定义2.3.1设(X,)是拓扑空间.xX,UuX称为X的邻域，如果存在Vr使xVGr;若U是开的,U称为X的开邻域.定理231设UUX.U是X的开集OU是它的每一点的邻域.证由定义得“=>”；利用开集之并为开得X在X的所有邻域构成的族称为X的邻域系，记为Ux.定理2.3.2UX的性质：xUu(,u;(2)u,v(JUnVIA；(3)U(Jx且UUVnVCL；(4) UG(J=>3V(Jx使VUU且VyV,VUy.证由定义2.3.1得(1);由开集的交是开集得(2);由定义2.3.1得(3);取V为满足xyuU的开集.由邻域系出发可建立拓扑空间的理论，显得自然，但不流行.利用邻域与开集的关系(定理2.3.1)导出开集，从UX(xX)具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发，定义=UczXIVXU,UUx,则(X")是拓扑空间，且这空间中每一点X的邻域系恰是IA.详见定理2.3.3.定义232(点连续)映射f：XY称为在点xX连续，如果U是f(x)在Y中的邻域，则f(U)是X在X中的邻域.定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致.另一方面，关于点的连续性，易验证(定理2.3.4),恒等映射在每一点连续，两点连续的函数之复合仍是点连续的.定义2.2.4与定义2.3.2所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.定理235设"Xy则f连续Of在每一xX连续.证“=喏U是f(x)的邻域，三开集V使f(x)V(7,xx1(V),(U)若U是Y的开集，X/-(U),U是f(x)的邻域,尸(U)是X的邻域，所以尸(U)在X中开.2.4 导集、闭集、闭包定义2.4.1设AUX,x称为A的聚点(凝聚点，极限点)，如果X的每一邻域U中有A中异于X的点，即U(A-x)¢.A的全体聚点之集称为A的导集，记为d（八）.X称为A的孤立点，若X不是A的聚点，即存在X的邻域U使Un(Ax)=。，即UAux.例2.4.1X是离散空间.若AUX,则.d(4)=0DXX,取U=x,则UnAqx,所以X任d（八）.例2.4.2X是平庸空间，AUX若A=,则d（八）=。；若IAI=1,则d（八）=X-A;若A>1,则d（八）=X.对于xX,若U是X的邻域，则U=X,于是U(A-x)Uc(A-)OOA-x工。OAax由此，易计算d（八）定理2.4.1ABuX,则Q)d()=(2)AUB=J（八）Ud(B);J(AuB)=J（八）UtZ(B);(4)d(d（八）)qAud（八）证由定义241得和(2).关于(3).由得d（八）ud(3)Ud(AuB).设XWd（八）Dd(3),分别存在X的邻域Uw使得Uc4ux,VcBux,令O=UCV,则Dc(4uB)u%.关于(4).设X纪ADd（八）,存在X的邻域U,使得UCAUx,取X的开邻域VUU,则VCA=O,TyeVVc(A-y)=¢,yd（八）,Vcd（八）=°,%d(d（八）).定义2.4.2AUX称为X的闭集，如果d（八）UA.定理2.4.2A闭OA开.=>,XZxeA,由于d（八）A,存在X的邻域U使,于是UUA.”u”WXA',HCA=¢,Xed（八）,所以d（八）uV例2.4.3R的闭区间是闭集.a,b=(YO,。)=(。,+00)开集.(。,加不是闭集，因为。是聚点.定理243记F是空间X的全部闭集族，则(1) X,eF,(2) A,BF=>AU8F:(3) F对任意交封闭.证利用DeMOrgan定律及拓扑的定义F=U'U直接验证可得、(2)、(3)Cantor集(例2.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子，它说明R中的闭集可以是很复杂的，在此不介绍.定义243AUd（八）称为A的闭包，记为AA,定理2.4.5对A,3uX,有(1) -=;(2) AUA一；(3)(ADB)-=A-DB-；(4)(A-)-=A-.证(3)(AuB)=AuBud(AJB)=Aud（八）UBud(B)=.(4) (A)=(Aud（八）)-=ADd（八）-=AUd（八）Ud3（八）)=A.上述4条确定了闭包运算，称为KUratOWSki闭包公理，由此可建立拓扑空间的概念.事实上阿记此运算为c(4),定义r=UuXc(U)=U'),贝J(X")是拓扑空间，且这空间中每一C（八）=A一，详见定理2.4.8.关于闭包的几个相关结果：(1) xA'<=>对X的任一邻域有UCA。.(定义2.4.3后)(2) J（八）=(A-x)-;(3) A闭Od（八）UAOA=A.(定理2.4.4)(4)A-是闭集.(定理246)(5)A-是包含A的所有闭集之交，是包含A的最小闭集.(定理2.4.7:设F是包含A的所有闭集之交，则AU尸uA,AuF,所以尸=A,)定义2.4.5(X,p)是度量空间.对非空的AuX,xWX定义可乂A)=infp(x,MyA.定理2.4.9对度量空间(X,p)的非空子集A(l)xA<>p(x,)=0;(2)XJ（八）=p(x,A-x)=0.证明：p(x,A)=0<=>Vf>0,3>,A,p(x,y)<£oB(x9£)CA。eUtUryA<xeA-定理2410设广XY,则下述等价(D/连续；(2)若5闭于V,则/7(8)闭于X；VAUXJ(A一)u/（八）证明；(1)=(2)3是y的闭集，夕是y的开集，T(V)=T(8)/是X的开集,产(B)是X的闭集.(2)n(3)f（八）uf（八）,AUW（八）-),A-Udj(A-)C(3)=设U是y的开集，是y的闭集且/(尸(。)一)UyVT(U')-uJT(O)-U尸(O)J7(。)=尸(Uy是闭，广(U)是开定义2.5.1若A是X的邻域，则称X是A的内点A的所有内点的集合称为A的内部，记为A°.定理2.5.1对AUX,A°=Azz,A=A"/证明：xA°,由于ACA=点于是XWA-,从而无£反之xA'')£A'一,x的邻域VcA'=¢,VNA,xA°,因此，A°=A7.从而A/o=A=A_/,A/0/=A定理2.5.3对A"uX,有X=X。；(2)A0UA；(3)A0nB0=(AnB)0(4)A0=A00.证明：(1),(2)是显然的.(AnB)0=(Azo1)z=A,fnBl=At)C8。而AOo=AfT=L=屋关于内部的几个结果：(1)A是X的邻域Oxo；(2)A°是开集;(3) A是开集;(4) A°是A所包含的所有开集之并，是含于A内的最大开集.证明：(2)4°=A"是开集(3)A开OA/闭OA=A'OA=HT=a°(4)设。是含于A内的所有开集之并，4"(=。<=44=>0所以人"二。定义252X称为A的边界点，若X的每一邻域，既含有A中的点又有A''中的点.A的边界点之集称为边界，记为SA.定理2.5.6对4uX,有(1)以=A-CA,一=a(Az);(2)A-=A"DGA;(3)A0=A-A证明：(2)A0uA=Aoo(A-nA/_)=(AouA-)n(AouAo)=4;(3)A-34=A一(4cA、)=IA、=cA、=A"度量空间球形邻域开集f拓扑.在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.定义2.6.1设T是空间X的拓扑，Bur,如果T中每一元是B中某子集族之并，称B是X的基.所有单点集的族是离散空间的基.定理2.6.2设BUE,B为X的基ODXX及X的邻域U,3Vx使x匕UUx.证“二”存在开集WX使得XWxuUx,mBiuB使得Wr=UB33VvB工UB工使X匕UUx；“U”设U£汇，DxU,m匕B使x匕UUX，从而VJxUuB且U=JVv-×.rt/x在度量空间中，所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理2.6.1).所有开区间的族是R的基.定理2.6.3拓扑空间X的基B满足：(i)UB=X；(ii)VB1,B2B,6B1r>B2,BB3,x¾B1r>B2,.反之，若集合X的子集族B满足、(2),定义汇=uB1B1u3,则汇是X的以B作为基的唯一拓扑.证验证r是X的拓扑.¢=Do.(2)先设片应B,XW8,三%eB使xMu8cB2,于是Blr>B2=WxIxB1nB2.如果A,A2,设A=u,A2=uB2,则A1nA2=uB1nB21B1Bi,B12(r.设lut,DAgHBauB,使得A=UBa,那么DG=u(uBAlAq).较强于a。且易于验证的条件是(ii)v四B,b1C-B.例2.6.1实数下限拓扑空间.令B=a,b)a,bR,aVbL则B为R上一拓扑的基.这空间称为实数下限拓扑空间，记为R/开区间是R中的开集，因为3力二U'/+；»定义2.6.2设(X/)是拓扑空间，Sur.若S的元之所有有限交构成的族是7的基，则称S是的子基.S的元之有限交构成的族(51CS2C.CSnSieS,ineZ+.显然，空间X的基是子基.例2.6.2S=(a,+)IRU(-8,份IZ?R是R的子基.对照定理2.6.3,集合X的子集族S要作为子基生成X上的拓扑的充要条件是US=X.(定理264)映射的连续性可用基、子基来刻画或验证.定理2.6.5设x,y是两拓扑空间，xy,下述等价:(D/连续；(2)y基使得B中每一元的原像在X中开；(3)Y有子基S,使得S中每一元的原像在X中开.证(3)=(2)设B是S的元之所有有限交构成的族，则B满足(2).(2)=>(1)设U在y中开,则U=DBI,于是T(U)=T(B)IBB在X中开.类似地，可定义点的邻域基与邻域子基的概念，同时用它们来验证映射的连续性等.在第五章中定义第一可数性时再介绍这些概念.2.7拓扑空间中的序列可以与R中一样地定义序列、常值序列、子序列，见定义2.7.1,2.7.3.定义2.7.2X中序列XjX极限，收敛序列.平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点.数学分析中的一些收敛性质还是保留的，如常值序列收敛，收敛序列的子序列也收敛.(定理2.7.1)定理2.7.2A-x中序列XiX=>%J（八）证VX的邻域U,U(A-x)三。,所以.xd（八）定理2.7.3/在Xo连续且xix0=>f(xi)/(x0)证设U是7(%)的邻域，则广I(U)是乙的邻域，3?Z+,当时有afd(U),从而F(Xj)U上述两定理的逆命题均不成立.例2.7.1设X是不可数集赋予可数补拓扑，则在X中天X<=>三Z+,当i>时有xi=X.；(2)若A是X的不可数子集，则J（八）=X.证(1)的必要性，令O=x再,iwZ.,则。是X的邻域，zZ+,i>时有Z,即Xj=X证(2)x的邻域U,A-xaO(可数集)，所以UC(A-x)0,xd（八）.定理2.7.2的逆命题不真.如例2.7.1,取定/X,让A=XTX0，则XOEd（八）,但A中没有序列收敛于公.定理2.7.3的逆命题不真.取X是实数集赋予可数补拓扑，让i:XfR是恒等映射，若在X中天x,则在R中/(巧)(%),但i在X不连续，因为XX在RR的开邻域(x-l,x+l)的原像1(X-1,X+1)=(x-1,X+1)在X中不是开的.定理2.7.4设闲是度量空间(X")中的序列，则七x=0(x")O.证xiX<>Vx的邻域U,BnZ+,当i>n时有XjU=Ve>0,三Z+当i>n时有Xi8(x,g)u>V£>0.三2+当，>时有夕(七,不)70.第三章子空间、积空间、商空间介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法，引入遗传性、可积性、可商性等概念，这些是研究拓扑性质的基本构架.教学重点：子空间与积空间；教学难点：子空间、（有限）积空间和商空间3.1 子空间对于空间X的子集族A及YuX,A在y上的限制A=AcyaA.（定义3.1.2）引理3.1.2设y是空间（X/）的子集，则是y上的拓扑.证按拓扑的三个条件逐一验证.如，设GU5,AG日8八T,使得A=BACy,于是DG=uBanKIAt1=（uBIA1）nKrr定义3.1.3对YuX,（匕%）称为（X.）的子空间，卬称为相对拓扑.“子空间”=“子集”+“相对拓扑”.易验证，若Z是y的子空间，且y是X的子空间，则Z是X的子空间.（定理3.1.4）,½三3.1.5（3.1.7）设Y是X的子空间，yeY,则（1）若T/*分别为X,y的拓扑，则，二5；若F,F*分别为X,y的全体闭集族，则F*=F;若（Jy,（Jy*分别为y在X9Y中的邻域系，则Uy*=U刑;（4）若B是X的基，则BiY是丫的基.证（2）尸*F*0y-尸r?0y-R'=UC匕U2ojF'=(X-U)Cy,Uco/*%.(4)U开于y,存在X的开集v,使得U=VCy,B1uB,满足V=UB1,则U=5BlIy).在R的子空间(0,+8)中(0.1是闭集.定理3.1.6设y是X的子空间,AuY,则(I)Jr（八）=Jx（八）Cy；(2)Cy（八）=CX（八）CY证yd（八）在X中的邻域U,Uc(A-y)n(UcY)c(A-y)七所以yd（八）cY.反之，设yd（八）cY,y在Y中的邻域匕力在X中的邻域U使V=UC丫，于是Vn(A-y)=(Un(A-y)cY=Uc(A-y)wO,所以yd（八）.(2)Cy（八）=Aud（八）=Ao(dx（八）nK)=(AuJx（八）)C(ADy)=CX（八）CY3.2 有限积空间就平面的球形邻域B.(苍£)而言，我们知道球形邻域内含有方形邻域，方形邻域内含有球形邻域.从基的角度而言,形如与(m，?)x82(X2，£2)的集合就是平面拓扑的基了.对于两个拓扑空间X,Y,在笛卡儿积集X×Y中可考虑形如U×V的集合之全体，其中U,V分别是X,Y的开集.对于有限个空间X,X2,X”,可考虑形如4、。2、“*。”的集合.定理322设(X,/)是n个拓扑空间，则X=X1×X2×.×Xn有唯一的拓扑，以X的子集族=Ul×U2×.×UnIUiei9in为它的一个基.证验证B满足定理2.6.3的条件(i),(ii).(1)X=Xl×X2×.×Xne,UB=X;(2)若CZ1×U2×.×Un,Vi×V2×.×VllB,则(Ui×(2×.×tn)n(V1×V2×.×½l)=(CX)X(U2cV2).(U"CVn)B定义3.2.2以定理3.2.2中B为基生成X=XlXX2XXX”上的唯一拓扑，称为拓扑巧,G,.F的积拓扑(X")称为(XIH)，«2,汇2)，(X”，G，的(有限)积空间.定理3.2.4设X=X1×X2×.×Xw是积空间，Bi是Xj的基，则=l×2×.×BtlIBiijin是积拓扑7的基.证利用定理2.6.2.设xU,3(l.q使Xeq×U2×.×UtfU,3BiBi使xiBiU，那么xeBxB2×.×BltUUIXU2*XUnUU.例3.2.1形如(4,4)X(七,外)X×(4,)的集合构成R”的基.设(X,p1),(X2,p2)是两个度量空间.令p(x,y)=p1(x1,¾)2+P2(x2,y2)2,则P是XlXX2上的度量，导出X上的度量拓扑对于个度量空间之积可类似地定义.(定义3.2.1)定理321度量空间的有限积：积拓扑与度量拓扑一致.验证n=2的情形.易验证B1(xl,2)×B2(x2,2)B(X,)UBl(xl,)×B2(x2,)于是每一B(X,£)是积拓扑的开集，且每一与(2,£»32。2，£)是度量拓扑的开集，所以导出相同的拓扑.定理3.2.5有限积空间X=XlXX2XXX以S=p,T()q为子基，其中乙是Xj的拓扑,化：XfXj是投射.仅证=2的情形.p1,(Ui)=Ul×X29p-U2)=Xx×U2i所以P-,(1)np；,(2)=C1×C2.定义3.2.3Xy称为开(闭)映射，若U开(闭)于X,则/(U)开(闭)于K定理3.2.6亿：XfXj是满、连续、开映射，未必是闭映射.由于PT(Ui)=XIxX2×义UiXXXu,所以pr连续由于pi(Ui×U2×.×Ui×.×Ufl)=Ui,所以是Pj开的.但是P:A?R不是闭的.定理3.2.7设映射=yX其中X是积空间XlXX2XxX.则/连续<=>zn,pjof:YXi连续.证充分性.对X的子基S=p丁(Uj)Iq”,i",广(Pr(Uj)=(Pj<)7(Uj)开于K多元函数连续当且仅当它的每一分量连续.定理3.2.8积拓扑是使每一投射都连续的最小拓扑.即设汇是积空间X=XlXX2XxX的积拓扑，若集合X的拓扑J满足：每一投射P,二(X,)X,连续，则7u，.证由于pT(UUj%i川q/,所以7u/.3.3商空间回忆，商集X/R,及自然投射：XfX/R定义为P(X)=幻展.问题：设X是拓扑空间，要在X/R上定义拓扑，使P连续的最大的拓扑.讨论更一般的情形，设(X/)是拓扑空间且:xy是满射.赋予集合丫什么拓扑，使了连续的最大的拓扑.若/连续，且U是丫的开集，则/一(U)是X的开集.让7=UuYT(U)Ur,易验证是y上的拓扑.定义3.3.1(33.2)称G是y的相对于/满射而言的商拓扑，XX.)(y,q)称为商映射.这时，u在y中开OfT(U)在X中开;尸在y中闭。/-(F)在X中闭.定理331商拓扑是使f连续的最大拓扑.证设x/)(y,%)是商映射.显然，/是连续的.如果口是丫的拓扑使/：(*.)一(匕)连续，则7。一2，,尸。)一，于是丐，即72Ug,所以是使f连续的最大拓扑.定理332设xy是商映射.对于空间z,映射giyz连续o映射gof：Xz连续.证设g。f:XZ连续,VW开于Z,(g。/)-'(W)=/-,(gT(W)开于X,由于/是商映射，所以g(W)开于丫，故g连续.定理333连续，满开(闭)映射=商映射.证设x,7)f(匕g)是连续的满开(闭)映射，是y的相对于/而言的商拓扑,要证G=%.由定理3.3.1,r1ry.反之，/丫，/7(丫)汇*.对于开映射的情形V=(,(V)r对于闭映射的情形，V=y-(X-,(V)rr,所以总有u%定义3.3.3设R是空间(XC)的等价关系，由自然投射化：XX/R确定了X/R的商拓扑，称(XR/)为商空间，这时pXXR是商映射.例331在H中定义等价关系:VAr,yR,4y=或者x,yQ,或者x,y任。商空间R是由两点组成的平庸空间.由于Q在R中既是开集，也不是闭集，所以单点集Q在R中既不是开集,也不是闭集.习惯上，把R说成是在R中将所有有理点和所有无理点分别粘合为一点所得到的商空间.例3.3.2在0,1上定义等价关系:VX,yO,l,xyO或者x=y,或者x,y=O,l.O,l是在0,1中粘合0,1两点所得到的商空间，这商空间同胚于单位圆周S1.第四章连通性本章起的四章介绍4类重要的拓扑不变性质.本章讨论连通性、道路连通性、局部连通性及其在实分析中的一些简单的应用.教学重点：连通空间、局部连通空间；教学难点：连通分支.4.1 连通空间在拓扑中怎样定义连通，分隔区间(0,1),(1,2)的关系与(0,1),口，2)的关系不同，虽然他们都不相交，但相连的程度不一样.定义4.1.1设4,BuX,若Ac3-=4-cB=0,则称AB是隔离的.区间(0,1)与(1,2)隔离，但区间(0,1)与1,2)不隔离.几个基本事实：(1)两不交的开集是隔离的;(2)两不交的闭集是隔离的;(3)隔离子集的子集是隔离的.定义4.1.2X称为不连通的，若X中有非空的隔离子集AB使X=AU3,即X可表为两非空隔离集之并.否则X称为连通的.包含多于一个点的离散空间不连通，平庸空间是连通的.定理4.1.1对空间X,下述等价：(1) X是不连通的；(2) X可表为两非空不交闭集之并；(3) X可表为两非空不交开集之并；(4) X存在既开又闭的非空真子集.证(1)=>(2)设隔离集A,8之并是X,3-=5C(ADb)=(BCA)D(BCB)=B.同理,A也是闭的.(2)=(3)设X是两非空不交闭集A,8之并，则X是两非空不交开集AB之并.(3)=(4)设X是两非空不交开集AB之并，则AB都是X的既开又闭的非空真子集.(4)=(1)若4是X的开闭集，则A,XA隔离.例4.1.1Q不是R的连通子空间，因为Q=(QC(-8,%)(c(肛+8).定理4.1.2R是连通的.证若R不连通，则R是两非空不交闭集AB之并.取定aA力8,不妨设从令人*=3,句八48"=凡勿<8则4",8*是/?两非空不交闭集且出,加=A*U8*.让c=supA.因A"是闭的，ceAc<b,(c9b