矩阵的范数和条件数.ppt
向量的范数,例1 考虑下面的两个线性方程组:,其解分别为:,和,在对方程组的解进行误差分析、讨论解方程组的迭代法的收敛性以及讨论方程组的“优劣”时,需要利用向量与矩阵的范数的概念。,定义:设X=(x1,x2,xn)T Rn,则定义:,(1)向量的2范数:,(2)向量的范数:,(3)向量的1范数:,定义 设向量XRn,若X的实值函数N(X)=X,满足条件:,(1)非负性:X0,且X=0的充要条件为X=0;,(2)齐次性:kX=|k|X,kR;,(3)三角不等式:对任意 X,YRn,都有:X+YX+Y,则称N(X)=X为Rn上的向量 X 的范数。,矩阵范数和条件数,定义:设矩阵ARnn,若A的实值函数N(A)=A,满足条件:,(1)非负性:A0,且A=0当且仅当 A=0;,(2)齐次性:A=|A,R;,(3)三角不等式:A+BA+B;,(4)柯西施瓦茨不等式:ABAB.,则称A为矩阵A的范数.,定义:设向量XRn,矩阵ARnn,且给定一种向量范数Xp,则称,为由向量范数派生的矩阵算子范数.,定理:设A=(aij)nn,则对应于3种常见的向量范数,有3种矩阵范数,列和的最大值,行和的最大值,是ATA的最大特征值,也称为谱范数,矩阵范数的一些性质:,证:,x为A的特征向量,#证毕,定义:设A=(aij)nn,的特征值为r,定义A的谱半径为:,条件数和病态矩阵,若矩阵A的条件数较大,则称A为病态矩阵。,注意到,因为:,条件数,很小,条件数表示了对误差的放大率,同样,类似有,注:一般判断矩阵是否病态,并不计算A1,而由经验得出。行列式很大或很小(如某些行、列近似相关);元素间相差大数量级,且无规则;主元消去过程中出现小主元;特征值相差大数量级。,精确解为,A1=,解:考察 A 的特征根,39206 1,测试病态程度:,此时精确解为,2.0102 200%,为对称矩阵,