矩阵的特征值总.ppt

内积具有下列运算性质：,（线性性）,（对称性）,（正定性）,1.向量的内积的概念及性质,复习,2.向量的长度及性质,向量的长度有下述性质：,(1)非负性：,(3)三角不等式：,(2)齐次性：,(4)柯西-布涅柯夫斯基不等式:,3.正交向量组,中 的正交向量组必线性无关,4.施密特正交化方法,5.正交矩阵,(1)QTQ=I Q为正交矩阵.,(2)若Q为正交矩阵,则其行列式的值为1或-1;(3)若Q为正交矩阵,则Q可逆,且Q-1=QT;(4)若P、Q为正交矩阵,则它们的积PQ也是 正交矩阵.,(5)Q为正交矩阵 Q的列(行)向量组是单位正交向量组.,第三节 实对称矩阵的特征值 和特征向量（二）,实对称矩阵的相关结论,用正交矩阵 P 化实对称矩阵 A 为对角形矩阵的方法,实对称矩阵的特征根是实数.,一、实对称矩阵的相关结论,定理4.11,推论：n阶实对称矩阵有n个实特征根（重根按重数计算）,实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的。,定理4.12,证明,于是,补充定理：,因不同的特征值对应的特征向量已知是正交的（定理4.12）,但同一特征值的线性无关的特征向量并不正交;可用施密特正交化方法把同一特征值的线性无关的特征向量正交化,对有重根的特征值的特征向量均作正交化后可得一个正交向量组,再将该正交向量组单位化,即可得到单位正交向量组,合并可得正交矩阵.,设A为实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使Q-1AQ为对角矩阵.,故有：,定理4.13,二 正交矩阵P化对称阵A为对角阵,将实对称矩阵对角化的步骤：,例3：已知三阶矩阵A的特征值,求矩阵B的特征值以及与之相似的对角矩阵,解 因为三阶矩阵A有三个不同的特征值，所以,由定理3,所以B的特征值为-4，-6，-12,从而所求与B相似的对角矩阵为：,1.对称矩阵的性质：,(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化,小结,练习,对实对称矩阵，求出正交矩阵 使 为对角阵.,解,第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,作业：P200 22(2)23,作业,