矩阵乘积的逆(高等代数课件).ppt

一、可逆矩阵的概念,二、可逆矩阵的判定、求法,4.4 矩阵的逆,三、逆矩阵的运算规律,四、矩阵方程,一、引例,一、可逆矩阵的概念,定义,设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得,ABBAE,则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.,注：,可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作,单位矩阵 E 可逆，且,可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆矩阵，且,2.逆矩阵的唯一性,若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一.,证明,设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义,有 AB=BA=E，AC=CA=E，,于是,B=BE,=B(AC),=(BA)C,=EC=C.,所以逆矩阵唯一.,证毕,三、矩阵可逆的条件,现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆,的？,如果 A 可逆，怎样求 A-1？,为此先引入伴随,矩阵的概念.,二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法,定义,1、伴随矩阵,称为A的伴随矩阵.,性质：,余子式，矩阵,设 是矩阵中元素 的代数,证：由行列式按一行（列）展开公式,立即可得,同理,非退化的），且,证：若由,所以，A可逆，且,两边取行列式，得,2、定理：矩阵A可逆当且仅当（即A,得,反过来，若A可逆，则有,则A、B皆为可逆矩阵，且,证：,由定理知，A、B皆为可逆矩阵.,从而,再由,即有，,3、推论：设A、B为 n 级方阵，若,例1,判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.,解：1）,A可逆.,再由,有,当时，A可逆.,且由于,三、逆矩阵的运算规律,(5)若A可逆，则 亦 可逆，且,(6)若A可逆，则 亦 可逆，且,当 时，定义,注：,则有,设方阵 A 满足,证明：与 皆可逆，并求其逆.,例2,由,即,故 A 可逆，且,再由,得,即,证：,得,五、克拉默法则的另一证法,利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种,推导法.,线性方程组,可以写成,AX=B.(6),如果|A|0，那么 A 可逆.,用,X=A-1B,代入(6)，得恒等式 A(A-1B)=B，这就是说 A-1B,是一解.,如果,X=C,是(6)的一个解，那么由,AC=B,得,A-1(AC)=A-1B，,即 C=A-1B.,这就是说，解 X=A-1B 是唯一的.,用 A-1 的公式(4),代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.,四、矩阵方程,1.线性方程组,令,则（1）可看成矩阵方程,若A为可逆矩阵，则,矩阵方程,若A为可逆矩阵，则,2.推广,矩阵方程,若A为可逆矩阵，则,矩阵方程,若A,B皆可逆，则,3.矩阵积的秩,证：,令,又P可逆，,由定理2，,有,故,例3 解矩阵方程,解：,.,注:,练习,可逆，且,例 4 解下列矩阵方程,AXB=C 其中,解 由已知易得 X=A-1CB-1,下面求 A 和 B 的逆阵.,所以,例 5 设 n 级矩阵 A,B,A+B 均可逆,证明,(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.,证 将 A-1+B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积:,A-1+B-1=A-1(E+AB-1)=A-1(BB-1+AB-1),=A-1(B+A)B-1.,由可逆矩阵的性质可知,(A-1+B-1)-1=A-1(A+B)B-1-1=B(B+A)-1A.,同理可证另一个等式也成立.,例 6 设 A 为 n 级方阵(n 2),证明,|A*|=|A|n-1.,证 由于 AA*=A*A=|A|E,所以,|A|A*|=|A|n(4),下面分三种情形讨论:,(1)|A|0,即 A 可逆,(4)式两端除以|A|即,得|A*|=|A|n-1.,(2)|A|=0,且 A=O,则 A*=O,结论显然成,立.,(3)|A|=0,但 A O,反设|A*|0,则 A*可逆,因而 A=(AA*)(A*)-1=(|A|E)(A*)-1=|A|(A*)-1=O,故 A=O,与 A O 矛盾,所以,|A*|=0=|A|n-1.,