《概率论与数理统计》习题三答案.docx
概率论与数理统计习题及答案习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以V表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的肯定值.试写出X和y的联合分布律.【解】X和y的联合分布律如表：X012310GllI3c,-×-×-=-32228C-×-×-=383222031_800IlllXX二一22282.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和丫的联合分布律.【解】X和y的联合分布律如表：X0123000C"C；3C4j-35C；C；_2-3510CCeCe6C；35CC*C*12C；35C：C2C=352P(O黑,2红,2白)二=35c3*c2*c2_6C；-35_3C；3503.设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数为,、sinxsiny,0x-,0y-F（x,y）=220,其他.求二维随机变量（X,Y）在长方形域（）<x1,<y内的概率.【解】如图P0vXq,色vY2公式(3.2)463FGA)-尸(？今-(0,三)+F(0,J)434636TC7CTT7Cr.TCz-x7C=smsmsinsmsinOsn+sinOsm434636题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4 .设随机变量(X,Y)的分布密度Ae-(3v+4v),x>0,y>0,0,其他.求：(1)常数A；(2)随机变量(X,Y)的分布函数；(3) POX<1,0y<2.【解】由匚匚/(x,y)dxdyAe-dxdy=1得A=2(2)由定义，有产(,')=/(w,v)dwdvJ-RJVJJJ2e-(3M+4v>dwdv_f(l-e-3x)(l-e-4v)j>0,>0,0。，其他(4) P0X<l,0r<2=po<x,o<r22e-(3r+4v)dxdy=(l-e-3)(l-e)0.9499.5 .设随机变量(X,Y)的概率密度为k(-x-yOCXV2,2<yv4,f(x,V)=S_.l0,其他.(1)确定常数k；(2)求Pxv,y<3)；(3)求PX<1.5;(4)求PX+y4.【解】(1)由性质有f+0o<+oo,2(4JJfay)dxdy=JoJ,&(6-x-y)dydx=8Z=1,故R=-8P(X<l,y<3='ff(x9y)dydx-XJ-OO=氓砥*y)d心=|尸X<1.5=JJ/(x,y)cUdy三aJf(x,y)xdyx<l.5:(6-x-y)dy=.x+r4D2(4)尸X+y4=f(x,y)dxd)，如图bIf(x,y)dxdyy的密度函数为f(y)=<5e5v,0,y>0,其他求：（1）X与y的联合分布密度；（2）py<x.【解】（1）因X在（0,0.2）上听从匀称分布，所以X的密度函数为1A(X)= 020,0<x<0.2, 其他.人(y) = <5e-5 y>0, 0, 其他.所以/(x,y)X,y独立力(办4(y)×5e-5y 0.20<x< 0.2 且y > 0, 其他.(2) P(YX)=f(x,y)dxdy如图J25e_5vdrdyyxD=dx25e'5v,=C2(-5e-5x+5)dx=e,0.3679.7 .设二维随机变量(X,X)的联合分布函数为F (x, y)=,(l-e)(l-e-2y),x>O,y>O,0,其他.求（X,Y）的联合分布密度.【解】f(Ky) = MM oxy8e-s>, x>o,y>O,0, 其他.8 .设二维随机变量（X,X）的概率密度为4.8y(2-x),0<xl,Oyx,0,其他.求边缘概率密度.【解】(x)=J(x,y)dyf4.8y(2-X)dy2.4x2(2-x),0x1,=(Jo=V0Io,其他(>,)=/U,j)<tvf'4.8y(2-x)dx2.4y(3-4y+/),0yl,0：,其他y=xy=x9 .设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(%，y)=<,O<X<y,其他f (x, y)ex y, X y,0, 其他求边缘概率密度.【解】fx(x)=f(x.y)dyJ-QOr+coeydyet,x>0,=(JX=V0,10，其他.f+<»f(y)=f(,y)也J-8=；"=产y>00,其他.题10图10 .设二维随机变量(X,y)的概率密度为(1)试确定常数c；(2)求边缘概率密度.解OHy)dxdy如图f(x,y)dxdy121312exyay=c=l.21Tj+00fxM=f(,y)dy-lxl,其他.OyL其他.5-2y7-2厂VIl.设随机变量(X,Y)的概率密度为/(X，y)=1,y<X,0<X<1,0,其他求条件概率密度加X(yl),f×【解】U)=400f(,y)dy-OOIdy=2x1=J-X-X0,0<X<1,其他.(y)=Fa,y)d="fldx=l+y,j-yflldx=l-y,jy0,-i<y<,0y<l,其他.所以八”“赛azzlxf(,y)fxiYMy)=l1-yl+yO,y<<t,-y<<l,其他.12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.（1）求X与y的联合概率分布；（2）X与y是否相互独立？【解】（I）X与y的联合分布律如下表345PX311_1cTo22Er万33cio6Io20J_J_cf-To2_2cio3Io3001_1c1lo1IoPy=yi1W3W6To(2)因px=ipy=3=gL=-w'=PX=,y=3,IOIOIIO故X与y不独立13.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为2580.40.150.300.350.80.050.120.03（1）月之关于X和关于y的边缘分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X和y的边缘分布如下表258Py=y0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.2PX=i0.20.420.38(2)因PX=2Py=0.4)=0.2×0.8=0.160.15=P(X=2,y=0.4),故X与y不独立.14.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在（O,I）上听从匀称分布，V的概率密度为>0,他 C其 2v一 e 1-20, 广 一 ； <=yZlx（1）求X和y的联合概率密度；【解】因力（X）= <1, 0<x<l, 0,其他；（2）设含有的二次方程为4+2X+y=0,试求。有实根的概率.,/、二e,y>i,f(y)=20,其他.e"20VX<V故f(x,y)X,y独立FX(x)A(>,)=l20,其他.题14图（2）方程2+2X+y=0有实根的条件是=(2X)2-4K0故xy,从而方程有实根的概率为：PX2Y=/(x,y)dxdyxty=Wo=l-2r(l)-(0)=0.1445.15.设X和y分别表示两个不同电子器件的寿命 从同一分布，其概率密度为（以小时计），并设X和y相互独立，且听f（X）=,1000X20,% >1000,其他.求z=xy的概率密度.V【解】如图Z的分布函数Fz(Z)=PZz=P<z(1)当z0时，Fz(z)=0（2）当（Kzvl时，（这时当X=IOoo时尸）（如图a）z题15图 当ZNl时，（这时当尸U时，尸1（）3Z）（如图b）%=Q篝酬=£。筹Cky-z>l,0<z<l, 其他.zl,0<z<l, 其他.2z1.(z)=<0,2z2一、1ZJ(Z)二份0,16 .设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地听从N（160,202）分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为MG=I,2,3,4),则XN(160,202),从而Pmin(X，X2，X3，X4)N180Xj之间独立PX180PX2180PX3180.PX4180=1-PXi<180.1-PX2<1801-PX3<i80J41-P(X4<180)= l-PX1<1804 =180-160 Y - J=1-(1)4=(0.158)4=0.00063.17 .设X,y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p(k),D,1,2,，PY=r=q(r),r=0,1,2».证明随机变量Z=X+Y的分布律为PZ=i=p(k)q(i-k),Z=O,1,2,.=o【证明】因X和Y全部可能值都是非负整数，所以(z=)=x+r=x=0,y=0x=1,y=i-i=×=0)于是呻制二方长乂号丫二一因丫相互独立大片乂=%/1=一Jt=OIC=O=fp(k)q(i-k)Jt=O18 .设X,y是相互独立的随机变量，它们都听从参数为，的二项分布.证明z=x+y听从参数为2”，P的二项分布.【证明】方法一：X+y可能取值为0,1,2,，2n.kPX+Y=k=PX=iyY=k-i/=O=ZP(X=i)PU=0I=O V IA l)方法二：设4|小2,小点0'2,，"J均听从两点分布(参数为P)，则X="l+"2+y="l'+"2'+"'，X+Y=+2+.+""+"1'+"2'+.+"'，所以，X+y听从参数为(2,)的二项分布.19.设随机变量(X,Y)的分布律为X012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05月PX=2Iy=2,PY=3IX=O);(2)求V=max(X,Y)的分布律;(3)求U=min(X,Y)的分布律;(4)求W=X+Y的分布律.【解】(1)PX=2|y=2=P：；2：；：2)PX=2,y=20.051次px=,y=20255f=0px=0,y=3_o.oi_ip(x=o,y=j003*J=OPY = 3X =0 =p(y = 3,x =0PX=O(2) PV=i=Pmax(X9Y)=i=PX=i9Y<i+PXi,Y=i)=WpX=i,y=A+SpX=Z,y=i,j=0,l,2,3,4,5k=0k=0所以丫的分布律为V=max(X,r)O12345PO0.040.160.280.240.28(3) PU=i=Pmin(X,Y)=i=px=,rz+px>,r=35=ZPX=i,y=Z+ZP=k,=ik=iit=+l于是U=min(X,K)O123P0.280300.250.17（4）类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为七设目标出现点（X,丫）在屏幕上听从匀称分布.(1)求Py>oy>x;(2)设M=maxX,K),求PM>0.【解】因（X,Y）的联合概率密度为/(x,y)=R2'0,其他.尸y>=岂篝产/(,y)db>->0_y>x/(,y)dby>xfd°!TrdrJ4JoR-J4JoR23/8 3=1/24,(2)PM>O)=Pmax(X,y)>O=l-Pmax(X,K)0=1-PXy0【解】区域。的面积为SO=J:1 . e2-dx = Inx 1=2.（x,n的联合密度函数为21.设平面区域。由曲线y=lx及直线产0,ml,x=e2所围成，二维随机变量（X,丫）在区域。上听从匀称分布，求（X,Y）关于X的边缘概率密度在户2处的值为多少？_/(x,y) = 20,1<xe2,0<y-,X其他.（x,y）关于X的边缘密度函数为rl11,f-dy=-lxe2,x(x)=J。2J2x0,其他所以人（2）=；.22.设随机变量X和y相互独立，下表列出了二维随机变量（X,丫）联合分布律及关于X和y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.”J3PX=xi=piXiX21/81/8Py=yj=pj1/61【解】因py=1=Zpx=%,y=,/=I故PY=y=PX=,y=y+PX=X2,y=y,从而Px=1,r=yl=-=.而X与y独立，故px=xjpy=px=x,y=yj,从而PX=Px=x，y=.即：PX=.=-/-=-.12464又尸x=px=,y=M+Px=x,y=%+Px=,y=y3,即，=-+，+尸x=玉丫=%，4248,3从而Px=x,y=%=13同理Py=%=,PX=x2yY=y2=3111又耳尸y=%=,故叩=%=七-5=3同理PX=x,=工4从而PX=x2,Y=y3)=PY=y3-PX=x1,y=y3=-=.故)?1%PX=xi=Pi再12428112j_4X22838£424Py=yj=Pj6j_223123.设某班车起点站上客人数X听从参数为i(2>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为P(XP<1),且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：(D在发车时有个乘客的条件下，中途有，人下车的概率；(2)二维随机变量(X,丫)的概率分布.【解】(1)Py=m|X=C："(lp)E,Om小=0,1,2,.(2)PX=n,Y=m=PX=nyPY=tnX=n=C：Pm(I-p)"m-nmnin=0X2,.n24.设随机变量X和y独立，其中X的概率分布为XJ12L而y的概率密度为贝），）,10.30«J求随机变量u=x+y的概率密度g（）.【解】设尸（y）是y的分布函数，则由全概率公式，知u=x+y的分布函数为G（W）=Px+y"=o.3Px+yUlX=I+o.7Px+y"X=2=0.3Pyw-lX=l+0.7Pyw-2X=2由于X和丫独立，可见G(w)=0.3Pyw-l)+0.7PyM-2)0.3F(h-1)+0.7F(m-2).由此，得U的概率密度为g()=G,(u)=03F,(u-1)+0.7F,(-2)=0.3/(-1)+0.7/(一2).25.25.设随机变量X与Y相互独立，且均听从区间0,3上的匀称分布，求PmaxX,Y1).解:因为随即变量听从0, 3上的匀称分布，于是有=3,0,0x3,X < 0, % > 3;因为X,y相互独立，所以f(ty) = 9'f(y) = * oy3,0, y<O,y> 3.0x3,0y3,0,%<O,y<O,X>3,y>3.推得PmaxX,yl = -101-1a00.200.1b0.2100.1C设二维随机变量（X,丫）的概率分布为其中a,b,c为常数，且X的数学期望E（X）=-0.2,PK0X0=0.5,记Z=X+Y.求:26.(1)。自C的值；(2) Z的概率分布；(3) PX=Z.解(1)由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=I即a+b+c=0.4.由E(X)=-O.2,可得a+C=-0.1.再由Prox=Px="+"+°=0.5,1PXO+b+0.5得+b=0.3.解以上关于,b,C的三个方程得a=0.2,Z?=0.l,c=O.1.(2)Z的可能取值为-2,-1,0,1,2,PZ=-2=PX=-l,y=-l=0.2,pz=-i)=px=-1,y=0+Px=0,y=-i)=0.1,pz=0=Px=-1,y=i+Px=0,y=0)+Px=1,y=-i=0.3,pz=i=px=1,y=o)÷px=o,y=i=o.3,pz=2)=px=,y=i=o.,即Z的概率分布为Z-2-1O12P0.20.1030.30.1PX=Z=Pr=0=0.1+Z>+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4.
