相似原理与量纲分析.ppt

第 4 章 相似原理和量纲分析（Similitude and Dimensional Analysis)4.1 相似原理 4.1.1 流动相似 工程实物（prototype）的流动规律通常借助于模型由实验解决。模型（model）指与原型有同样的流动规律、各运动参数存在固定比例关系的缩小物。模型与原型具有同样流动规律的关键是流动相似。相似原理则是研究相似流动的理论基础，即模型实验的理论基础。流动相似除要求模型与原型的几何量（长度、面积等）相似以外，还要求相关的运动量（速度等）相似和作用力相似。,（1）几何相似 几何相似模型与原型流场的几何形状相似，即相应线段的长度成比例、夹角相等，即,式中 lr 称为长度比尺，则称为模型比尺。,面积比尺,体积比尺,只要模型与原型各相应长度保持 lr 不变，两流动几何相似。,（2）运动相似 运动相似模型与原型流场中相应点速度方向相同，大小成比例，即,式中 ur 称为速度比尺。由于各相应点速度成比例，相应断,面的平均速度必然成比例，即,另外,式中 tr 称为时间比尺。,速度相似也就意味着加速度相似，即,（3）动力相似,用，力的方向相同，大小成比例。,或,动力相似模型与原型流场中相应点处质点受同名力作,根据达朗伯原理，惯性力与其他诸力相平衡，形式上构,成力多边形。因此，动力相似可以表现为模型与原型的力多,边形相似。影响流体流动的主要作用力有黏滞力、重力、压,力以及惯性力等，并分别表示为 FV、FG、FP 和 FI，于是,根据两个力的特征量表示,或,无量纲数,称为雷诺数（Reynolds Number）。,4.1.2 相似准则 几何相似是流动相似的基础，而动力相似则是流动相似的保证。模型与原型动力相似的条件为两流动相似准数相等，这样一个条件称为相似准则（similarity criterion）。由于不同流动条件下有不同力的作用，因此也就存在着不同力的相似准数，以及不同的相似准则。（1）雷诺准则 考虑原型与模型之间黏滞力与惯性力的关系,（2）弗汝德准则,考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系,或,于是原型与模型黏滞力与惯性力之比可表示为,这表明，原型与模型的雷诺数相等，两流动的黏滞力相似。,根据两个力的特征量表示,无量纲数,称为弗汝德数（Froude Number）。,于是原型与模型重力与惯性力之比可表示为,（3）欧拉准则,考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系,根据两个力的特征量表示,或,这表明，原型与模型的弗汝德数相等，两流动的重力相似。,无量纲数,称为欧拉数（Euler Number）。,于是原型与模型压力与惯性力之比可表示为,这表明，原型与模型的欧拉数相等，两流动的压力相似。,两个相似流动相应点上的封闭力多边形是相似形。虽然影响液体运动还有诸如弹性力、表面张力等，但通常情况下决定流动的作用力只有黏滞力、重力和压力，即该封闭力多边形由这 3 个力和惯性力组成。那么，只要其中两个同名作用力和惯性力成比例，另一个对应的同名力将自动成比例。由于压力通常是待求量，这样只要黏滞力、重力相似，压力将自行相似。换言之，若雷诺准则、弗汝德准则成立，欧拉准则自行成立。所以又将雷诺准则、弗汝德准则称为独立准则，欧拉准则称为导出准则。液体的运动是由边界条件和作用力决定的，当两个流动一旦实现了几何相似和动力相似，就必然以相同的规律运动。因此，几何相似与独立准则成立是实现流动相似的充分与必要条件。,4.2 模型实验 4.2.1 模型律的选择 为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相似，即同时满足各独立准则。事实上，很难达到独立准则同时满足。一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即满足主要作用力相似即可。通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝准则。因此，主要作用力则是黏滞力或重力。若主要作用力是黏滞力，模型按雷诺模型律设计，即模型与原型之间只满足雷诺准则。例如有压管流。若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模型与原型之间只满足弗汝德准则。例如无压流。,4.2.2 模型设计 1.根据实验场地、模型制作条件和量测条件等确定长度比尺 lr 或模型比尺，由选定的比尺确定模型区的几何边界；2.根据流动受力情况分析，选择模型律；3.运用准则，确定模型的速度比尺及模型流量。按雷诺模型律设计，模型与原型间只需满足雷诺准则,若模型与原型在相同温度下使用相同介质，则p=m，,或,于是,按弗汝德模型律设计，模型与原型间只满足弗劳德准,若模型与原型同在重力场，则 gp=gl，于是,或,流量比尺为,若按雷诺模型律设计，则,或,若按弗汝德模型律设计，则,或,【例 1】桥孔过流模型实验。已知桥墩长 lp=24m，桥墩宽bp=4.3m，水深 hp=8.2m，平均流速 vp=2.3m，两桥墩中心距 Bp=90m。若长度比尺 lr=50，要求设计模型。【解】1.由给定比尺 lr=50，算得模型尺寸,桥墩长,桥墩宽,墩台距,水深,2.无压流，按弗劳德模型律设计,模型流速,模型流量,原型流量,4.3 量纲分析 4.3.1 量纲（dimension）量纲 物理量的单位类别，又称因次。例如：衡量长短、远近均使用长度单位，这类物理量则具有长度量纲。通常用 L 表示长度量纲，M表示质量量纲，T表示时间量纲，用 dim q 表示某物理量 q 的量纲。无量纲量不具有量纲的量，又称为数，如角度等。基本量纲无任何联系的、相互独立的量纲。基本量纲的选取与国际单位制相一致。力学中，选取 长度量纲 L 质量量纲 M 时间量纲 T 为基本量纲。,导出量纲 由基本量纲以一定形式组成的量纲，如：面积量纲 dim A=L2 密度量纲 dim=ML-3 速度量纲 dim v=LT-1 加速度量纲 dim a=LT-2 力量纲 dim F=MLT-2 应力量纲 dim p=ML-1T-2 动力黏度量纲 dim=ML-1T-1 运动黏度量纲 dim=L2T-1 综合以上各量纲式，某一物理量 q 的量纲dim q 可用三个基本量纲的指数乘积式来表示，即 dim q=MLT,无量纲量 当量纲式中各量纲指数均为零，即=0时，物理量 q 的量纲 dim q=1，为无量纲量。例如有压管流中断面平均流速 v、管道直径 D 和流体运动黏度的组合为,其量纲为,4.3.2 量纲和谐原理,凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲一定是,Re 是由 3 个有量纲量组合得到的无量纲量，即雷诺数。,一致的。如伯努利方程中的各项均具有长度量纲。,4.3.3 量纲分析法（1）瑞利法（Rayleigh）若某一物理过程同几个物理量有关，即 f（q1,q2,qn）=0其中任一个物理量 qi 都可以用其他物理量的指数乘积来表示，即 qi=Kq1aq2bqn-1p其量纲式为 dim qi=dim(q1aq2bqn-1p)将量纲式中各物理量的量纲都用基本量纲的指数积形式表示，并根据量纲和谐原理，确定各指数a、b、p等。以下通过例题进一步说明瑞利法的应用。,【例 2】求水泵输出功率的表达式。【解】水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。（1）找出与水泵输出功率 N 有关的物理量，包括单位体积水的重量=g、流量 Q、扬程 H，于是有 f（N,Q,H）=0（2）指数积关系式 N=Ka Qb Hc（3）量纲式 dim N=dim(a Q b H c)（4）用基本量纲表示各物理量量纲 ML2T-3=(ML-2T-2)a(L3T-1)b(L)c（5）根据量纲和谐原理求量纲指数 M：1=a L：2=-2a+3b+c T：-3=-2a-b解方程得，a=1，b=1，c=1。,（6）整理方程得 N=KQHK 为由实验确定的常数。问题：由于基本量纲只有3个，故只能建立 3 个方程求解量纲指数。因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量不能超过4个，否则将会出现待定系数。（2）定理 定理则是更为普遍的量纲分析基本理论，又称布金汉（Buckingham）定理。若某一物理过程包含 n 个物理量，f(q1q2q3qn)=0，其中有 m 个基本量，则该物理过程可由这 n 个物理量所构成的（n-m）个无量纲量所表达的关系式来描述，即 F(1,2 n-m)=0因无量纲量用 表示，故得名 定理。,【例3】求真实流体有压管流压强损失（水头损失）表达式。【解】1.根据经验与实验资料找出相关物理量。本题中有压强损失p、流体密度、流体动力黏度、管道长度 l、管道直径 D、管道壁面粗糙度 e 与流速 v，相关量数 n=7。f(p,l,d,e,v)=0 2.选取基本量。不可压缩流体的运动一般取 m=3。本题中取 v,D,为基本量（分别含时间、长度和质量）。3.组成 数。n-m=4，即4个 数。,4.计算各数的量纲指数。,M：1=c1,L：-1=a1+b1-3c1,T：-2=-a1,a1=2,b1=0,解得,c1=1,M：1=c2,L：-1=a2+b2-3c1,T：-1=-a1,解得,a2=1,b2=1,c2=1,a3=0,b3=1,解得,c3=0,5.整理方程,解得,a4=0,b4=1,c4=0,或者,求解,p 与管长 l 成正比，故,上式为有压管流管道压强损失（水头损失）计算公式，又称达西公式（Darcy)，为沿程阻力系数。,