相似三角形的判定与性质.ppt

新课标高中一轮总复习,第十单元几何证明选讲,知识体系,1.了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理及性质定理.3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.,5.了解下面的定理：定理:在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于点O，其夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记=0)，则：(1),平面与圆锥的交线为椭圆；(2)=,平面与圆锥的交线为抛物线;(3),平面与圆锥的交线为双曲线.,6.会利用丹迪林(Dandelin)双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况.7.会证明以下结论：(1)在6.中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为；,（2）如果平面与平面的交线为m,在5.(1)中椭圆上任取一点A，该丹迪林球与平面的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率).8.了解定理5.(3)中的证明，了解当无限接近时，平面的极限结果.,第67讲,相似三角形的判定与性质,1.理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的三个判定定理的证明方法.2.了解平行线分线段成比例定理.3.理解并掌握直角三角形射影定理.,1.如图，在ABC中，MNDEBC,若AEEC=73,则DBAB的值为.,3:10,因为=,所以=,所以DBAB=310.,2.两个相似三角形的周长分别是4和9，则两个三角形的面积比是.,1681,因为=,所以=()2=.,3.如图，CD是直角三角形ABC斜边上的高，则图中相似的三角形有 对.,3,4.如图，已知点A、D在直线BC上的射影分别为B、C，点E为线段AD的中点，则BE与CE的大小关系为.,BE=CE,过点E作EFBC于F，则ABEFCD.因为E为AD的中点，所以F为BC的中点,所以EF是BC的中垂线，则BE=CE.,5.在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，过C作CEBD于E，则BE=.,由直角三角形射影定理可知BC2=BEBD,所以BE=.,6.如图，已知DEBC,且BFEF=43，则ACAE=.,43,因为DEBC，所以DEFCBF，所以BFEF=BCDE=43.又因为DEBC，所以ADEABC，所以ACAE=BCDE=43.,1.平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也.(2)推论1：x经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 第三边.(3)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 另一腰.,相等,平分,平分,2.平行线分线段成比例定理及推论三条平行线截任意两条直线，所截出的 成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的 成比例.3.相似三角形的定义对应角,对应边 的两个三角形叫做两个相似三角形.,对应线段,对应线段,相等,成比例,4.相似三角形的判定判定定理1:两角对应 的两个三角形相似.判定定理2:两边对应,并且夹角 的两个三角形相似.判定定理3:三边对应 的两个三角形相似.5.相似三角形的性质(1)相似三角形对应边上的高、中线和对应角平分线的比都等于.,相等,成比例,相等,成比例,相似比,(2)相似三角形周长的比等于.(3)相似三角形的面积比等于.6.直角三角形射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的;斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的.,相似比,相似比的平方,比例中项,比例中项,题型一 平行线分线段成比例问题,例1,如图,已知ABEFCD,若AB=6 cm,CD=9 cm,则EF=.,由于BC是ABC与DBC的公共边，且ABEFCD，利用平行线分三角形成相似三角形可求EF.,在ABC中,因为EFAB,所以=.在DBC中,因为EFCD,所以=.两式相加,得+=+=1,所以+=1,故EF=cm.,由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：+=.,如右图,平行四边形ABCD的对角线交于点O，OE交BC于E，交AB的延长线于F，若AB=a,BC=b,BF=c,则BE=.,本题所给出的已知线段AB、BC、BF位置分散，应设法利用平行四边形的等量关系，通过作辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来.为此,过O作OGBC，交AB于G，构造BEFGOF求解.,过O作OGBC，交AB于G，显然OG是ABC的中位线，所以OG=BC=b,GB=AB=a.在GOF中,BEOG,所以BEFGOF,所以=,即BE=GO=.,解决平面几何问题时,当条件较分散时,可适当添作辅助线,使得分散的条件适当集中.,题型二 直角三角形射影定理及应用,例2,已知，如图，在梯形ABCD中，ADBC,ACBD，垂足为E,ABC=45，过E作AD的垂线交AD于F,交BC于G，过E作AD的平 行线交AB于H.求证：FG2=AFDF+BGCG+AHBH.,由射影定理可知AFDF=EF2,BGCG=EG2,故考虑将FG=FE+EG,然后只需寻找EFEG与AHBH的关系.,因为ACBD,故AED、BEC都是直角三角形.又EFAD,EGBC,由射影定理可知AFDF=EF2,BGCG=EG2.,又FG2=(FE+EG)2=FE2+EG2+2FEEG=AFDF+BGCG+2FEEG,因为ABC=45,分别过点A、H作直线与BC垂直，易知，AH=2FE,BH=2EG,故AHBH=2EFEG.所以FG2=AFDF+BGCG+2FEEG=AFDF+BGCG+AHBH.,做平面几何证明题时要分析待证明的结论与已知条件的关系，逐步消除差距.,如图,在RtABC中，BAC=90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，求证：AD3=BCBECF.,问题题设中含有直角三角形和斜边上的高，符合直角三角形射影定理的两个条件中，故考虑应用射影定理求解.,在RtABC中，因为ADBC，所以AD2=BDDC，且ADBC=ABAC.在RtABD中和RtADC中，因为DEAB，DFAC，由射影定理，BD2=BEBA，DC2=CFAC,所以BD2DC2=BEBACFAC=BECFADBC=AD4，所以AD3=BCBECF.,题型三 相似三角形判定定理及性质定理的应用,例3,如图，在矩形ABCD中，AB AD，E为AD的中点，EFEC，且EF交AB于F，连接FC.设=k，是否存在实数k的值，使AEF、ECF、DCE与BCF都相 似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.,要证明这四个三角形都相似，可以逐次证明其中的三角形相似，由于这些三角形都是直角三角形，因此只要证明两个三角形有一组锐角相等或两组对应边成比例即可.,假设存在实数k的值，满足题设.先证明AEFDCEECF.因为EFEC,所以AEF=90-DEC=DCE.而A=D=90，故AEFDCE.,故得=,而DE=EA，所以=.又CEF=EAF=90,所以AEFECF.再证明可以取到实数k的值，使AEFBCF.由于AFE+BFC90，故不可能有AFE=BCF,因此要使AEFBCF,应有AFE=BFC，,此时，有=，但AE=BC，故得AF=BF=AB.由AEFDCE，可知=.因此，(BC)2=AB2，所以=，求得k=.可以验证，当k=时，这四个三角形都是有一个锐角等于60的直角三角形，故它们都相似.,对于存在性问题，先假设其存在，再求解推理，若其解符合题意，则存在，否则不存在.,(1)如图甲，平行四边形ABCD中，AEEB=12，若AEF的面积为a cm2，则CDF的面积等于 cm2.(2)如图乙，在ABC中，DEBC,EFCD，且AB=2,AD=,则AF=.,1,9a,(1)显然AEFCDF.因为AEF的面积为a，要求DCF的面积,运用相似三角形的性质即可；（2）由于题目给出了两对平行线，求截得的线段长，用平行线分线段成比例定理可得.,(1)因为AEDC,所以AEFCDF,=()2=()2=()2=,所以SCDF=9SAEF=9a.(2)因为EFCD,所以AEFACD,故=.又因为DEBC,所以ADEABC,所以=,所以=,即AF=1.,平行线及其性质的运用，在解题、证题中是比较灵活的，应好好体会.,1.相似三角形的证法：定义法：对应边成比例，对应角相等；平行法；判定定理法：用得最多的是判定定理1，即两角对应相等的两个三角形相似；对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法，两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似；斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似.,2.相似三角形的性质：对应边成比例，对应角相等；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些关系可以进行各种证明、求值.3.在探究证明中,掌握从特殊到一般和化归的思想方法,学会解决问题的程序、模式.,(2009江苏卷)如图，在四边形ABCD中，ABCBAD.求证：ABCD.,由ABCBAD,得ACB=BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而CAB=CDB.再由ABCBAD,得CAB=DBA.因此DBA=CDB，所以ABCD.,(2008宁夏/海南卷)过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A,过A点作直线AP垂直于直线OM,垂足为P.(1)证明：OA2=OMOP;(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON,且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K，证明:OKM90.,(1)因为MA是圆O的切线,所以OAAM.又因为APOM,在RtOAM中，由射影定理知，OA2=OMOP.(2)因为BK是圆O的切线，BNOK,同（1），有OB2=ONOK.又OB=OA,所以OPOM=ONOK,即=.又NOP=MOK,所以ONPOMK,故OKM=OPN=90.,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,