直线的倾斜角、斜率和方程.ppt
9.1 直线的倾斜角、斜率和方程,1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角 记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0。,（2）倾斜角的范围。,2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan(90)；倾斜角为90的直线没有斜率；,（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；,（3）直线的方向向量：，,（4）求直线斜率的方法：,定义法：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率k=tan.公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1x2，则斜率k=.方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=.,3.直线方程的几种形式：,对倾斜角、斜率概念的理解,（1）直线3yx2=0的倾斜角是（）A30 B60 C120 D150,解：（1）因为直线的斜率即倾斜角的正切 值，即为故选D。,D,（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是（）A3，4 B2，3 C4，3 D4，3,解:利用斜率计算公式k=，可求得x2，y3 依次是4，3，故选C,解:（3）因直线l1与l2关于x轴对称，因此两直线的倾斜角互补，所以两直线的斜率互为相反数故选A。,A,（4）从直线l上的一点A到另一点B的纵坐标增量是3，横坐标增量是2，则该直线的斜率是,解:（4）由直线的斜率的定义可知=3/2 故填：3/2,、直线 的倾斜角的取值范围是_。,解:直线的斜率,【点评与感悟】斜率与倾斜角的范围之间不能 想当然,要 根据具体情况而定,已知ABC的三个顶点是A(3,-4)、B(0,3)、C(-6,0),求它的三条边所在的直线方程.,各种形式的直线方程的恰当选择,思路分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时,应根据题目所给的条件恰当选择某种形式,使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上,点C在x轴上,于是BC边所在的直线方程用截距式表示,AB所在的直线方程用斜截式的形式表示,AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可,最后为统一形式,均化为直线方程的一般式.,解：如右图,因ABC的顶点B与C的坐标分别为(0,3)和(-6,0),故B点在y轴上,C点在x轴上,即直线BC在x轴上的截距为-6,在y轴上的截距为3,利用截距式,直线BC的方程为+=1,化为一般式为x-2y+6=0.,由于B点的坐标为(0,3),故直线AB在y轴上的截距为3,利用斜截式,得直线AB的方程为 y=kx+3.,又由顶点A(3,-4)在其上,所以-4=3k+3.故k=-,于是直线AB的方程为 y=-x+3,化为一般式为 7x+3y-9=0.,点评与感悟：本题考查了求直线方程的基本方法,正确选用直线方程的几种形式可使计算简化，过程简捷，有利于提高解题的速度.,从而所求直线方程为,即,一条直线经过点M（2，1），且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程。,【解法一】设直线在x、y轴上的截距分别为a,b，（1）当ab0时，设所求直线为x/a+y/b=1，由已知得a+b=6,2/a+1/b=1,解得a=b=3或a=4,b=2,此时直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。,（2）当a、b中有一个是0时，直线方程分别为x=2或y=1，它们均不满足题设的另一条件“在两坐标轴的的截距和 是6”，因而舍去。故所求的直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。,【解法二】若所求直线的斜率存在且不为0，设直线斜 率为k，在y轴上的截距为b，直线方程为y=kxb,由题知：1=2kb,且bb/k=6，解之得：k=1时b=3,或k=1/2时b=2，此时直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。当k=0或k不存在时，不合题意。故所求的直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。,【解法三】当斜率存在时，设所求直线的斜率为k。则直线方程为y-1=k(x-2)，化为一般式得：kx-y-2k+1=0。分别令x=0，y=0得截距-2k+1，(2k-1)/k，于是由题意得-2k+1+(2k-1)/k=6。解得 k=-1或k=-1/2。分别得直线x+y-3=0与x+2y-4=0。当斜率不存在时，直线方程为x=2，不合题意，舍去。综合上面的讨论知，直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。,【解法四】由题知直线经过点M（2，1），且在两坐标轴上的截距和是6，显然斜率存在，设直线方程为ax+y+c=0，不难求得该直线在x、y轴上的截距分别为c/a和c，以下求解基本同解法二。,点评与感悟：利用点斜式求直线时，要验证斜率k不存在的情况.,直线方程与其它知识的整合,直线经过点P（3，2），且与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且AOB的面积最小（O为坐标原点），求直线方程。,思路分析：将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可.,等号当且仅当 时成立，,这时，,从而所求直线方程为,解法二：设直线方程为，(a0,b0),点P（3，2）代入得,解得（a3),则,等号当且仅当,即 a=6 时成立，这时 b=4,即,从而所求直线方程为,【思考】本例中若求 及 分别取得最小值时的直线方程，又该怎么解？,解：显然直线斜率存在。,设直线方程为y-2=k(x-3)(k0),得点A(),B(0,2-3k)，,PAPB=,此时k=-1，即直线为x+y-5=0,OA+OB=()+(2-3k),此时 即直线为,某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问如何设计才能使面积最大？并求面积的最大值（精确到1m2）,解：在线段AB上任取一点P，过P作CD、DE的垂线，则AB的方程为,(0 x30),设P(x,20-),则S=(100-x)80-(20-)(0 x30),得(0 x30),配方得：x=5，y=50/3时，S取最大值6017平方米。,本 节 完,
