103平面及其方程11.3.19.ppt

第三节,一、平面方程,二、两平面的夹角,三、点到平面的距离,平面及其方程,1.点法式方程,2.一般式方程,3.截距式方程,第十章,一、平面方程,特征：,该向量就叫做平面的法向量,1.点法式,平面的点法式方程,平面的点法式方程,注.,平面上的一定点,确定平面方程的二 要素：,(可不唯一),解,取,例1,所求平面方程为,(方法1),2.一般式,三元一次方程,平面方程,平面的一般式方程,平面的点法式方程,例2,一些特殊平面方程,(1)平面 通过坐标原点；,(2)平面平行于坐标轴；,(缺少x项),平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面：,类似地，可讨论平面平行于y 轴、z 轴的情形.,(3)平面平行于坐标面；,类似地，可讨论平面平行于其他坐标面的情形.,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,例3,解,例4,设平面为,将三点坐标代入得,解,3.截距式例5,代入所设方程得,平面的截距式方程,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,例6,化简得,令,所求平面方程为,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,二、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,例7,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,例8,解,所求平面的法向量为：,解,三、点到平面的距离例9,点到平面距离公式,例10,解,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,内容小结,思考题,思考题解答,备选题例3-1,解(方法1),因为所求平面过 x 轴，,故可设平面的一般式方程为,代入(1),消去C 得所求平面方程,(方法2),又 原点O(0,0,0)在该平面上.,因为所求平面过 x 轴，,故可取,所求平面的点法式为,例6-1,解,依题设，所求平面的截距式方程为,所求平面过点 A(6,3,0),故所求平面方程为,例8-1,解,由两平面夹角余弦公式，得,化简得,