第一章质点运动学(改).ppt

第一章 质点运动学,第二章 牛顿运动定律,第三章 功和能,第四章 动量和角动量,第五章 刚体的转动,第一篇 力 学,引 言,第一章 质点运动学,1.掌握位矢（位置矢量）、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量的定义及其矢量性、相对性和瞬时性；2.能借助直角坐标系用微积分方法计算质点在平面内运动的速度、加速度和轨道方程；3.能计算质点作抛体运动和圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。,教学要求,物体运动是绝对的，对运动的描述是相对的。一、参考系、坐标系 参考系：为了研究一个物体的运动，必须另选一物体作参考，这个被选作参考的物体称为参考系。坐标系：定量地表示某一物体相对于参考系的位置。,物体的运动对不同的参考系有不同的描述。这个事实称为运动描述的相对性。,1-1 参考系 质点,例：车厢在地面上向右匀速运动，甲在地面上，乙在车厢内，同时观察螺钉从车顶落下的过程。甲：螺钉作平抛运动。乙：螺钉作自由落体运动。可见参考系不同对运动的描述也不同。即对运动的描述 是相对的。,甲,乙,二、质点（理想模型）质点：具有质量而没有形状和大小的理想物体。一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。例如，地球绕太阳运动，而研究地球的自转时，地球可以当作质点；地球就不能当作质点。两条原则：1、物体的线度大大地小于它的运动空间；2、物体作平动。,平 动,三、时间和时刻 任何一个物理过程 包括机械运动 都必须经历一段时间。人们常用一个物理过程来定义时间。例如，地球自转一周所经历的时间为一天，等于86400秒。时间趋于无限小的时候，就是时刻。时间对应于物理过程。路程，位移 时刻对应于物理状态。位置,一、质点的运动方程、轨道1、质点的运动方程 一质点在空间中运动，任意时刻 t 其P 可以由两个坐标 x,y,z 来确定（如图)它们是时间的函数：上式称为质点的运动方程。运动方程：描述质点的位置随时间变化的方程。运动学的问题，归根结底就是求质点的运动方程。,1-2 质点的位移 速度和加速度,(1-1),2、轨道 由运动方程消去时间 t 就得到质点的轨道方程。轨道方程：描述质点运动路线的方程。（如直线运动、曲线运动、圆、椭圆、抛物线运动等）例如，平抛运动：轨道为一抛物线：,又比如一个圆周运动，若运动方程为：,则轨道为一圆心在原点，半径为 A 的圆：,3、位置矢量：从坐标原点到质点所在位置 P 的矢量 称为位置矢量。,（1-1)和(1-3)是等效的，也都称为质点的运动方程。（为方便计，下面我们以讨论二维问题为例）,i，j，k是 x,y,z 轴上的单位矢量。是时间的函数。,(1-2),(1-3),(1-1)式也可以表示为：,二、位移：质点沿轨道运动，t 时刻在 点，时刻到达 点。则在 t 到 这段时间间隔内，质点从 位移到 点，到 的矢量 称为质点在 时间内的位移。,而 到 的轨道的几何长度称为 时间内质点运动的路程：,注意：一般情况下,位移是矢量，路程是标量，且大小也不等。,1、平均速度：位移 与发生这段位移所用时间 之比，称为质点在时间 内的平均速度：,大小为：,平均速度与所选取的时间段（或位移段）有关，故必须说明是哪一段时间间隔内的平均速度。,方向为：的方向。,三、速度：速度是描述质点运动快慢程度和运动方向的物理量。,2、瞬时速度：当 趋近于0时，也趋近于0，点无限接近 点，此时的平均速度就是在 t 时刻（或 位置）的瞬时速度，简称速度。从矢量代数可得：的方向：沿曲线在 点的切线方向，指向移动一方。,的方向：该点切线方向，与X轴正方向间的夹角为：,的数值：,3、平均速率 速率 在内的平均速率定义为：,平均速率与平均速度是不相同的。假如在 内质点绕圆运动一周，则平均速度，而平均速率,瞬时速率定义为：平均速率在 0 时的极限：,平均速率、速率都是标量。,请判断下列式子的对错：,4、t 时刻的瞬时速率与瞬时速度大小之间的关系,可见：瞬时速率与瞬时速度的大小相同，尽管平均速率一般不等于平均速度的大小。,这就是轨道的正交坐标方程，上式表示质点的轨道是半径为R 的圆周，圆心在点 处。,例题 1-1 已知质点的运动方程为：,其中R及 为常量，求质点的轨道及速度。,解：将（1-1）式改为：,将以上二式两边平方及相加得：,由此得速度的大小:,为一常量，所以质点的运动为匀速圆周运动。速度v与X轴所成的角 由下式决定：,由（1-1）式求得的速度分量为：,四、加速度：1平均加速度：加速度是描述质点速度变化快慢的物理量，是矢量。设质点 t 时刻时在P点，速度为v，经过 后，质点运动到Q点，速度为，则在 时间内速度的增量为：则 内的平均加速度为：称为在 t 到 t+时间间隔内的平均加速度。,2、瞬时加速度：当，即 时，可以得到质点在P点时的瞬时加速度：,加速度的大小为：加速度 与 X 轴所成的角为，则：加速度是速度对时间的变化率，所以无论速度的大小改变或方向改变，都有加速度。,书中例题 1-2 设质点的运动方程仍由例题1-1中（1-1）式表示，求加速度。解：利用例题1-1的结果可得由此得加速度的大小：,如果把加速度写成矢量式，则有：令 表示从圆心 到质点（x，y）的矢径，得：得到可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向。,已知质点的运动方程，用微分的方法可以求得质点运动的速度和加速度。反之，已知质点运动的加速度和初始条件也可以用积分的方法求得速度和运动方程。,例：一质点作匀变速直线运动，加速度为 a（常数），已知 t=0 时，x=x0，v=v0，求质点的速度及运动方程。,解：,两边积分得：,再由,得,两边积分得：,当 t=0 时 x=x0，v=v0 可以求得 c1=v0，c2=x0,速 度：,运动方程：,位移公式：,匀变速直线运动公式,所以得：,例1、设质点的运动方程为,（）计算在t s到t s 这段时间间隔内的平均速度；,解：（）由平均速度的定义式，在t s,t s 内的平均速度为：,其中,解（）：由题意知，速度的分量式为：,故t3 s 时速度分量为,故t3 s 时速度为,而在t3 s 时的速率为：,（）求 t3 s 时的速度和速率；,由运动方程可分别作 x-t，y-t 和 y-x 图。,（）作出质点运动的轨迹图。,例2、一质点运动轨迹为抛物线,求：x=-4 时（t 0)粒子的速度、速率、加速度。,分析：由 x=-4，得 t=2,解：,速率：,则：,解：a 是t 的函数，由相应的公式得：,位置矢量为：,根据积分公式，得,例4、已知质点运动方程为x=2t,y=192t2,式中x,y以米计，t以秒计，试求：（1）轨道方程；（2）t=1s 时的速度和加速度；（3）何时质点位矢与速度矢量垂直？,（2）对运动方程求导，得到任意时刻的速度,对速度求导，得到任意时刻的加速度：,（1）,(2),解：（1）运动方程联立，消去时间t得到轨道方程,将时间t=1s代入速度和加速度分量式(1)、(2)中，求出时间t=1s对应的速度和加速度：,速度大小,加速度大小，,与 x 轴夹角,（3）质点位矢与速度矢量相互垂直的条件为,与 y 轴正方向相反。,矢量的乘积有两种：标积（点乘积），两矢量点积后为标量。矢积（叉乘积），两矢量叉积后为矢量。,矢量的标积（点乘积）：,t=3s 舍去，所以质点位矢与速度矢量在 t=0s 和 t=3s 时相互垂直。,解得：,由,例5、离水平面高为h 的岸边，有人用绳以恒定速率v0拉船靠岸。试求：船靠岸的速度、加速度随船至岸边距离变化的关系式？,对时间求导得到速度和加速度：,(1),(2),由题意知：,h,(3),解：在如图所示的坐标系中，船的位矢为：,(4),将(5)式代入(1)和(2)式中得：,分析船的运动特点：虽然收绳速率是均匀的，但船的前进方向并不是绳子的方向，故其运动是变速的，加速度也是变化的。,即,（5）,例6 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 S=5+4t-t2（SI），则小球运动到最高点的时刻是：（）（）（）（）,例7、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为：（其中a、b为常量）则该质点作（A）匀速直线运动。（B）变速直线运动。（C）抛物线运动。（D）一般曲线运动。,B,B,例8、一质点沿X轴运动，其加速度 a与位置坐标 x 的关系为 a=2+6 x2（SI）如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。,解：,分离变量两边积分,例9、一质点在平面上作曲线运动，其速率v与路程s的关系为 v=1+s2（SI）求其切向加速度用路程s来表示的表达式？,解：,即,一、相对运动的速度,物体的运动速度和加速度是相对于某个参考系的，参照系选取的不同，则物体的速度和加速度也不同。一个物体的运动，在两个不同的参考系之间的描述有何关系呢？我们讨论一种简单的情形。,设地球为参考系E，称为静止参考系，相对于地球作平动的坐标系为M 称为运动参考系。如图所示。,13 相对运动,OXY 为坐标系E，O X Y 为坐标系M，质点 P 对两个坐标系的位置矢量分别为，则:,为O 对O 的位置矢量。,两边同时微分：,即：质点的绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。（速度合成定律）,二、相对运动的加速度 将速度合成定律再对时间 t 微分，得：,即：质点的绝对加速度等于相对加速度与牵连加速度的矢量和。（加速度合成定律）,不同参考系下对运动的描述不同（描述运动是相对的）。而物体的运动可以视为两种运动的合成。即物体同时参与两种运动。“同时参与两种运动”有两个含义：1、物体的运动是由两个原因引起的。如平抛运动：（1）由于惯性：水平方向匀速运动。（2）由于受力：竖直方向匀加速运动。2、变换了参考系。参考系之间有相对运动。,例1、飞机相对于空气的速度为200 Km/h，风速为56 Km/h，方向从西向东，地面上雷达测得飞机速度的大小为192 Km/h，方向是多少？,解：,由余弦定律有：,飞机向正南或正北方向飞行,例2、江水由西向东，流速为V1=3 m/s，江宽为b=2.4103m要让汽艇在t=10 min 内，垂直渡过江，问：应使艇在什么方向航行？艇对水的航速V2=？,解：已知岸是静止参考系，江水是运动参考系。,又艇相对于岸的速度（绝对速度）为：,现要求相对速度V2=？,即：艇相对于水的速度应为5 m/s，方向西偏北530748。,例3、某人骑摩托车向东前进，其速率为10 ms1时觉得有南风，当速率增大到15 ms1时，又觉得有东南风。试求风的速度？解：在如图所示的坐标系中，K系是地面参考系；K系是建立在运动的人身上的参考系。,由相对运动速度变化式有：,得,风速的大小为：,由题知：,圆运动是曲线运动的特例。曲线运动总伴随有速度变化。,大小变化，方向不变。直线运动大小不变，方向变化。大小变化，方向变化。,速度变化,曲线运动,加速度是反映速度变化的物理量。而速度的变化又包含大小和方向的变化。反映速度方向变化快慢 法向加速度。反映速度大小变化快慢 切向加速度。这种法向、切向的分析方法叫自然法（或称自然坐标法）。下面就用这种方法来讨论圆周运动。,14 圆周运动,自然坐标,一、匀速圆周运动 向心加速度 质点在一个圆周上运动，它的速度大小保持不变，称为匀速圆周运动，由于方向随时变化，所以质点有加速度。,设质点在半径为r 的圆周上作匀速率圆周运动。t 时刻质点在P 点速度为，经过时间t 后运动到Q 点，速度变为，则速度的增量为：,其加速度为：,之间的夹角等于OP 和OQ 之间 的夹角，于是Q 与Q 相似：,当t时，,趋近于与 垂直，即指向圆心，故 的方向,指向圆心，因此 称为向心加速度或法向加速度。,二、变加速圆周运动，切向加速度和法向加速度,质点作圆周运动，其速度的大小随时间而变化，则称为变速圆周运动。,其中,设在t 时刻质点位于P点，速度为，经过时间t 后运动到Q点，速度为，BC表示在t 时间内的速度的增量。在AC上取一点D，令AD=AB，则矢量 分为两个矢量 和：,为因速度的方向改变而产生的速度增量。,为因速度的大小改变而产生的速度增量。,平均加速度：,瞬时加速度为：,加速度的大小为：,加速度的方向定义为 与 之间的方向角：,归纳起来：法向加速度,大小：方向：沿半径指向圆心。,切向加速度,大小：方向：沿圆周切向。,总加速度,大小：方向：,三、圆周运动的角量描述,当质点作圆周运动时它的运动也可以用角位移、角速度和角加速度等角量来描述。,1、角坐标 描述质点在圆周运动中 的位置，用 表示。2、角位移 描述质点角位置变化的物 理量，用 表示。角位移是矢量，其 方向：由右手螺旋确定，大小：,一般规定：逆时针转动，角位移为正，顺时针转动，角位移为负，3、角速度 描述质点角位移变化快慢 的物理量，用 表示。4、角加速度 描述质点角速度变化快 慢的物理量，用 表示。,质点作圆周运动，t 时刻处于P点，经 t 时间后到Q 点，t 时间内的角位移为。以 代表质点运动的平均角速度：,瞬时角速度为：,的单位为:弧度/秒（rad/s）,以 代表质点运动的平均角加速度：,瞬时角加速度为：,的单位为：弧度/秒2（rad/s2）,当=恒量时，质点作匀变速圆周运动（与匀变速直线运动的公式相似）：,四、线量与角量之间的关系,线量 角量 关系,解：在最高处的加速度 g 就是向心加速度，即,例1、以初速率为 抛射角为 抛出一物体，问在其抛物线轨道最高处的曲率半径 为多少？,例2、一质点沿半径为R 的圆周按,规律运动，v0,b 是正值常数。求：（1）t 时刻总加速度？（2）t 为何值时总加速度大小等于b？,速度方向与圆周相切并指向前方，,（2）由,得,解：（1）已知运动轨道的问题，选用自然坐标系。,例3、试计算地球自转时地面上各点的速度和加速度？,P点的纬度为，在半径为R且与赤道平面平行的平面内作圆周运动，其速度和向心加速度分别为,广州纬度,例4、一质点沿半径为R的圆运动，其路程S随时间t变化的规律为 S=b t-c t2/2（SI），式中 b、c 为大于零的常数，且 b2 Rc。求：（1）质点运动的切向加速度 at 和法向加速度 an。（2）质点运动经过 t=？时，at=an。,解：（1）,（2）当 时有,解：取如图的坐标系，则,例5、一质点从距地面h 处 以V0 的速度水平抛出，求以后各时刻的。,