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第四章 粘性不可压缩流体动力学基础,第一节 粘性流动的伯努利方程,理想不可压缩流体运动沿流线的伯努利方程：,在忽略流体粘性影响的情况下，流体的总机械能沿着流线不变，或者流体运动的总水头不变。,hw是流体质点从点1点沿着流线运动到点2过程中，单位重量流体所损失的总机械能或者流体运动所损失的水头。,对总流的任意两个缓变流截面求平均，得到粘性流体总流的伯努利方程：,hw是总机械能损失hw在缓变流截面上的平均值，同时也是总流的损失水头。,损失水头hw包括两个部分，即沿程损失水头和局部损失水头。沿程损失与管段的长度(或者流程)成正比，记为hf。管壁摩擦对流体运动的阻力又称为沿程阻力。,理论分析和实验都表明，hf不仅与管段的长度成正比，还与管道的直径d成反比，所以沿程损失可以被写为：,达西公式,当流体在运动中遇到局部障碍，流线会发生局部变形，并且由流动分离、二次流等原因产生漩涡运动，从而耗散一部分机械能。这种在局部区域内被耗散的运动机械能又称为局部损失，记作hj。,流程中的总水头损失等于所有的沿程损失和局部损失之和，即：,第二节 层流与湍流,1层流与湍流,粘性流体管道流动的雷诺实验(英国人 Reynolds，1883),有色液体,能量损失曲线,层流：流体质点互不混合的层次分明，有序定向流动状态,湍流（紊流）：流体质点相互混合的随机，无序流动状态,流动状态取决于雷诺数,由层流开始进入过渡状态的速度值被称为临界速度。,临界速度并不是一个定值，它与管道的直径d、流体的粘度系数和密度都有关。设临界速度为Vc：,其中C是个常数。由此式可见，流体的粘性系数越大，临界速度也就越大；管道直径越大，则临界速度就越小。,临界雷诺数,由层流向湍流的转变也称为转捩。,层流运动，粘性阻力大于惯性力，流体有序流动,湍流运动，粘性阻力小于惯性力，流体无序流动,临界雷诺数并没有一个非常确切的数值。在解决工程实际问题时，通常把2300作为圆管流动中层流与湍流分界的临界雷诺数。,雷诺数的物理意义:(1)流态转捩的判别准则(2)惯性力与粘性力之比,例 水=1.7910-6m2/s,油=30 10-6m2/s,若它们以V=0.5m/s 的流速在直径为 d=100mm的圆管中流动,试确定其流动 形态。,解:,水的流动雷诺数,流动为紊流状态,油的流动雷诺数,所以流动为层流流态,例 以下是流态为层流时,hf与速度V的实测值:,试用最小二乘法求 logV-loghf 的斜率,解:,设y=log(1000hf),x=log(10V),可用直线y=a+bx拟合实验值,实验点数目n=5,偏差为,求得,其中,其中n=5,代入有关数值,斜率近似为1,流态属层流,2湍流运动的基本特征,用热线风速仪或激光测速仪测量流场中固定空间点上的速度。当雷诺数增加到某一水平时，速度-时间曲线上出现某一频率的扰动。,热线风速仪测管道湍流速度,湍流中每一流体质点在沿着主流方向运动的同时还不断地随机脉动，其物理参数值也相应地随机涨落。湍流中包含着许多尺度不同的旋涡运动，质点的随机脉动正是由这些旋涡所引起。,质点的脉动使得湍流具有掺混性，由此引起的质量、动量和能量传输有时可以比分子运动所引起的传输量大几个数量级。近期的研究还发现，湍流中除了具有小尺度的随机运动外，还存在着一种大尺度的涡结构，也称为拟序结构。拟序结构具有一定的规律性和重复性，并不完全是随机的。在湍流中随机运动和拟序运动同时存在。,湍流中流体质点的运动和物理参数的变化都不规律，使湍流的数学表达和数学求解十分困难。不过，湍流脉动不管是在时间尺度上还是在空间尺度上都非常小，而对于解决实际工程问题最有用的只是湍流物理参数的平均值。有不同的平均方法，最常用的是对时间取平均的方法，也称为时均法。,速度u(x,y,z)在t时刻的时均值定义为：,此时的瞬时速度则为：,u是速度涨落值。时间周期T应该远大于涨落周期，以使平均值相对稳定;周期T还应该远小于宏观流动的特征时间，以使时均值能够描述流动的宏观特征变化。,3湍流切应力及混合长理论,质点的湍流脉动会引起流层之间的动量交换，从而产流层之间的湍流切应力。,控制体积,根据动量定律，这部分动量变化在面积A上所对应的切向力为：,除以面积A，取时均，并注意到，就得到切应力：,一般省去时均速度上的符号“”，默认u为时均速度。在湍流中，流体的切应力包括两部分：,在层流中，没有流体质点的脉动，所以只有分子粘性应力。,粘性切应力 湍流应力（雷诺应力）,湍流应力：流体质点随机运动、混合、碰撞的宏观效果与 物理粘性系数无关。,湍流应力与时均参数的联系：,采用统计数学方法的研究称为湍流统计理论；以半经验假设为基础的研究称为湍流模式理论。,混合长理论,1925年，德国力学家普朗特（L.Prandt）在布辛涅斯克所提出的湍流动量传输模型的基础上建立了混合长理论。,普朗特假设，湍流脉动在不同方向的速度涨落幅度 和 具有相同的量级，并且它们都与该处时均速度梯度的绝对值 成正比。,令：,式中l是一个具有长度的量纲的系数，称为混合长。,混合长公式,混合长是流体质点两次碰撞之间运动距离的平均值，非常类似于分子运动的平均自由程。,缺点 1。基于半经验的假设；2。混合长l的取值与流动参数有关，通常就在同一流 场的不同区域内也需要对取不同的数值。要正确地 选取l的值，需要依赖实验测量资料。,无限长水平圆管，粘性、不可压缩流体 定常运动,第三节 圆管定常层流流动,微园柱流体受力 沿轴向,积分得：,求得,边界条件：,压强梯度,旋转抛物面,最后：,流量,管壁切应力最大,平均速度,切应力大小：,管道中心流体切应力为零,无限长圆管中的流动称为泊肃叶流动,泊肃叶定律,圆管中的流量与单位长度管道上的压降成正比，与粘性系数成反比；与管道半径的四次方成正比。,对图中的“1”和“2”两个截面列出伯努利方程：,此时两截面之间只有沿程损失。,沿程阻力系数,达西公式,沿程阻力系数与雷诺数成反比。因为雷诺数表征流体运动的惯性力与粘性力之比，当雷诺数大，粘性效应小；当雷诺数小，粘性效应大。在层流状态的管道流动中，沿程水头损失与速度V成正比。,例 d=100mm,L=16km,油在油管中流动,油=915kg/m3,=1.8610-4m2/s,求每小时通过 50吨 油所需要的功率,解:,例 输送润滑油的管子直径d=8mm，管长l=15m，如图所示。油的运动粘度v=1510-6m2/s，流量qv=12cm3/s，求油箱的水头（不计局部损失）。,解:,层流,层流截面1-1与2-2列Bernurli方程,油箱面积特别大，V1=0,已知:l=3m,d=25mm,Q=4.510-4m3/s,h=90mm=920kg/m3,=13600kg/m3,试求运动粘度系数 n,解:假设流态为层流V=Q/A=0.9167m/s,假设成立.,8.63710-5m2/s,Re,:,2412,.,0,),(,2404,.,1,2,1,2,1,=,m,r,=,=,r,-,r,=,-,=,-,Vd,gh,p,p,m,g,p,p,验算,=,hf,Q,r,g,V,d,h,f,2,4,2,l,l,=,l,Q,Re,=,64,l,34,.,265,=,n,=,Vd,n,第四节 圆管定常湍流流动,1水力光滑管与水力粗糙度,不同雷诺数下圆管中的速度分布。,在层流状态下，管截面上的速度剖面是一个旋转抛物面，随着雷诺数Re增大，壁面附近的速度梯度逐渐增大，而在轴心周围的中心区域内，速度变化却趋于平缓。雷诺数越大，壁面附近的速度梯就越大，速度平缓区域也越大。,根据湍流速度分布的特点，可以把它划分为成三个区域。,在壁面附近非常薄的区域内，流体速度比较小，而且流体质点的脉动受到壁面的限制，因此湍流脉动不活跃。此薄层称为粘性底层或者近壁层流区，其厚度记为。,管壁粗糙度,相对粗糙度,在远离壁面的一个相当大的区域内，流体质点的湍流脉动非常剧烈，沿截面的速度分布比较均匀，此区域为湍流核心区。在粘性底层和湍流核心区之间还存存在一个过渡区（或缓冲区）。,管壁粗糙度,相对粗糙度,粘性底层的厚度与管流的雷诺数Re有关，雷诺数越大，粘性底层就越薄。,粘性底层的厚度很小，在很多情况下都只有几分之一毫米。,管壁粗糙度,相对粗糙度,当粘性底层的厚度大于管壁粗糙度，粘性底层完全淹没了管壁粗糙物，因此粗糙物不会影响湍流核心区的湍流流动，湍流就像在一个光滑的管道中流动一样。工程中称此种管道为水力光滑管。当管壁粗糙物露出管壁附近的湍流结构粘性底层，会影响湍流核心区内的湍流运动。这样的管道又称为水力粗糙管。,由于粘性底层的厚度与雷诺数有关，对于同一条管道，在小雷诺数下它可能是水力光滑管，当雷诺数增大到一定的程度后，它又可能会成为水力粗糙管。,管壁粗糙度,相对粗糙度,如图所示由壁面指向管中心线的坐标轴y，可以大致按以下标准把水力光滑管中的湍流划分为三个区域：,2水力光滑管的速度分布和沿程损失系数,粘性底层,过渡区,湍流核心区,运动粘度系数,摩擦速度,壁面切应力,对于水力光滑管，在粘性底层内，切应力主要是分子粘性应力。在整个粘性底层内切应力的变化都不大，可以认为它就等于壁面切应力w。,积分上式，并代入壁面边界条件y=0，u=0：,速度呈线性增长,无量纲形式,在湍流核心区，湍流切应力远大于分子粘性切应力，后者可以略去不计。这个区域内的切应力也与壁面切应力相差不大，可以认为近似相等。,混合长公式,得：,距壁面越远湍流脉动越活跃，流体质点两次碰撞之间的运动距离就越大，因而混合长l也越大（普朗特理论）。,积分后：,无量纲形式,k称为卡门（V.Karman）常数。通常，k=0.4，B=5.5。,速度呈对数增长,它所给出的速度分布比圆管层流流动中的旋转抛物面速度分布均匀得多。因为湍流脉动使流体质点之间发生剧烈的动量交换，从而使速度分布趋于均匀。,无量纲形式,普朗特施里希廷(H.Schlichting)公式,修正：,实际使用时：,布拉修斯公式,例 用直径d=200mm，长l=3000m，管壁粗糙度=0.2mm的管 道输送密度=900kg/m3的石油,冬季油的运动粘度系数=1.09210-4m2/s,夏季油的运动粘度系数=0.35510-4 m2/s。如果要求管道流量Q=27.810-3m3/s，试求其沿程 损失hf。,解:,首先要计算雷诺数:,冬季,层流,（油柱）,夏季,湍流,（油柱）,3尼古拉兹实验曲线和莫迪图,管壁粗糙度对于沿程损失的影响很大。尼古拉兹用黄沙经筛选后根据不同的粒径（即）分类，然后均匀地粘贴在三种直径的管道壁上，从而形成了/d为1/30、1/61.2、1/120、1/252、1/504和1/1014等共计六种相对粗糙度的人工粗糙管，实验雷诺数Re的范围为600106。,尼古拉兹试验曲线,可分为I至V五个区域。,当Re2300，六条实验曲线都重合于区域I中的直线。对应于层流沿程损失系数的计算公式=64/Re，沿程损失系数与相对粗糙度/d无关,沿程水头损失hf与速度V成正比。,当2300Re4000(3.37lgRe3.60)，流动处于由层流向湍流的过渡状态，此时的值仍然仅与Re有关，与无关，因此六种相对粗糙度的实验点都同落在区域II中的同一曲线上。,当Re4000，流动已处于湍流状态，此时对应于不同相对粗糙度的六条曲线都与区域III中的直线有一段重合。当实验点落在这条直线上，管流处于水力光滑阶段，的值与无关，因为粘性底层完全淹没了管壁的粗糙物。对于不同的管壁相对粗糙度，管流处于水力光滑状态的雷诺数范围不一样。,当Re继续加大，六条曲线先后进入区域IV。此时管流正处于由水力光滑向水力粗糙过渡的阶段，粘性底层的厚度与管壁粗糙度的量级相当，因此不仅Re对有影响，对也有一定的影响，对应于不同相对粗糙度的六条曲线不再重合。,当曲线进入区域V，管流已完全进入水力粗糙状态。此时管壁粗糙度物完全暴露在湍流核心区中，相对粗糙度/d是影响的唯一因素，基本上与Re无关。由达西公式知：在水力粗糙管流动中，沿程水头损失hf与速度V的平方成正比，因此区域V又称为平方阻力区。,沿程损失系数计算公式的总结：,圆管湍流的沿程阻力系数,1、层流区,2、水力光滑区,不很重要,普朗特施里希廷公式,布拉修斯公式,3、水力光滑向水力粗糙过渡,科尔布鲁克(C.Colebrook)公式,4、水力粗糙管,尼古拉兹公式,实际工业管道的壁面粗糙物不规则，与人工粗糙管有一定的区别。,等效粗糙度:通过将工业管道实验结果与人工砂粒粗糙管的结果比较,把和工业管道的管径相同,紊流粗糙区值相等的人工粗糙管的砂粒粗糙度定义为工业管道的等效粗糙度,工业管道的壁面粗糙物不规则，其沿程损失系数的变化规律与人工粗糙管道不完全相同。,美国工程师莫迪（L.Moody)于1944年绘制了工业管道曲线图，即莫迪图。,对照莫迪图和尼古拉兹图：莫迪图没有层流到湍流的过渡阶段的实验点，值也没有出现尼古拉兹曲线在区域IV中的上升趋势。,阻力系数莫迪图,当Re=105，/d=0.001时，由莫迪图得=0.022,例 新铸铁水管,长L=100m,d=0.25m,水温200C,水流量 为Q=0.05m3/s,求沿程水头损失 hf,解:,查表得水的运动粘度,查表：=0.3mm,/d=1.210-3,查莫迪图,=0.021,故,(水柱),例 用直径d=10cm，长l=400m的旧无逢钢管输送比重 为0.9，运动粘度系数为=10-5m2/s的油。测得管流 全程压降p=800kPa，求管内流量Q。,解:,由达西公式,查表：=0.2mm，/d=0.002。现在雷诺数还未知，假设流动处于水力粗糙状态，查莫迪图，=0.025,沿程损失,由Re=4.22104,/d=0.002,查莫迪图,=0.027,重新计算速度和雷诺数,查莫迪图,=0.027,第五节 局部水头损失,管道截面的突然扩大或者缩小、支管以及弯管都会改变管道流动的速度方向和压强分布，从而在管道壁面产生流动分离，在主流和边壁之间形成旋涡区。,旋涡运动引起流体运动机械能的耗损。这种在局部区域内被耗散的运动机械能就是局部损失。,1截面突然扩大的局部损失系数,圆截面管道发生截面突然扩大，其截面积由A1变为A2，在截面突然扩大处，流线发生弯曲，并在拐角处形成旋涡区。由于旋涡的激烈运动，旋涡区内的压强分布比较均匀。旋涡消失时，流线接近平直，可以被认是缓变流。,伯努利方程1-2截面,动量方程,一般都是用下游的速度水头来计算局部损失hj。,局部突然扩张局部损失系数,其余局部损失系数从实验测定，查表,应用连续方程,局部损失,2常用的局部损失系数,已知两段管道的直径d1=0.2m，d2=0.3m，管段长l1=1.2m，l2=3m。如果在实验中已测出水流量Q=0.06m3/s和三根测压管的液面高度h1=85mm，h2=162mm，h3=152mm，试计算局部损失系数。,解:,平均速度,对测压管2和3之间的管段应用伯努利方程,对测压管1和2之间的管段应用伯努利方程,第六节 孔口和管嘴出流,按照孔口的厚度l与其直径d的相对大小把孔口分类为薄壁孔口和厚壁孔口；满足ld/2的孔口为薄壁孔口，满足2dl4d的孔口为厚壁孔口。由于厚壁孔口的出流性质与管嘴相同，所以通常也把它归入管嘴来进行讨论，而薄壁孔口则被简称为孔口。当液体由孔口或管嘴出流到大气中，称它为自由出流；当液体通过孔口或管嘴出流到液体中则称它为淹没出流。,当流体通过孔口或管嘴流出时，由于惯性的作用，其流线不会突然折转，流束截面逐渐发生收缩，一般在距离入口大约d/2处其截面积达到最小值，随后流束截面又逐渐扩大。,在孔口出流中，只有流束收缩所造成的局部水头损失；在管嘴出流中,出流中既有局部水头损失也有沿程水头损失。,出流流束的收缩与孔口和容器边壁之间的距离有关。当孔口距离容器边壁较远时（孔口I），出流的收缩不受边壁的影响，因此发生完全收缩；当孔口与边壁距离为零时，由于入流受到边壁的影响，其流动方向与孔口壁面平行，所以出流在边壁一边不会发生收缩；当孔口距离边壁比较近（孔口II和III），出流在边壁一边收缩较小，边壁的影响使孔口出流发生不完全收缩。直径小于上游水头1/10的孔口又称为小孔口，否则称为大孔口。对于小孔口的出流，在计算中可以忽略流束截面上速度和压强的变化。,1孔口出流,开口容器壁上的小孔口自由出流。上游自由面高度为H，孔口截面积为A，出流流束从孔入口处开始收缩，其截面积在C-C截面达到最小值Ac。,a孔口自由出流,定义孔口截面收缩系数：,对容器中自由面和出流流束中的C-C截面列出伯努利方程,自由出流：pc=pa,孔口出流，只有局部损失,流量系数,流量系数与孔口的形状（如圆形、方形等）及出流雷诺数有关，也与是否发生完全收缩有关。通常都是由实验测定局部损失系数和截面收缩系数，然后计算流量系数。,孔口淹没出流，上游自由液面相对孔口的高度为H1，下游自由液面相对于孔口的高度为H2。对上、下游自由液面列出伯努利方程,b孔口淹没出流,出流流束进入孔口后发生收缩，到了孔出口流束截面又突然扩大。流束截面的收缩和扩大都会产生水头损失：,管道截面突然扩大的局部损失系数,A1：C-C截面，A2：2-2截面,孔口截面收缩系数：,淹没出流的流量系数 与自由出流的流量系数相同。两种出流的不同点是，对于自由出流，H是上游水头；对于淹没出流，H是上、下游水头差。,水头差H用孔口内、外的压差来表示：,2管嘴自由出流,按照不同的安装形式，管嘴可分为外伸管嘴（厚壁上的孔口与外伸管嘴相同）和内伸管嘴；按照其形状，管嘴又分为柱形管嘴、收缩管嘴、扩张管嘴和流线形管嘴等。不同形式的管嘴具有各不相同的出流性能。,管嘴自由出流：,对上游自由液面和管嘴出口截面建立伯努利方程,H是上游水头，V1是管嘴出口截面的平均速度，hw是上游自由面到管嘴出口的总损失水头。,总水头损失hw包括三个部分：流束收缩的局部损失、流束扩大的局部损失和与管壁摩擦引起的沿程损失。,设管嘴长为l，直径为d，流束最小截面上的平均速度为Vc，则总损失水头：,1和 2分别是流束截面收缩和扩大的局部损失系数，是沿程损失系数。,流量系数,管嘴出流的流量系数与管嘴的形式、管嘴的几何参数和出流雷诺数都有关。,当管嘴的参数选取适当，它的流量系数比孔口的流量系数大，也就是说，管嘴可以比孔口有更高的出流效率。,当流体通过管嘴时，收缩截面处于管嘴内部，此处的压强小于出口压强，形成所谓的负压区，负压对上游流体具有“抽吸”作用，使流量增大。只有当管嘴具有一定的长度才能在其内部形成负压区，但管嘴过长又会增加摩擦阻力，通常取l/d=2-4可以得到较高的出流效率。当管嘴上、下游压差过大，管内流速很高，有时也会使负压区的压强过小，从而形成气穴。管嘴内形成气穴后就不能保持连续的出流，所以出流效率反而又会降低。,第七节 有压管流的水力计算,1简单管路,由三段不同直径的管道串联而成的管路。,连续性方程：,对水箱自由面和管道出口截面运用伯努利方程：,伯努利方程成为：,管路流量系数,例 等直径管将水从池1引入池2，两池水面高度差H=4m，管长l=20m，沿程水头损失系数=0.037，局部损失系数之和=4.28，（1）若管直径 d=150mm，求管道的输水量Q；（2）如果要求供水量为Q=0.1m3/s，计算所需管直径d。,解:,对上、下游自由液面运用伯努利方程：,(1),(2),例 用直径d=100mm，总长l=20m的虹吸管将水由高水池A引 入低水池B，两池水面高度差z=4m，虹吸管最高处C高于 高水池水面H=4m，管段AC长l1=8m，CB长l2=12m，沿程 水头损失系数=0.04,局部损失系数1=0.8,2=3=0.9，4=1.0，求管流量Q。如果要求管道的真空压强不超过 68 kPa，试校核顶点C的真空度是否满足要求。,解:,应用伯努利方程知两水池自由液面高度差：,在虹吸管的顶点C，压强小于自由液面的大气压，负压作用使水顺管道向上流。顶点越高，其压强越小，最大高度应使其真空压强不高于68kPa，否则虹吸管中的流动将不连续。,设C点压强为p，对出高水池自由液面和管道C截面运用伯努利方程：,满足工作要求,例 用水泵将水从低水池抽至高水池，两池水面高度差 H=10m，吸水管长l=20m，压力水管长L=1000m，管径 同为d=0.5m，沿程水头损失系数=0.022，不计局部损 失。如果设计流量Q=0.2m3/s，并要求水泵进水口断面 2-2的真空压强不超过44 kPa，求水泵的安装高度h和水 泵功率P。,解:,平均速度：,在面1-1和面2-2运用伯努利方程,设所需水泵的扬程为Hp，对两水池自由液面应用伯努利方程：,已知：H=3m，d1=0.04m,L1=25m,d2=0.07m,L2=15m,3=3.5,1=0.025,2=0.02,求Q,解,),)(,(,2,2,),(,2,),(,4,2,1,4,3,2,2,2,2,1,1,1,1,2,1,2,2,4,3,2,2,2,2,1,1,1,1,1,d,d,d,l,d,l,g,V,g,V,d,l,g,V,d,l,H,z,z,z,l,z,l,z,z,z,l,z,l,+,+,+,+,+,=,+,+,+,+,+,=,1,2539,.,4,),1,(,5,.,0,4,2,1,2,2,1,=,=,-,=,=,z,z,z,A,A,2,m,g,V,d,l,h,m,g,V,h,m,g,V,h,m,g,V,h,m,g,V,d,l,h,m,g,V,h,f,j,j,j,f,j,078,.,0,2,018,.,0,2,064,.,0,2,078,.,0,2,676,.,2,2,085,.,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2,4,4,2,2,3,3,2,2,2,2,2,1,1,1,1,2,1,1,1,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,l,z,z,z,l,z,1,2并联管路,主干流在A处分为三支，在B处又汇入主干流。由于在A、B两处水头是确定的，所以流体由不同管道从A流向B的过程中损失水头都相同。,例 两水库的水位差为6米，连接两水库的管道开始是一直径为600毫米的管子，管长为3000米。在这根管的后面又接两根直径为300毫米的小管，管长均为3000米，两小管的另一端并接到低的水库。如果=0.04，问通过的总流量是多少？,解：水从高水库流到低水库即可以通过管道BC和CD，又可以通过管道BC和CE，通过任一条道路产生流动的水头都是H。,自由表面的A、F两点应用伯努利方程：,通过BCD有（1）：,通过BCE有（2）：,由方程（1）、（2）得：,又由于L2=L3、d2=d3，因此u2=u3,由连续性方程得：,有：u2=u3=2u1,把u2=2u1代入（1）式得：,例,已知：1 2 3 4 5 L/m 1500m 800m 600m 700m 1000md/m 0.25 0.15 0.12 0.15 0.28,l=0.025,第八节 管道系统中的水击,1水击过程,在管道流动中，由于流动条件变化引起的流速突然改变可能导致管内的压强发生急剧变化，这种现象称为水击。,水击引起的压强变化量也称为水击压强。水击压强的大小与水流的动量变化率成正比，此外，水击压力波还会在管道内来回传播，形成压力震荡。,水击是非定常流动过程。由于压强变化很大，在研究水击现象时还必须考虑流体的压缩性和管壁的弹性效应。,与大水池相接的水平管道OB，管道长为l，截面积为A，其出口截面B处装有一阀门。,在t=0时刻阀门突然关闭，靠近阀门B的流体速度由V0突然变为零，使压强由p增至p+p，水的密度则由 增至+，由于管壁有弹性，在压强 p的作用下其截面积产生 A 0的变化。随着时间的推移，高压区由B截面逐渐向左边扩大，高压区和低压区的分界面称为水击波面，此波面以速度c向上游传播。,O,V0,B,C,水击波波速,水击压强,在t=l/c时刻，水击波到达管道的入口截面O处，这时整个管道中的流速都为零，压强皆为p+p。在管道的入口截面，水击波面右侧的压强p+p高于左侧的压强p，在压差 p的作用下，流体从O截面开始产生一个速度为V0的反向流，致使管内压强又从p+p恢复至p，而流体的密度和管道的截面积则分别从原来的+和A+A恢复至 和A。随着时间的推移，反向流的区域从O截面开始以速度c逐渐向右边扩大(水击波以波速c向下游反射)。,O,V0,B,C,在t=2 l/c时刻，反射水击波到达阀门B处。这时整个管道的流速都为V0，但其方向却与初始时刻的流动方向相反，而管内压强、流体密度和管道截面积则都已恢复为初始值。由于此时阀门已关闭，右边没有流体补充，这就使B截面附近的流体被迫停止倒流，速度成为零，而压强则从p进一步降至p p，流体密度减小至，管道截面积则减小，产生 A 0的变化。随着时间的推移，减压区从B截面开始以速度c逐渐向左扩大(减压波向上游传播)。,B,O,V0,C,在t=3 l/c时刻，减压波又到达管道入口O处。这时，整个管道的流速皆为零，入口截面左侧的压强p高于右侧的压强p p，压差 p又使流体产生一个正向的速度V0。由于管道得到来自水池的流体补充，管内压强又恢复至p，流体的密度恢复至，而管道截面积则恢复至A。随着时间的推移，压强恢复区从O截面开始以速度c向右扩大(水击波又向下游传播)。,O,V0,B,C,到了t=4 l/c时刻，流体和管道全部恢复到t=0时的初始状态，但由于此时管内全部流体的速度都为V0，而阀门则是关闭的，所以阀门处B截面的压强又会上升，于是又开始第二个完全相同的变化周期，并且以后每经4l/c时间，重复上述过程一次。,流体是有粘性的，它的运动会造成能量损失，而且管壁不可能是纯弹性的，其变形也会耗损能量，因此，水击压强会逐渐降低，水击过程将逐渐衰减，并最终趋于消失。,2水击压强,在0 t l/c中的任意时刻，水击波以速度c向左传播。取一固定在水击波波面上的坐标系，相对于这个坐标系，水击波不动，流体以定常的速度V0+c沿正x轴方向流动，穿过水击波后流体被压缩，其速度成为c，压强、流体密度和管道截面积分别由p、和A变为p+p、+和A+A。在这个坐标系下取一控制体，其左、右侧的控制面分别位于水击波波面的两边。,动量守恒方程：,质量流量Q：,水击压强 p与流体的动量变化率成正比。所以，阀门关闭得越快，所产生的水击压强也越大。,3水击压力波波速,连续性方程：,略去二阶小量：,定义流体的体积模量：,流体中的压强增加会使密度变大。,管道里流体压强的增加使管道膨胀，管壁受到拉伸。,设圆管直径为D，管壁厚度为，管内压强为p，管壁内的拉应力为。考虑管壁的力平衡：,在管内压强 p的作用下管道直径由D变化为D+D，管道截面积则相应地由A变化为A+A，管直径和其截面积的相对变化：,E是管壁材料的弹性模量。,管直径的相对变化 就是管壁材料的应变。把以上两式中的应力 和应变 代入虎克定律 后得：,无界水域中的声速,管道中水击波的波速比无界水域中的声速小，这是因为管壁在水击过程中有弹性变形。如果管壁是完全刚性的，则，此时水击波波速就等于声速。,第九节 缝隙流动,1平行平面之间的缝隙流动,在机械中存在着充满油液的各式缝隙，在机械设计中需要考虑各式缝隙中的液体流动，计算缝隙的流体泄漏量以及缝隙中润滑液体与机械部件之间的摩擦阻力。,缝隙一般很小，缝隙流动的雷诺数都不大，在多数情况下流动仍处于层流状态；液体的压缩性也可以被忽略。,把流体两边的平面简化为水平放置的无限大平板。x轴与下板表面重合，z轴垂直于纸面。设两板之间的间隙为h。,由于间隙很小，流体在间隙中沿着x轴的正方向流动，沿y轴和z轴方向的速度分量可以忽略。在定常流动条件下，由于所有的流动参数沿z方向不变化，所以这是一个平面定常流动问题。,根据流动的特点：流体的运动速度u和切应力沿x方向不变化，它们只是y的函数，即u=u(y)和=(y)。,在流体中任意取一边长为x和y的平行六面体微小系统（z方向边长为单位1），现分析其受力。,设六面体形心点上的压强和切应力分别为p和,在图中微元左、右两个面的形心点上压强分别为 和,在上、下两个面的形心点上切应力分别为 和,可以把它们作为各自所在系统面积上的平均压强和平均切应力。,定常流动、速度沿流动方向不变化，因此流体质点都没有加速度。沿x方向列出力平衡方程：,化简后：,y方向：,忽略,缝隙流动一般都是层流，切应力与速度梯度之间满足牛顿内摩擦定律：,积分常数C1和C2由边界条件确定。,设上、下板均不运动，流体在x方向压强梯度dp/dx的作用下作定常流动。上、下板表面上的边条件为：,a在x方向压强梯度作用之下固定平板之间的间隙流动,在压强梯度的作用下两固定平板之间的速度为抛物线分布,泊肃叶(J.Poiseuille)流动,最大速度出现在两板之间的中轴线上：y=h/2,最大速度表达式中出现负号，因为在顺压（上游压强大于下游压强）时，dp/dx为负值，最大速度为正值。单位宽度（沿z方向）间隙中所通过的流量为：,平均速度,切应力,切应力沿y方向线性分布，在中轴线(y=h/2)上切应力为零。令y=0和y=h，就得到壁面应力:,边界条件：,b零压强梯度情况下，上板均速运动所带动的间隙流动,在没有压强梯度时间隙中的速度分布是线性的,设间隙中沿x方向的压强梯度dp/dx=0，上板以速度U沿x方向匀速运动，下板固定不动。,间隙流量：,整个间隙中切应力：,常数,流量：,c在压强梯度和上板运动共同作用下的间隙流动,切应力,在压强梯度和上板运动共同作用下的间隙流动是上面两种流动的叠加。,库埃特流动,例 求齿轮泵的最佳齿顶间隙和最小泄漏量。,解:,设齿顶厚为b(垂直于纸面的方向)，齿顶宽为l泵壳的曲率半径相对于齿顶与泵壳之间的间隙很大，因此可以把间隙简化为平面间隙。设间隙为h，齿顶的线速度为U，齿两侧的压差为 p=p1-p2。,一个齿的泄漏量为：,当泄漏量Q为最小时的间隙h0为最佳间隙，当h=h0 时应该有，即：,2环形缝隙流动,环形间隙相对于环的半径通常都很小，可以把它展开，当成有相对运动的两平板之间的间隙来处理。,例 圆柱环形轴承中轴的直径R=40 mm，轴与轴承之间的 间隙h=0.03 mm,轴长l=30 mm,轴转速n=3600 r/min，间隙中润滑油的动力粘度系数=0.12Pas。求空载运转 时的转矩和功率。,解:,间隙远小于轴的半径，可以把这个环形间隙流动简化为具有相对运动的平板间隙流动。,作用在轴表面的粘性切应力,转矩为,功率为,轴承简化为固定的下板，轴简化为运动的上板，上板的运动速度为U=R，间隙内压强梯度为零，速度分布为：,第十节 边界层概念、边界层分离及物体阻力,物体在流体中运动时会受到阻力，物体的阻力计算在工程技术领域受到普遍的关注。,18世纪，科学家采用无粘性流体模型计算圆柱体的阻力：,圆柱前后表面的压强分布对称，流体作用在圆柱上的压强合力为零。,无论流体的粘度系数多么小，物体的运动阻力总是存在 的,b.物体运动阻力的大小与流体的粘度系数并不直接相关联,c.运动阻力并不完全是流体与物体表面相摩擦造成的,20世纪初，德国著名力学家普朗特(L.Prandtl)为了计算飞行器的阻力仔细地研究了这一问题，并在1904年提出了边界层理论，从而为物体阻力的计算开辟了道路。,1边界层概念,边界层理论最初是针对不可压缩流体的层流流动提出的。首先它被推广应用于研究流体的湍流流动，因而产生了湍流边界层的概念；随后，它又被推广应用于自由剪切流，如射流、尾流等；20世纪30年代以后，它还被推广应用于研究可压缩流体的流动，由此又发展出了可压缩流体边界层的理论和方法。经过一个世纪的发展，边界层理论日趋成熟，目前已经成为流体力学中最重要的理论之一。,当物体在静止流体中运动或者流体绕过静止物体流动（两者在物理上是等同的，只是参考坐标系不同）时，流体中既有粘性力又有惯性力，无量纲参数雷诺数Re=UL/（U是流体速度，L是特征长度，是流体运动粘度系数）表征惯性力与粘性力之比。,在大雷诺数情况下，粘性力相对于惯性力很小，但忽略粘性影响，采用无粘流体模型又无法求出物体运动的阻力。,普朗特发现，当流体在大雷诺数条件下流过物体表面时，与物面相接触的流体会粘滞在物面上，其运动速度为零；在与物面相邻的一个薄层内，流体速度迅速增加并很快达到与远处相近的值，因此，在薄层内流动具有很大的速度梯度。由于粘性切应力与速度梯度成正比，所以即便是在很大的雷诺数下，物面附近的粘性切应力都不会很小。,在这个区域内粘性力具有与惯性力同等大小的量级，它是不应该被忽略的。对整个流场运用无粘流体模型时忽略了这个区域内流体粘性的影响，导致了阻力计算的失败。,普朗特由此提出:对于高雷诺数条件下流经物面的流动,可以把它划分为两个区域，一是物面附近的薄层，在其内部流体的粘性作用不可忽略；二是薄层以外的区域，在这个区域内粘性力远小于惯性力,可以不考虑流体粘性的影响。,物面附近的薄层称为边界层，边界层以外的区域称为外流区。,在大雷诺数条件下，平物面和弯曲物面上都会形成边界层。当雷诺数小于一定的值，边界层中的流动处于层流状态，称为层流边界层；当雷诺数大于一定的值，流动处于湍流状态，称为湍流边界层。,平板边界层,平板与速度为U的均匀来流平行。流体在物面上的速度为零，随着与物面距离的增加，速度迅速增大，并且很快接近于来流速度U。,为了区分边界层和外流区，一般把速度达到0.99U处作为边界层的外边界，此处与物面之间的距离就是边界层厚度。边界层在板的前缘开始生成，其厚度沿流动方向逐渐增大，它是x的函数，记为(x)。对于平板层流边界层,(x)与x1/2成正比:对于平板湍流边界层,(x)与x4/5成正比。,平板边界层,湍流边界层的厚度比层流边界层的厚度增长得要快。平板边界层的最大厚度通常只有平板长度的几百分之一，所以边界层是非常薄的。,图中用虚线表示边界层的外边界。边界层的外边界线并不是流线，所以流体会穿越该边界进入边界层的内部。,在很薄的边界层里，速度由物面上的零值迅速增加到外边界上的U，沿y方向的速度梯度很大；又由于粘性切应力与速度梯度成正比，所以在边界层内有很大的切应力。流体对物体壁面所作用的粘性切应力对平板的运动造成摩擦阻力。,2曲面边界层分离,在大雷诺数情况下，流体粘性的影响主要局限在边界层内。,边界层内的速度较外流速度减小，通过的流量相应减少，这就使外流中的流线向外推移-边界层的存在都会使外流发生改变。边界层非常薄，在一般的工程计算中它对于外流的影响完全可以被忽略。在平板边界层外边界上，速度仍然可以被取为常数，压强沿着流动方向也不变化。在曲面边界层外边界上，速度和压强都沿着流动方向变化，沿流动方向的压差会对边界层内的流动产生影响，而且在一定条件下还会使边界层与物面相分离。,圆柱绕流,大雷诺数条件下，忽略边界层对外流的影响，外流是一个无粘性流体的圆柱绕流问题，可以求出理论解。,图中的A、B点上流动速度为零；在M点上速度最大。沿着物面从A到点M切向速度逐渐增加，而压强则由大变小。,流体质点沿着物面从A到点M运动时，被压差“推着向前进”，所以通常也把这一区域称为顺压区。沿着物面由M到B这一段速度减小，而压强则逐渐增大，所以是逆压区。,在逆压区，压差使流体速度减小；如果逆压足够强，还会使物面附近的流体速度反向。,SB段，边界层主流将会离开物面。这就是边界层的分离现象。边界层从物面上开始产生分离的点称为分离点，S点就是分离点。,圆柱绕流,V 是来流速度，D是圆柱直径，是流体运动粘度系数,雷诺数小于或者约等于1时，柱表面不会形成边界层，此时上、下游的流线基本上对称。,雷诺数大于4以后，柱表面逐渐形成边界层，并且边界层产生分离。边界层分离后在圆柱后面形成附着的尾流区，尾流区中有两个明显的涡旋。,雷诺数大于40以后，尾流区逐渐拉长，圆柱两边周期性地轮流产生脱落涡，并在柱后方形成有规律的两列涡，两列涡的旋转方向相反，通常也称它们为卡门涡街。,雷诺数大于大约300以后，涡列逐渐失去了排列的规律性和周期性，并最终形成一个有许多个不规则涡旋的尾流区。随着雷诺数继续增高，边界层内的流动也将逐渐由层流状态过渡为湍流状态。,设p为圆柱表面的压强，p和V分别为无穷远处的压强和速度。,无量纲压强系数：,压强系数在圆柱表面上的变化，横坐标的0对应圆柱前部的中点，180对应后部的中点。,压强系数