河海大学理学院《高等数学》8-9a补充：空间解析几何.ppt
高 等 数 学(下),上册附录向量代数与空间解析几何,补充：空间解析几何(部分)第七节 空间曲面与空间曲线,1 点法式方程,2 一般方程,3 截距式方程,1、空间平面方程,2、空间直线方程,1 一般方程,2 对称式方程,3 直线的参数方程,(为参数),4 直线的两点式方程,一、解析几何的基本问题:,1.已知空间图形,建立和研究它的代数方程.利用代数的优点：精准，易推导。2.已知代数方程,想象出它的几何图形.利用几何的优点：直观。,根据题意有,化简得所求方程,解,例2 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,2显函数形式,3参数方程形式,(不必掌握),4、空间曲线,1 空间曲线的一般方程,2 空间曲线的参数方程,二.空间曲线的参数方程,例3 螺旋线,动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比即,上升的高度,螺距,例4 将下列曲线化为参数式,播放,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,特殊情况：柱面的母线平行于某坐标轴，而准线在与母线垂直的坐标平面上的柱面。设柱面的母线平行于 轴，准线 是 平面上的一曲线，求柱面方程。,只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面；类似地，只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面；只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面。,缺变量的三元方程是柱面，它平行于没写出的坐标轴。,例5 指出下列柱面的准线及母线平行于什么坐标轴，并作草图及柱面的名称：(1)；(2)；(3)。,四.空间曲线在坐标面上的投影,曲线,同理:,曲线,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,例 求球面 与圆柱面 的交线分别在XOY坐标面和ZOX坐 标面上的投影方程,(YOZ坐标面呢?),解答：,图(a=2)：,图2：,在第一卦限的部分图形如下：,例 求球面 与旋转抛物面 的交线分别在XOY坐标面和YOZ坐标 面上的投影曲线，并说明是什么曲线,(ZOX坐标面呢?),解答：,五、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,播放,五、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,五、旋转曲面,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,旋转过程中的特征：,如图,将 代入,特殊情况：坐标平面上的平面曲线绕该坐标平面上的某坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面.,将 代入,得方程,也就是 不动,(1)曲线，绕 轴旋转一周所成的旋转曲面 的方程，只要在方程 中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,(2)曲线，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,(3)曲线，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,(4)曲线，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,(5)曲线，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,(6)曲线，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,含平方和的三元方程是旋转面方程，另一个变量是旋转轴。,以上结论反之也成立。,解,圆锥面方程是,绕 z 轴旋转而成的旋转曲面,例9 下列方程所对应的曲面是如何形成的，名称是什么，作出草图：(1);(2);(3);(4);(5);(6).,曲线曲面的4重点：,柱面：缺变量的三元方程，它平行于没写出 变量的坐标轴。旋转面：含至少两变量的平方和的三元方程，旋转轴是以另一个变量命名的轴。三坐标面上的投影就是三视图，用来想象空 间曲线形状。在某坐标面上的投影方程即消 去变量后，只剩下该坐标面上的变量。曲线的参数方程是三坐标用一个变量的函数 表示。要求函数能求导，积分。注意三角函 数的使用。,第八节 常用二次曲面图形,二次曲面的定义,定义:形为的曲面称为二次曲面.,二次曲面的分类大致说来：,从xy=1是双曲线谈起，正交变换消去所有混合项；配方法(或称平移)消去一次项；再除去那些剩下将要学的6种经典的二次曲面：,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,一、基本内容,第八节 二次曲面,（一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,系数特点：常数项不为零且负，二次项系数全正。,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,考虑如何利用特殊情况？,（二）双曲面,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,系数特点：常数项不为零且负，二次项系数二正一负。,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,双曲线的中心都在 轴上.,与平面 的交线为双曲线.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,截痕为一对相交于点 的直线.,截痕为一对相交于点 的直线.,（3）用坐标面，与曲面相截,均可得双曲线.,单叶双曲面图形,平面 的截痕是两对相交直线.,双叶双曲面,系数特点：常数项不为零且负，二次项系数一正二负。,系数特点：常数项为零，二次项系数一正二负或二正一负。,锥面,锥面可看成由单叶双曲面瘦身到双叶双曲面的过渡状态。,右端常数项由正至零再到负,（三）抛物面,（与 同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,系数特点：二次项系数有一项为零，剩下两项同号。,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 不相交.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,（3）用坐标面，与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,（与 同号）,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,系数特点：二次项系数有一项为零，剩下两项异号。,目录,1、椭球面2、双曲面3、抛物面4、圆锥面5、常见柱面,1、椭球面方程,方程：,其中,为正常数。,椭球面的图形,2、单叶双曲面方程,方程：,其中：,为正常数。,单叶双曲面图形,3、双叶双曲面方程,方程：,其中：,为正常数。,双叶双曲面的图形,4、椭圆抛物面方程,方程：,其中：,为正常数。,椭圆抛物面的图形,5、双曲抛物面(马鞍面)方程,方程：,其中：,为正常数。,双曲抛物面（马鞍面）图形,6、圆锥面方程,方程：,其中：,为正常数。,圆锥面图形,7、圆柱面方程,方程：,其中：,为正常数。,圆柱面图形,圆柱面方程（2）,方程：,其中：,为正常数。,圆柱面图形（2）,8、双曲柱面方程,方程：,其中：,为正常数。,双曲柱面图形,研究空间曲面的两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（例：讨论平面、直线、柱面、旋转曲面）,（例：讨论投影曲线、截痕法，按系数归属某类）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,记住二次曲面的形状，游击战记法,补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,例10,解,半球面和锥面的交线为,例11,解,半球面和锥面的交线为,一个圆,上例 求曲面与曲面所围立体区域分别在XOY坐标面和YOZ坐标面上的投影,例12 求曲线 分别在坐标面 面上的投影,解答：,
