河海大学理学院《高等数学》11-2常数项级数的审敛法.ppt

第二节 数项级数审敛法,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,显然有,例如,发散,Sn,证,3.比较审敛法,收敛，则其部分和有上界M,M,即 的部分和数列有上界,例如,证,证明,推论 若，则有相应的性质.,(保大弃小),解,由 单调递减知,重要参考级数:等比级数,P-级数.,用保大弃小法选参考级数.,4.积分判别法：,设 f(x)是 1,)上的单减非负连续函数.unf(n),n1，2，3,相加，得,即,因此 Sn 有界.,又 f(x)非负,因此 关于 n 单增，,所以 收敛.,若 收敛,即 存在,因此 有界,例:用积分判别法验证p-级数的收敛性.,5.比较审敛法的极限形式:,证明,由比较审敛法的推论,得证.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,例如:证明 Euler 数是存在的.,证明,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,注意:,解,比值审敛法失效,改用极限审敛法,级数收敛.,7.根式审敛法(Cauchy 判别法):,例5 讨论级数 的敛散性.,解,当0 x e 时级数收敛;当 x e 时发散.,当 x e 时,注意到 单增,级数发散.,例6 证明,考虑级数,判别正项级数敛散性的步骤:,用比值审敛法或根值审敛法;以P-级数为参考级数,用比较审敛法;通项,级数发散;以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分判别法;看部分和Sn是否有上界;用Cauchy收敛原理;用定义,求和s.,解,二、交错级数及其审敛法,定义,即：正、负项相间的级数称为交错级数.,证明,部分和数列为 Sn,设首项u1 0,即级数,这仍然是一个满足Leibniz收敛条件的交错级数,定理证毕.,若首项-u1 0,则由线性,解,原级数收敛.,自己做：证明 收敛.,三、绝对收敛与条件收敛,例如:,是绝对收敛的.,对任意的 x,是绝对收敛的.,证明,注意:该定理的逆命题不成立.例如,全体级数分为:,发散级数,收敛级数,绝对收敛,条件收敛,解,故由定理知原级数绝对收敛.,五、小结,判别一般项级数敛散性的步骤:,对通项取绝对值后,用比值审敛法或根值审敛法;对通项取绝对值后,以P-级数为参考级数,用比较审敛法;若发散,对原级数用Leibniz判别法;通项,级数发散;对通项取绝对值后,以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分判别法;若发散,对原级数用Leibniz判别法;用Cauchy收敛原理;用定义,求和s.,四、绝对收敛级数的性质,定理1 对于绝对收敛级数，任意交换它的各项次序所得到的新级数也绝对收敛，且与原级数的和相同.,注意:对条件收敛级数不成立.例如,经重排,可能会发散;即使收敛,其和也未必等于原级数的和.即书上的定理.,(无穷和式的交换律),定理2:设级数 与 都绝对收敛,它们的和分别为 A,B.则它们各项相乘得到的所有可能的乘积 aibj 按任意次序排列所得到的级数 也绝对收敛,且其和为 AB.,(无穷和式的分配律),正方形乘积,对角线乘积,对角线乘积（也称Cauchy积）：,例,1,所以条件收敛的级数的乘积未必收敛.,解,由极限审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,思考题,