自考概率论课件第六章统计量及其分布.ppt
第六章统计量及其抽样分布,数理统计学的任务：,数理统计学：诞生于19世纪末20世纪初，具有广泛应用的一门数学分支，它以概率论为基础，研究如何有效收集和分析带有随机性影响的数据.它的内容包括两大类：一类是试验设计和抽样调查设计，即研究如何更有效更合理地获得数据；另一类是统计推断，即研究如何分析数据，对所研究的问题作出尽可能精确、可靠的结论.,对随机现象进行观测或试验,收集整理统计资料,对研究对象作出推断,数理统计学概述,概率论是在随机变量服从分布已知的条件下，研究随机变量的性质、数字特征及其应用.,但实际上，随机变量的分布未知.,分布函数F(x)未知,F的类型未知F的类型已知，但含有未知参数.,数理统计,本章内容,6.2 总体与样本,6.3 统计量及其分布,6.1 引言,6.2 总体与样本,总体：所研究对象的全体构成的集合.,个体：总体中的每一个元素.,例：考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命.,例：考察某大学学生的身高与体重.,总体=？个体=？,总体=？个体=？,1.定义,一、总体和个体,(1)总体和个体具有两重性：一方面指所研究的实体；另一方面又指实体的特征指标.,注：,(2)有限总体与无限总体.,总体包含有限个个体,2.总体的随机变量表示及总体的分布,总体就是随机变量.可以是一维的，可以是二维的.,考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命实际上是R.V.记作X；而X的每一个取值就是一个灯泡的寿命，即一个个体.,考察某大学学生的身高与体重.总体(X,Y),X“身高”，Y“体重”.,总体的分布就是随机变量的分布.,以后所研究的总体多是正态总体.,为了处理问题的方便，当总体中个体的数量很大时，可把该总体看作无限总体，用连续型R.V.表示.,简单随机样本：设取自总体X的样本(X1,X2,Xn)满足:(1)每个Xi 与总体X同分布（代表性）;(2)X1,X2,Xn相互独立（独立性）.则称 样本(X1,X2,Xn)为简单随机样本，简称为样本.,样本二重性：,注,在有限总体中要得到简单样本,必须进行重复抽样.但当总体中个体数相对于样本容量充分大时，不重复抽样得到的样本也可近似看作简单样本.,随机抽样：从总体X中抽取部分个体的过程.简称抽样.,样本与样本容量：抽取的部分个体(抽样的结果）叫样本；所含 个体的个数叫样本容量.记为(X1,X2,Xn),二、样本,容量为n 的样本(X1,X2,Xn),由于试验的随机性，样本是n维随机变量,试验后,(x1,x2,xn),数据=样本观测值n维常数向量,统计推断:分析样本数据 对总体的分布作出结论,样本从总体带出的信息 是分散的、零乱的,统计量,设总体X的分布函数为F(x)，(X1,X2,Xn)是来自总体的样本，则(X1,X2,Xn)的分布函数为,连续型:X f(x)，则样本(X1,X2,Xn)的密度函数为：,三、样本的分布,离散型：XP(X=xi)=pi i=1,2,则样本(X1,X2,Xn)的分布为：,F(x1,x2,xn)=F(x1)F(x2)F(xn),P(X1=x1,X2=x2,Xn=xn)=P(X=x1)P(X=x2)P(X=xn),f(x1,x2,xn)=f(x1)f(x2)f(xn),设(X1,X2,Xn)为来自总体 X 的容量为n 的样本,h(x1,x2,xn)为不含未知参数的n 元实值函数，则 T=h(X1,X2,Xn)是一个随机变量，称为统计量.,6.3 统计量及其分布,注：（1）统计量是样本的已知函数，不含任何未知参数.（2）统计量用于估计时称为估计量，用于检验时称为检验统计量（3）把样本观测值代入统计量，得到统计量的观测值.故统计量 也具有二重性.,一、统计量的定义,例2 当总体 XN(,2)，其中参数,2 未知时,不是统计量,例1,当参数 已知,2 未知时，结论如何？,都是统计量,二、常用统计量,定义5.2 设样本(X1,X2,Xn)来自总体 X，常用统计量：,样本均值:,样本方差：,样本k阶原点矩：,样本k阶中心矩：,样本标准差:,样本均值和样本方差的性质,证：由于(X1,X2,Xn)是简单随机样本，所以EXi=EX=，DXi=DX=2(i=1,2,n)，而且有,注意到：,三、抽样分布,1.2 分布,数理统计学的三个重要分布,定义：设随机变量X1,X2,Xn相互独立,且同服从N(0,1)，则2=X12+X22+Xn2 2(n).,有关2分布的结论,20 若 X2(n),Y2(m),且X与Y相互独立,则 X+Y 2(n+m).,10 若随机变量XN(0,1)，则X2 2(1).,30 若 X1,X2,Xn相互独立，同服从于正态分布N(i,i2)，则,2分布的临界值（上 分位点）,例：,3.94,2.t 分布,（1）定义：,(2)t 分布的临界值（上 分位点）,例 若 XN(,2)，Y/2 2(n)，且X与Y相互独立，证明：,证明：,且X与Y相互独立,所以,3.F 分布,(1)定义:,则,(2)F 分布的临界值（上 分位点）,(3)F 分布的性质,例：,20,正态总体下的抽样分布两个定理五个结论.,1.样本线性函数的分布,定理 设Y=a1X1+a2X2+a n X n，则,以下假设样本（X1,X2，X n）来自正态总体 XN(,2),其中 a1,a2,an 为不全为零常数.,重要结论1,设(X1,X2，X n)取自 XN(,2)，,则,2.样本均值和样本方差的分布,定理 设X N(,2)，样本(X1,X2,Xn)取自总体X，则,重要结论2,且相互独立,设样本(X1,X2,Xn)取自总体X N(,2)，,则,证：,3.两正态总体的抽样分布,设样本(X1,X2,X n)来自正态总体XN(1,12),(Y1,Y2,Y n2)来自正态总体YN(2,22)，并假定X 与 Y 相互独立.记,设样本(X1,X2,X n1)来自总体XN(1,12)，(Y1,Y2,Y n2)来自总体YN(2,22)，且X与Y相互独立，则,重要结论4,重要结论3,因(n1-1)S12/1 2 2(n11),(n2-1)S22/22 2(n21),重要结论5,解：,且相互独立,且相互独立，则,解：,独立,例2 若 XN(0,0.5 2)，样本(X1,X2,X 10)来自总体X.求,基本要求:1.理解总体、个体、样本、统计量和简单样本的 概念.2.掌握样本均值和样本方差的计算.3.掌握正态总体某些常用统计量的分布（两个重要定理、三个分布的判断，其它都可以推出）.4.了解三大分布的定义，熟练掌握它们的临界值 的查表计算.重点：1个重要性质+3个构造性定义+2个重要定理+5个重要结论.,本章小结,补充作业,1.设总体XN(,2),X1，X2，X10是取自总体X的样本,则,2.设总体XN(1,4),X1，X2，X6是取自总体X的样本,则,()N(0,1);()t(5).,3.对总体X进行抽样，得到样本观测值是 0,1,1,2,1,则 样本均值为().,4.设总体XN(0,1),X1，X2，X10是取自总体X的样本,则,
