自考概率论课件第二章随机变量及分布1.ppt

2023/9/12,1,第二章随机变量及其概率分布,2023/9/12,2,2.1 离散型随机变量,2.2 随机变量的分布函数,2.3连续型随机变量及其概率密度,2.4 随机变量函数的分布,2023/9/12,3,例1 掷一枚骰子，样本空间=1，2，6.对于每次试验结果，都有一个数值与之对应.我们可引进一个变量 X“出现的点数”,X的可能取值为1，2，3，4，5，6.,2.1 离散型随机变量,一、随机变量的概念,若随机试验的结果带有明显的数量标识，则可用数量值来表示事件,若试验的结果不带有明显的数量标识，也可以用数量表示事件.,例2 掷一枚硬币，样本空间=正，反.引进变量X，并规定正面出现时，X=1；反面出现时，X=0.,X表示“正面出现的次数”,类似的例子如：射击、抽检产品,如：(X=i)代表相应的基本事件（样本点），事件A“点数超过3”，可用(X3)表示.,事件可用变量X表示.,X=X(),X=X(),2023/9/12,4,例3 电话台单位时间内收到的用户呼唤次数。记呼唤次数为 X，则 X 是一个变量，取值为0，1，2，,(X=i)代表相应的基本事件（样本点）.,变量X的取值取决于试验的结果，具有随机性；且取任一值都有确定的概率.我们把具有上述性质的 X 称为随机变量.,引进一个变量X，对于E的每一可能结果，都有一个确定的实数X()与之对应，而试验的结果是随机的，所以变量X的取值也是随机的，这就是随机变量.,例4 某地区某段时间内的气温.记X表示任一时刻的气温值，则X的取值为a，b.（X=i）即为一基本事件（样本点）.,2023/9/12,5,1.随机变量的定义,定义2-1 设试验E的样本空间为，对于任一样本点,都有唯一确定的实数 X()与之对应，即 X=X()是定义上的一个实值函数，且对于任意实数 x,(X()x)是一随机事件，有确定的概率，则称 X=X()为随机变量.,注:,(1)随机变量通常用大写字母X，Y，Z或希腊字母,等表示.而表示随机变量所取的值时，采用小写字母 x,y,z 等.,(2)随机变量的取值有一定的概率（随机变量与普通函数的本质差异）.由此可知,对随机变量的研究，不仅要搞清楚随机变量取值的范围，还要搞清楚取相应值的概率.,2023/9/12,6,例2 在 n 重贝努里试验中，X“事件A出现的次数”，则X=0，1，n.则“在 n 重贝努里试验中，事件A恰好出现k次”，记作（X=k），且,例1 单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用X表示，则“呼叫不少于一次”（X1），“没收到呼叫”（X=0）.,(q=1-p),按照随机变量的取值情况可把其分为两类：离散型随机变量：随机变量X的全部取值只有有限个或 无限可列个.非离散型随机变量：随机变量X的全部取值不能一一列举.其中，只研究连续型随机变量（随机变量X取值于某个区间或整个数轴的所有实数）.,2.随机变量的分类,2023/9/12,7,二、离散型随机变量的概率分布 对于离散型随机变量X，它的取值有限个或无限可列个.我们关心的问题是：X的所有可能的取值是什么？取每一个值的概率是多少？将这两个问题综合起来就是概率分布.,1.概率分布的定义,定义：若离散型随机变量X所有可能的取值为x1,x2,对应的概率为 p1,p2,称P(X=xk)=pk,k=1,2,(1)为随机变量 X的概率分布或概率函数或 分布律.,注,（1）为了直观，概率分布表示为：,X x1 x2 xn,P p1 p2 pn,(2)(X=x1),(X=x2),(X=xn),构成完备事件组.,2023/9/12,8,2.概率分布的性质,(1)pk0，k=1,2,；,例2-2 掷一枚骰子，求出现的点数的概率分布及P(X3).,解：设X表示出现的点数，则,X=1，2，3，4，5，6.,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6.,所以，X的概率分布为：,P(X=k)=1/6,k=1,2,3,4,5,6.,或,X 1 2 3 4 5 6,P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,3.会求概率分布及相关概率,P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2,P(X=xk)=pk,k=1,2,(非负性),(归一性),P(1X3)=P(X=2)+P(X=3)=1/3,P(1X3)=P(X=2)=1/6,P30例2-1,2023/9/12,9,例2-3(P30)袋中有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.从中同时取出3个球，记X为取出的球的最大编号，求X的概率分布，并求P(X3.5),P(3X4.5).,解：X=3,4,5.,P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=,概率分布为：,X 3 4 5,P(X3.5)=P(X=3)=0.1;,P 0.1 0.3 0.6,P(3X4.5)=P(X=4)=0.3,练习：P31 例2-4.,2023/9/12,10,若X的概率分布为：,三、离散型随机变量的常见分布,P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1.,1.0-1 分布,则称X服从参数为p的0-1分布.,注,0-1分布中X的实质：,设P(A)=p,X“一次试验中A发生的次数”,则X服从0-1分布.,2023/9/12,11,称X服从参数为n,p的二项分布，记为X B(n,p).,注,0-1分布是二项分布的特例:,若X表示“n重贝努里试验中事件A发生的次数”,X的可能取值为0,1,2,n,对应的概率分布为：,2.二项分布,当n=1时,B(1,p)就是0-1分布.,2023/9/12,12,例2-6（P32）某特效药的临床有效率为0.95，现有10人服用，问至少有8人治愈的概率.,一般地，设X B(n,p)，则,A至少发生一次的概率为,解：X“在10人中治愈的人数”.,X B(10,0.95).,=0.9885,二项分布的计算很繁,需近似计算.,2023/9/12,13,其中 0 为常数，则称 X 服从参数为 的普哇松分布，简记为X P().,随机变量 X的概率分布为,普哇松分布常用于稠密性的问题中.如：炸弹爆炸时的碎弹片数；显微镜下某种微生物的数目；某段时间内到达公共汽车站的乘客数；某电话交换台单位时间内收到的呼唤次数；宇宙中单位体积内星球的个数；耕地上单位面积内杂草的数目，害虫数；织机上断头的数目；原子放射离子数等，都服从或近似服从泊松分布.,普哇松分布的优点：有关计算可查表.,3.Poisson分布,2023/9/12,14,例 某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数X服从参数=3的普哇松分布，写出X的概率函数，并求一分钟内呼唤5次的概率.,解：,X的概率函数为,例2-10(P34)设X 服从泊松分布，已知P(X=1)=P(X=2),求,P(X=4).,解：,(舍去),2023/9/12,15,（2）二项分布的泊松逼近Poisson定理,理论上可证明泊松分布P()是二项分布B(n,p)的极限.设X B(n,p)，当 n 较大，p 较小，而=n p大小适中，则X近似地服从参数为=n p 的泊松分布.,解：X“该单位患有这种疾病的人数”，则X B(5000,0.001).,P(X2)=,X可以近似地服从参数为=n p=5 的泊松分布,P(X 2）,例8 已知某种疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位至少有2人患有这种疾病的概率有多大？,所求的概率为：,=1-0.006738-0.03369=0.959572,2023/9/12,16,例2-5(P31)对某一目标不断进行射击，直到命中目标为止，如果每次射击命中率为p，求射击次数的分布.,解：X表示“命中目标时的射击次数”，则X=1，2，,(X=k)表示射击到第k次才命中目标，,即前k-1次不中，第k次击中.,则称 X 服从参数为 p 的几何分布.,2023/9/12,17,一、分布函数的概念,2.2 随机变量的分布函数,1.定义 设X为一个随机变量，对任意实数 x，函数 F(x)=P(X x)称为随机变量 X的分布函数.,注(1)F(x)表示随机变量X的取值落入区间(-，x的概率.,(2)F(x)的定义域为D(F)=(-,+),值域为Z(F)=0,1.,X-1 0 1 2,P 0.2 0.1 0.3 0.4,F(1)=,P(X1),=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1),=0.6,F(1.5)=,P(X1.5),=0.6,F(2)=P(X2),=1,2023/9/12,18,2.分布函数F(x)的性质,(3)F(x)是x的不减函数,即对x1 x2,有F(x1)F(x2)；,(2),(4)F(x)是右连续函数，且至多有可列个间断点.即,(1)x，都有 0F(x)1;,重要公式,对于任意实数x1x2，有,P(x1 X x2)=F(x2)-F(x1),2023/9/12,19,例2-11(P36)随机变量X的概率分布为：,解：(1)由概率分布知：,求:(1)常数c,(2)分布函数F(x),(3)P(-0.2X1.5);P(X0).,0.2+0.1+0.3+c=1,得 c=0.4,(2),0,P(X=-1)=0.2,0.6,F(x)=P(Xx)=,1,(3)P(-0.2X1.5)=P(X=0)+P(X=1)=0.4;,X-1 0 1 2,P 0.2 0.1 0.3 c,F(x)=P(Xx)=,F(x)=P(Xx)=,P(X=-1)+P(X=0)=0.3,F(x)=P(Xx)=,F(x)=P(Xx)=,P(X0)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.8,2023/9/12,20,练习,求F(x).,2023/9/12,21,1.连续型随机变量取值于某一区间内的所有实数，不能一一列举；2.连续型随机变量取任一确定值的概率等于0.,一、连续型随机变量的概率密度函数,例：考察某一段时间内某地区的气温变化；考察某批元件的使用寿命；考察旅客等车的时间；考察测量引起的误差.此类随机变量的分布如何描述？,显然，连续型随机变量不能像离散型随机变量那样用概率分布来描写其分布，原因有二：,2.3 连续型随机变量及其概率密度,2023/9/12,22,则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率分布密度函数，简称为概率密度或密度函数，记作 X f(x).,定义 若随机变量X 所有可能的 取值是某一区间上的所有实数，且存在 非负可积的函数f(x)，x（-，+）使得对任意实数x，X的分布函数F(x)为,注（1）可以证明，F(x)在 x(-，+)内是连续函数.,（2）若 f(x)在点 x 处连续，则 F(x)在x 点可导，且F(x)=f(x).,1.定义,2023/9/12,23,上式说明，密度函数f(x)在点x 的函数值反映了随机变量X在x点附近取值的概率大小与长度之比的极限，即x点概率分布的密集程度，不是概率。,（3）由（2）得：,（4）的几何意义：,2023/9/12,24,2.概率密度函数的性质,(1)f(x)0，x(-，+),(2),利用性质(2)可以确定密度函数中的待定参数.,连续型随机变量的密度函数与离散型随机变量的概率函数相对应.,(非负性),(归一性),重要公式：,连续型R.V.,则P(X=a)=0.,2023/9/12,25,3.连续型随机变量的分布函数,两方面题型：(1)由F(x)求f(x)；(2)由f(x)求F(x).,例2-16(P41)设连续型R.v.X的分布函数为：,求:(1)密度函数；(2)P(0.3X0.7).,(2)P(0.3X0.7)=,=0.4,难点,(3)P(-1X0.5)=,2023/9/12,26,定义 若连续随机变量X 的密度函数为,则称X服从区间 a，b上的均匀分布.,其分布函数为,二、连续型随机变量的常见分布,1.均匀分布,记作XUa,b.,注意F(x)与f(x)的区别.,2023/9/12,27,例2-18(P43)某公共汽车站每隔5分钟一辆车通过，乘客在5分钟内到达车站是等可能的，求乘客候车时间在13分钟的概率.,解：设X表示乘客等车的时间,则X服从0,5上的均匀分布.X的密度函数为,所求概率为：,=0.4,举一反三，熟练掌握.,2023/9/12,28,定义 若连续随机变量X 的密度函数为,其中 0 为常数，则称X服从参数为 的指数分布.,指数分布常可作为各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务系统中的服务时间等都常被假定服从指数分布.,其分布函数为,2.指数分布,记作XE().,2023/9/12,29,习题2.3 7.设修理某机器所用的时间X服从参数=0.5(小时)指数分布，求机器出现故障时在1小时内可以修好的概率.,X的密度函数,解：,2023/9/12,30,(1)定义 若X 的概率密度为,其中 为常数，0 为常数,则称X服从参数为,的正态分布,记为 X N(,2).,注 10其分布函数为,3.正态分布(Gauss分布),2023/9/12,31,正态分布 N(,2)的密度函数图形如右图所示，正态密度曲线呈古钟形曲线.,(1)(x)图形关于直线 x=对称.,(4)参数 决定曲线(x)的位置，参数 决定曲线(x)的形状.固定 而改变 值，则曲线沿着x 轴左右平移但形状不变；固定 而改变 值，则曲线形状改变而位置不 变.值越大时曲线越扁平，值越小曲线越尖窄.,(3)在 x=处，(x)取得最大值：,其特点如下：,(2)(x)在 x 轴上方，且以 x 轴为渐近线.,2023/9/12,32,参数=0,=1的正态分布称为标准正态分布其密度函数为：,（2）标准正态分布,记为X N(0,1).,(x)的性质,(1)(x)是偶函数，即有(-x)=(x).,在x=0处(x)取最大值,(2)(x)在（-，0）内单增，在（0，+）内递减.,(4)(x)在x=1，-1点取得拐点，且以x轴为水平渐近线.,2023/9/12,33,重要公式：,(3)P(|X|x)=2(x)-1,(2)(-x)=1-(x);(0)=0.5,其分布函数为：,(x)的几何意义：曲线(x)与x轴之间在直线t=x左边图形的面积,若 X N(0,1)，密度函数为,(4)P(aXb)=(b)-(a),设XN(0,1)，则,(1)(-x)=(x),2023/9/12,34,有关标准正态分布的概率计算,例2-21(P47)已知X N(0,1)，求：(1)P(X2.35)；(2)P(X-3.03)；(3)P(|X|1.54)；(4)P(|X|1.84).,解：,(1)P(X2.35)=(2.35)=0.9906;,(2)P(X-3.03)=(-3.03),=1-(3.03),=1-0.9995=0.0005,(3)P(|X|1.54)=2(1.54)-1,=20.9382-1=0.8764,(4)P(|X|1.84)=1-P(|X|1.84),=1-2(1.84)-1,=0.0658.,2023/9/12,35,(3)一般正态分布与标准正态分布的关系,设X N(,2),分布函数为F(x),则,例2-22(P47)已知X N(1.5,4)，求：(1)P(X3.5)；(2)P(1.5X3.5)；(3)P(|X|3).,解：,(1)P(X3.5)=F(3.5),(2)P(1.5X3.5)=,F(3.5)-F(1.5),=0.3413,(3)P(|X|3)=,F(3)-F(-3),2023/9/12,36,练习：设XN(1,4),求：P(-1X2);P(|X|1);P(0X3).,P(-1X2)=,F(2)-F(-1),P(|X|1)=P(-1X1),=F(1)-F(-1),P(0X3)=F(3)-F(0),P(X1)=,F(1),=0.5,2023/9/12,37,定义 设X是随机变量,y=g(x)是连续函数.Y=g(X)也是随机变量,称Y=g(X)为随机变量X的函数.,有些随机变量的分布往往难以直接得到，但与它们有关的另一些随机变量的分布却容易得到.这就要研究随机变量之间的关系，通过它们之间的关系，由已知随机变量的分布求出另一个随机变量的分布.,如何根据X 的分布求出 Y=g(X)的分布？,2.4 一维随机变量函数的分布,什么是随机变量的函数？,2023/9/12,38,一、离散型随机变量函数的分布,设随机变量X 的概率函数为P(X=x k)=p k(k=1,2,),1.若对于X 的所有可能取值 x k，Y的取值 y k=g(x k)(k=1,2,)全不相同，则Y=g(X)的概率函数为 P(Y=y k)=P(X=x k)=p k(k=1,2,),引例 测量一个正方形的边长，其结果是一个随机变量 X 的分布为,求：周长Y和面积Z 的分布.,解：,显然，Y=4X，Z=X 2,(Y=28)=(X=7),P(Y=28)=P(X=7)=0.1,依此计算可得 Y的概率函数如表 2 所示,同理Z 的概率函数，如表 3 所示.,Y=g(X),求Y的概率分布.,2023/9/12,39,例2-24(P50)已知 X 的分布律为,求：X 2 的概率函数.,解：,令 Y=X 2，则 Y 所有可能的取值为 0,1,4.,事件(Y=0)与事件(X=0)相等，事件(Y=4)与事件(X=2)相等,所以 P(Y=0)=P(X=0)=0.1，P(Y=4)=P(X=2)=0.4,而(Y=1)=(X=-1)+(X=1)，(X=-1)与(X=1)互不相容，,所以 P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=0.5,Y 的概率分布为：,2.若X 的所有可能取值 x k中至少有两个值 x i x j，其对应 Y 的取值 y i=g(x i)=y j=g(x j)，此时应将这些相等的函数值 作为Y的一个取值，Y取该值的概率是X取相应值的概率之和.,2023/9/12,40,第一步，求出Y 的分布函数 FY(y).或 建立Y 的分布函数 FY(y)与X 的分布函数FX(x)之间的关系.,若连续型随机变量X的密度函数为fX(x),y=g(x)及一阶导 数都连续.Y=g(X)是连续型随机变量,求 Y的密度函数 fY(y).,第二步，对FY(y)关于y求导数得fY(y).,二、连续型随机变量函数的分布,2023/9/12,41,例1 已知X服从0，4上的均匀分布，求Y=3X+1的密度函数.,Y=3X+1服从1,13上的均匀分布.,当,解法1,2023/9/12,42,解法2,上式两边对y求导：,又,所以,若XUa，b，则其线性函数在相应区间仍服从均匀分布.,2023/9/12,43,证,例2-28 若XN(,2),Y=(X-)/,证明：Y N(0,1).,若XN(,2),则Y=aX+b Na+b,a2 2.,故 Y N(0,1).,我们称 是X 的标准化随机变量.,如:XN(1，4)，Y=2X+1，则 YN(3，16).,一般地，有,若XN(0,1),则X2 2(1).,2023/9/12,44,解：,求：Y 的密度函数 f Y(y).,例2-31 设随机变量X的概率密度为,上式两边对y求导：,又,所以，,2023/9/12,45,第二章 总 结,1.熟练掌握一维离散型随机变量概率分布、分布函数的定义，性 质.2.熟练掌握一维连续型随机变量密度函数的定义、性质；会由分布函数会求密度函数；会由密度函数会求分布函数.3.熟练掌握常见分布（6个）.重点掌握正态分布.4.掌握随机变量函数的分布.,