正弦稳态电路分析.ppt

1,第 四章正弦稳态电路分析,2,第6章正弦稳态电路分析,6.1 正弦交流电的基本概念6.2 正弦量的相量表示法6.3 单一元件参数电路6.4 简单的正弦交流电路6.5 复杂交流电路的分析和计算6.6 正弦交流电路的功率6.7 正弦交流电路中的谐振6.8 非正弦周期电流电路6.9 三相交流电路,3,6.1 正弦交流电的基本概念,6.1.1 周期电流,周期电流：随时间做周期变化的电流。周期电流在某一时刻的值称为瞬时值，即周期电流应满足 f(t)=f(t+T)。其中，T称为周期，单位是秒，表示电流完成一个循环所需的时间；周期的倒数，即单位时间内完成的循环次数称为频率f，单位是赫兹Hz。正弦量：随时间按正弦规律做周期变化的量。,4,正弦交流电瞬时值的一般表达式为：u(t)=Um cos(t+u)i(t)=Im cos(t+i),可见，每个正弦量都包含三个基本要素：最大值或幅值（Um、Im）、角频率和初相位（u、i）。它们是区别不同正弦量的依据。,6.1.2 正弦交流电,5,1、最大值（幅值）：是正弦量瞬时值中最大的值。一般用大写字母加下标m 表示。2、角频率：单位时间内正弦函数变化的角度。单位是rad/s。又，单位时间内交流电循环了 f 次，因此=2/T=2 f,设正弦交流电流：,6,3、初相位：表示正弦量在t=0时刻的相角。其值与计时起点有关，一般用-的角度来表示。4、相位差：两个同频正弦量的相位之差。如：u、i 的初相位分别为u、i，则 u、i 的相位差为(t+u)-(t+i)=u-i=,如果 0,称u超前i，或i滞后u；如果0,称i超前u，或u滞后i.,7,=u i 0电流超前电压,=u i=-900电流超前电压900,=u i=1800电压与电流反相,8,注意：1、两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时起点的选择无关。2、不同频率的正弦量之间比较相位差没有意义。,与交流电热效应相等的直流电定义为交流电的有效值。用大写字母 I、U 表示。,6.1.3 交流电的有效值,由,9,则有,10,6.2 正弦量的相量表示法,设正弦量:,6.2.1 正弦量的矢量表示法 在平面坐标上的一个旋转矢量可以表示出正弦量的三要素。,11,若:矢量长度=U m 矢量与横轴夹角=初相位y矢量以角速度按逆时针方向旋转，则:该旋转矢量每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。,12,6.2.2 正弦量的相量表示法,矢量可以用复数表示，所以用矢量表示的正弦量也可以用复数表示。采用复数坐标，实轴与虚轴构成的平面称为复平面。,图6-4 矢量复数表示,图6-4中实数 A=a+jb，a 为实部，b 为虚部。,13,图6-4 矢量复数表示,复数的模,复数的辐角,实部,虚部,复数还可以写成,或者,14,用复数表示正弦量。复数的模表示正弦量的幅值，辐角表示正弦量的初相位。,用U、这三要素可以表示一个正弦量，在确定的频率下分析计算正弦量用U 和 就可以表示正弦量。U 是一个数值，是一个角度，一个复数可以表示出一个数值和一个角度，用一个复数也就可以表示一个正弦量。,正弦电压可以表示为,相量,可以表示为,瞬时值,用来表示正弦量的复数称为相量。为了与一般的复数相区别，在大写的字母上面加“点”。,15,相量,可以表示为,例 电压,或者,相量形式为,或者,注意：这个例子里瞬时值与相量表示的是同一个正弦量，都是表示有效值220V、初相位 450 的正弦电压，但这二者并不是相等。,16,例 电流相量,瞬时值为,17,6.2.3 复数,（一）复数的基本形式,(2)三角式,(3)指数式,(4)极坐标式,18,6.2.3 复数,（二）复数的四则运算,19,复数的加减要用复数的代数形式。复数的乘除用代数形式比较麻烦，用指数形式或极坐标形式就比较简单。,20,例6-3 已知 A1=10+j5,A2=3+j4.求 A1A2 和。,解：方法一,21,例6-3 已知 A1=10+j5,A2=3+j4.求 A1A2 和。,解：方法二,22,复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。前面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。右图的画法更为简捷，当有多个相量相加减时会显得很方便。,23,下面左图是4个相量相加，可以看出这种头尾相接的画法比逐个用平行四边形相加要好很多。右图是相量相减。,O,+j,+1,A+B+C+D,C,B,A,D,对电路进行分析计算时一般是用相量图与解析计算相结合。,24,6.2.4 基尔霍夫定律的相量形式,基尔霍夫定律不仅适用于直流电路，对于随时间变化的电压与电流，在任何瞬间都是适用的。基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律的一般形式为,在正弦交流电路中，各个电压与电流都是同频率的正弦量，基尔霍夫定律可以用相量形式来表示。,25,例 电路如图(a)所示,已知,试求电流 i(t),画出相量图。,解：将电流的瞬时值形式写成相量形式,根据相量形式画出相量形式的电路图，见图（b),26,列出图(b)中相量形式的KCL方程,解得,由相量形式写成瞬时值表达式,画出相量图，见图（c)或图(d)。,27,瞬时值形式和相量形式是同一个电流的两种表达式，但二者不是相等的关系,画出相量图，见图(c)或图(d)。,28,例 电路如图(a)所示，试求电压源电压相量S，画出相量图。已知,根据瞬时值写出相量，或者根据相量写出瞬时值都是比较简单的。所以，作为已知条件可以直接给出相量形式，最后答案给出相量形式也就可以了。,解：对于图(a)中的回路，沿顺时针方向，列出的相量形式KVL方程,29,解得,其相量图如图(a)和图(b)所示。,30,6.3 单一元件参数电路,6.2.1 电阻电路,由欧姆定律:,（1）频率相同,（2）有效值 U=RI,（3）相位差,若,得,对照电压与电流，可见,（1）电压与电流的关系,31,电压与电流的关系可以表示为,这是欧姆定律的相量形式。复数相等是模与角分别相等。此式表明有效值,相量形式的电阻元件符号见右图。,相位关系,32,（2）瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积,可以看出功率随时间变化，且,p,33,瞬时功率在一个周期内的平均值,（3）平均功率(有功功率)P,单位:瓦（W）,34,图6-15,例 6-5 图6-15中电路，=220 00V,P=200W,求电流 和电阻 R。,解法一：对于图6-15中电阻电路，由P=UI 得,电压与电流同相位，故,由=R 得,35,图6-15,例 6-5 图6-15中电路，=220 00V,P=200W,求电流 和电阻 R。,解法二：对于图6-15中电阻电路，,由=R 得,36,频率相同,有效值U=L I,电压超前电流90,相位差,（1）电压与电流的关系,设,6.3.2 电感元件,37,则,XL 称为 电感电抗，简称感抗，单位为欧姆()。,定义,有效值,用相量形式写出电感电压与电流之间的关系,感抗的模值反映电感对电流阻力的大小。,这是电感电路中欧姆定律的相量形式，既表示了电压与电流有效值之间的关系，也反映了二者之间的相位差。,（6-15）,38,电感电路相量形式的欧姆定律,相量图,39,(2)瞬时功率,(3)平均功率,电感元件有的时刻是吸收电功率，有的时刻发出电功率。平均功率为零。,40,瞬时功率：,结论：电感元件是储能元件，不消耗能量，只和电源进行能量交换。,41,例6-5 把一个L=0.01H的电感接到 f=50Hz,U=220V的正弦电源上，(1)求电感电流 I;(2)如保持U不变，而电源 f=5000Hz,这时 I 为多少？,(2)当 f=5000Hz 时,42,例 一只L=20mH的电感元件，通有电流,求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u;(3)平均功率。,解：（1）,(2)线圈两端的电压u,(3)平均功率,电感元件不消耗电功率，平均功率为零，P=0。,43,（1）电流与电压的关系,频率相同,有效值 I=CU,电流超前电压90,则,若,6.3.3 电容元件,对照电流与电压的表达式,44,或,则,（6-19）,有效值,XC 称为电容电抗，简称为容抗，单位为欧姆（）。,用相量形式写出电容电压与电流之间的关系，容抗的模值反映电容对电流阻力的大小。,定义,45,电容电路中相量形式的欧姆定律,(2)瞬时功率,46,(2)瞬时功率,(3)平均功率,与电感元件相似，电容元件有的时刻是吸收电功率，有的时刻发出电功率。平均功率为零。,47,瞬时功率：,充电,放电,充电,放电,48,例6-6 把一个电容 C=318.5106F,接到 f=50Hz,=22000V的正弦电源上，试求(1)求电容电流;(2)如保持不变，而电源 f=106Hz,这时 为多少？,(2)当 f=106Hz 时,49,单一参数电路中的基本关系,小 结,50,6.4 简单的正弦交流电路,6.4.1 RLC串联交流电路,对应的相量形式为,51,由KVL得,（6-21）,52,其中,是感抗与容抗之差，称为电抗，单位为欧姆（）。而,称为复阻抗，简称为阻抗，实部为电阻，虚部为电抗。阻抗是复数，但不是表示正弦量，所以大写字母上面不加“点”。,53,复阻抗的模,复阻抗的辐角称为阻抗角,R，X，Z 三者之间构成直角三角形，称为阻抗三角形，见图（d）。,54,当 XLXC 时，X0，电路呈电感性，称为感性电路。,当 XLXC 时，X0，电路呈电容性，称为容性电路。,例6-7 图中RC串联电路R=1k,C=0.05F,1=500V,f=5kHz.。求2并画出相量图。,解：电路阻抗,55,电流,电阻两端电压相量,电路的相量图见图(c)，阻抗三角形见图(b)。,56,6.4.2 阻抗的串联和并联,一、阻抗的串联,可以看出，这里的分析方法和结论与直流电阻电路串联很类似。与直流电阻电路类似，Z 称为等效阻抗。,与直流电阻电路串联时的分压公式类似，这里是,57,分压公式：,显然，多个阻抗串联时的等效阻抗为,Z=Z1+Z2+Z3+.,(6-29),(6-28),二、阻抗的并联,58,分流公式：,对照,得到2个阻抗并联时等效阻抗为,59,复阻抗的倒数称为复导纳，简称导纳。当并联支路较多时，应用导纳计算比用阻抗计算要简单。,三、导纳,可见复导纳的模与复阻抗的模互为倒数，复导纳的辐角是复阻抗辐角的负数。复导纳并联时,60,例6-8 图中R=10,XL=15，XC=8,电路端电压=12000V,求（1）电流R，L，C 和；（2）画出相量图；（3）电路的等效阻抗和等效导纳。,解：电路阻抗,61,（2）画出相量图。画相量图时可以只画出参考相量，不画出坐标轴。以电压作为参考相量，见右图。,（3）电路的等效阻抗和等效导纳。,62,63,6.5 复杂交流电路的分析和计算,对于复杂的交流电路，可以像直流电路一样应用支路法，节点法，叠加原理，等效电源定理等来分析计算，所不同的就是电压和电流要用电压相量和电流相量，电阻要用阻抗，电路的参数用复数表示。,例6-9 图中=22000V,求 电流1，2 和 3。,1,j1,解：电路阻抗,64,电路总的阻抗,总的电流,65,总的电流,用分流公式计算另外2个电流总的电流,66,例6-10 图中R=10,X1=12.5，X2=50,电压源1=2=22000V,用支路法求各支路电流。,解：用支路电流法。列出一个KCL方程和二个KVL方程。,代入数据并整理，得,解得,67,例6-11 例6-10中元件参数不变，用戴维南定理求电流 3。,解：去掉R 所在支路，画出其余部分电路，见图（b）其开路电压为,其等效阻抗见图（c），为,（b）,（c）,68,其等效阻抗见图（c），为,其戴维南等效电路见图（d）,69,例6-12 用叠加原理求图中电容电压。已知S=50 00V,S=10 300A,XL=5,XC=3。,解：(1)首先断去电流源，计算电压源单独作用时的响应，见图(b),(2)将电压源置为零（用短路线替代），计算电流源单独作用时的响应，见图(c),70,(2)将电压源置为零（用短路线替代），计算电流源单独作用时的响应，见图(c),(3)电压源与电流源共同作用时的响应,71,6.6 正弦交流电路的功率,6.6.1 瞬时功率,设：,72,6.6.2 平均功率（有功功率）,cos 称为功率因数,三种情况，纯电阻，纯电感，纯电容-,(6-34),73,6.6.2 视在功率和无功功率,在正弦交流电路中，电压有效值与电流有效值的乘积称为视在功率，单位是伏安（VA),(6-35),在工程上还引入无功功率的概念，Q表示，单位为乏(var)。,可以看出，无功功率Q可能为正，也可能为负。电感性电路电流滞后电压，0，Q 0，无功功率Q为正值；电容性电路电流超前电压，0，Q 0，无功功率Q为负值。,(6-36),74,对于纯电阻电路，=00，于是无功功率为,可以看出，平均功率，视在功率和无功功率三者之间,对于纯电感电路，=900，于是无功功率为,对于纯电容电路，=900，于是无功功率为,三者之间构成一个直角三角形，称为功率三角形。见右图,75,可以证明，在电路中平均功率是守恒的，无功功率也是守恒的，而视在功率是不守恒的。这由下面的例题可以看出来。,例6-13 图中电路，U=240V,R1=28,XL=96，R2=48,XC=64。求各个支路及总的平均功率，无功功率和视在功率。,解：各支路阻抗为,76,各支路电流及总电流,对于支路 1,77,对于支路 1,对于支路 2,78,电路总功率,讨论：可以看出,79,6.7 正弦交流电路中的谐振,6.7.1 串联谐振,使得R、L、C电路中电压与电流同的现象称为谐振。,发生在RLC串联电路中的谐振称为串联谐振。图6-31（a）所示串联电路，其阻抗为,若电路处于谐振状态，阻抗应为纯电阻，必须满足,80,若电路处于谐振状态，阻抗应为纯电阻，必须满足,即,发生谐振时的角频率为,谐振频率为,(6-46),(6-47),图6-31,串联谐振电路主要的特点是,81,串联谐振电路主要的特点是,（1）电流与电压同相位，电路呈现电阻性。,（2）串联阻抗最小，电流最大，由于Z=R，故电流为,（3）电感电压与电容电压大小相等相位相反，之和 为零，电阻电压等于电源电压。,（4）谐振时电感电压与电源电压之比称为品质因数，用Q表示（前面用同样的符号Q表示了无功功率）,注意：电感电压与电容电压有可能远远大于电源电压。,82,例6-14 图中电路，R1=10,L=0.26103H，C=2381012 F。求(1)谐振频率 f0；（2）该电路的品质因数Q；（3）若输入f=640103Hz、U=10103V的信号电源，求电路电流I和电感电压UL的有效值。(4)若输入f=960103Hz、U=10103V的信号电源，求电路电流I和电感电压UL的有效值。,解：谐振频率为,83,（2）该电路的品质因数Q；,（3）信号源频率 f=640103Hz 等于电路的谐振频率，因此,（4)f=960103Hz时,84,（4)f=960103Hz时,85,6.7.2 并联谐振,发生在RLC并联电路中的谐振称为并联谐振。图6-33（a）所示并联电路，其电流为,若电路处于谐振状态，电流与电压同相位，阻抗应为纯电阻，必须满足,图6-33(a),86,发生谐振时的角频率为,谐振频率为,6-49),并联谐振电路主要的特点是,这两个表达式与串联谐振时相同。,（1）电流与电压同相位，电路呈现电阻性。,（2）并联阻抗最大，电流最小，由于Z=R，故电流为,87,串联谐振电路主要的特点是,（3）电感电流与电容电流大小相等相位相反，之和 为零补偿，电路总电流等于电阻电流。,（4）谐振时电感电流与总电流之比称为品质因数，用Q表示（前面用同样的符号Q表示了无功功率）,注意：电感电流与电容电流有可能远远大于电源电流。,例 图6-34为并联谐振电路，试计算其谐振频率。,图6-34,解：图中电流,88,图6-34,解：图中电流,并联谐振时电流与电压同相位，上式中虚部等于零，即,89,图6-34,并联谐振时电流与电压同相位，上式中虚部等于零，即,解出谐振角频率,谐振频率,90,6.8 非正弦周期电流电路,6.8.1 非正弦量的谐波分析,在生产和科学实践中经常遇到非正弦电压与电流。产生非正弦电压与电流的原因有两个，一个是电源或信号源本身就是非正弦的；另一个是电路中有非线性元件，如铁心线圈、整流电路等。,由数学知识可知，一个非正弦周期函数，可以分解为直流分量和一系列不同频率的正弦分量之和，即展成傅立叶级数。,91,同频率的正弦量与余弦量之和可以合并，上面的傅立叶级数还可以写成,其中A0称为直流分量；AKmsin(Kt+K)是第K次谐波;K=1时是与原非正弦周期函数同频率的正弦波，称为基波;K=2时称为2次谐波，K2时统称为高次谐波。,从展开式中可以看到，谐波次数越高，其幅值越小。所以工程上常取前几项之和而忽略其余的高次项。当然，所取的谐波项数越多，其和与原非正弦周期函数的值就越接近。,92,6.8.2 非正弦周期量的有效值和功率,(一）有效值,根据交变电压和电流有效值的公式,可以推出非正弦周期电压与电流的有效值分别为,上式表明，非正弦电压或电流的有效值等于其各个分量有效值平方和的平方根。,93,6.8.3 非正弦周期电流电路的计算,(二）功率,非正弦周期电压 u 或电流 i 既然可以用傅立叶级数分解，那么它作用于线性电路时，电路中的各个响应就可以应用叠加原理进行计算。下面通过例题来说明计算过程。,例6-16 图6-36（a)所示电路中，已知R1=10,L=0.05H，C=50106 F。电源电压为,94,例6-16 图6-36（a)所示电路中，已知R1=10,L=0.05H，C=50106 F。电源电压为,解：非正弦周期电压由3个分量组成，可以看作3个独立的电源u0、u1和 u3串联起来共同作用于电路，见图(b)所示。,95,1、直流分量 u0单独作用时，其等效电路见下图(a)。对于直流电压的作用，电感元件相当于短路，电容元件相当于断路。故电流i的直流分量为,i0=0 I0=0,2、在基波 u1单独作用时，其等效电路见下图(b)。用相量法进行计算,96,2、在基波 u1单独作用时，其等效电路见左图(b)。用相量法进行计算,97,2、当3次谐波 u3单独作用时，其等效电路见左图(c)。用相量法进行计算。注意由于与基波频率不同，所以电感与电容表现出来的阻抗与基波不同,98,4、应用叠加原理求电路电流的瞬时值,按式（6-52）,电流的有效值为,99,6.9 三相交流电路,6.9.1 三相电源,三相电源是由三个同频率、等振幅而相位依次相差120的正弦电压源组成。各电压源电压分别为uA、uB和uC，称为 A 相、B 相和 C 相的电压，如图(a)所示。其中A、B、C 称为该相的始端，X、Y、Z 称为末端。若以 A相为参考相量,它们的瞬时值表示式分别为,uA=Um sintuB=Um sin(t-120)uC=Um sin(t-240)=Um sin(t+120),图(a),100,它们的相量形式为 A=U0 B=U-120 C=U-240=U120相量图见图（b）,6.9.2 三相电源的连接方式,低压三相电力系统大多采用左图的三相四线制接法。,A、B、C 三条线称为端线或相线，俗成火线。N称为中线或零线。,101,（1）每条相线与中线之间的电压称为相电压UP。可以看出 AN=A=U0 BN=B=U-120 CN=C=U-240=U120,(2)每两条相线之间的电压称为线电压，用Ul 表示。由上图的到,AB=AN BN=U0 U-120,由复数运算或者几何关系都可以得到,102,由复数运算或者几何关系都可以得到,可以看到，线电压的有效值Ul 与相电压有效值Up 之间,一组电压220V的三相电源接成三相四线制，其相电压Up=220V，其线电压Ul=380V。,103,6.9.3 三相交流电路的负载,（一）三相四线制系统的不对称负载,三相四线制系统中，负载一般联接在三相当中的某一相上。日常使用的单项交流电源就是这三相四线制系统中的一相。每个负载上的电压都是相电压，每个负载的电流都可以单独进行计算。,例 三相四线制电源相电压220V，用交流电压表测量的各个电压，电压表的读数分别是多少？,解答：交流电压表的读数指示的是交流电压的有效值,104,例 三相四线制电源相电压220V，ZCN=10 00，ZCA=10 600。试计算图中两个负载的电流有效值及平均功率。,解：,105,（二）三相对称星形负载,3个同样的负载按图6-42的方式联接，ZAN=ZBN=ZCN，称为三相对称星形负载。当接有中线时，中线电流等于三相电流之和。三相电流有效值相等，相位依次相差1200，其和为零，可见中线上电流为零。,中线上的电流为零就可以不接中线，一般的三相对称星形负载是不接中线的，每相负载的电压就是星形三相电源的相电压。,图6-42,图6-43,106,(三)三相对称三角形负载,3个同样的负载按图6-43的方式联接，ZAB=ZBC=ZCA，称为三相对称三角形负载。每相负载的电压就是三相交流电源的线电压。,图6-43,例6-18 三相四线制交流电源的相电压UP=220V，3个电阻每个为R=200。（1）3个电阻接成星形负载，总的平均功率是多少？（2）3个电阻接成三角形负载，总的平均功率是多少？,解：（1）三相星形对称负载如图6-42所示，每个负载的电压均为UP=220V。总的平均功率为每个负载平均功率的3倍，即,107,解：（1）三相星形对称负载如图6-42所示，每个负载的电压均为UP=220V。总的平均功率为每个负载平均功率的3倍，即,（2）三相对称三角形负载如图6-43所示，每个负载的电压均为电源的线电压,总的平均功率为每个负载平均功率的3倍，即,