正交变换与正交矩阵.ppt

2023/9/12,1,7 正交变换与正交矩阵,正交变换的定义正交变换的性质旋转变换与镜像变换正交矩阵正交矩阵的分解,2023/9/12,2,正交变换,恒同变换是正交变换,两个正交变换的乘积仍然是正交变换.,内积不变长度不变,夹角不变,命题 5.1:正交变换把规范正交基变为规范正交基.,证明,证明,2023/9/12,3,旋转变换及其矩阵,2023/9/12,4,镜像变换及其矩阵,2023/9/12,5,正交变换的矩阵,2)矩阵A的列两两互相正交,它的行也两两互相正交,即,2023/9/12,6,正交变换与正交矩阵,证明,2023/9/12,7,二维欧氏空间的正交变换,证明：,分两种情况讨论,2023/9/12,8,Householder矩阵,因此,镜像变换的矩阵为,（Householder矩阵）,求解,求解,2023/9/12,9,正交矩阵的分解,证明:对正交矩阵的阶数采用数学归纳法.,当n=2时,结论成立.,当n=3时,2023/9/12,10,正交矩阵的分解,进一步用归纳法可得结果,2023/9/12,11,命题 5.2的证明,证明:要证明该变换保持内积.,用(1)减去(2)及(3),并利用内积的线性及对称性得,back,2023/9/12,12,命题5.3的证明,证明：,由假设,back,2023/9/12,13,定理 5.4 的证明,证明:,back,2023/9/12,14,例子 5.4 的求解,证明:,单位法方向为,(,),back,2023/9/12,15,例子 5.5 的求解,证明:,只要证明旋转矩阵可以分解成两个Householder矩阵的乘积.,back,