概率论课件第四章随机变量的数字特征.ppt

2023/9/12,1,第四章 随机变量的数字特征,例1 甲,乙两人进行打靶,所射中环数分别记为X1,X2,它们的分布律分别为:X1 8 9 10 X2 8 9 10pk 0.3 0.1 0.6 pk 0.2 0.5 0.3试评定他们射击技术的好坏.,1 随机变量的数学期望,2023/9/12,2,若使两个射手各射N枪，则他们打中的环数大约是：,他们平均射中的环数约为,2023/9/12,3,平均起来甲每枪射中 9.3环，乙射中9.1环，因此甲的技术要好些。,受此问题启发在上式中用概率代替频率引入如下定义：,2023/9/12,4,2023/9/12,5,例2 设X为投掷一颗骰子时出现的点数，则X的分布律为,于是，X的数学期望为,下面计算一些离散型分布的期望值。,1)(0-1)分布 设X服从(0-1)分布，分布律为,PX=1=p,PX=0=q,0p1,q=1-p,X的数学期望为 E(X)=1p+0q=p,2023/9/12,6,2023/9/12,7,2023/9/12,8,2023/9/12,9,连续型随机变量的数学期望：,设f(x)为连续型随机变量X的概率密度，对X的取值区间作一分割，有,2023/9/12,10,下面计算常用连续型变量的数学期望：,则,它恰是区间a,b的中点。,2023/9/12,11,指数分布是最常用的“寿命分布”之一，期望表明值越小，产品平均寿命越长。,2023/9/12,12,2023/9/12,13,因此,柯西分布的数学期望不存在.,2023/9/12,14,随机变量函数的数学期望公式:,2023/9/12,15,说明:1.在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求E(Y)时不必知道Y的分布,只需知道X的分布就可以了.,2.上述定理可以推广到多维r.v.函数.,2023/9/12,16,2023/9/12,17,例7 某商品的市场需求量X服从2000,4000上的均匀分布，每售出一吨挣 3 万元，售不出则每吨需保养费1万元，问应组织多少货源才能使收益最大。,当y=3500时达到最大值，因此组织3500吨货源是最好的决策。,2023/9/12,18,2023/9/12,19,2023/9/12,20,均值的性质:,(1)E(c)=c;(c为常数),说明:i.性质(3)和(4)可以推广到有限个r.v.(X1,X2,Xn)的情况.,(2)E(cX)=cE(X);(c为常数),(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4)设X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y);,(5)|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式),ii.对于“和”,不要求X1,X2,Xn相互独立;对于“积”要求X1,X2,Xn相互独立.,2023/9/12,21,例1.二项分布的均值的计算:,设Xb(n,p),引入r.v.Xi(i=1,2,n),它们是相互独立的且都服从0-1分布:PXi=1=p,PXi=0=q,X表示n次独立重复试验中A发生的次数,Xi表示第i次试验的结果:Xi=1表示A发生,Xi=0表示A不发生,所以,说明:将X分解成数个r.v.之和,然后利用r.v.和的数学期望等于r.v.的数学期望之和来求解.这个方法具有一定的普遍意义.,2023/9/12,22,2023/9/12,23,2023/9/12,24,2.方差,方差描述了r.v.对其数学期望的离散程度,在概率论和数理统计中十分重要.,一、定义,2023/9/12,25,若X为离散型r.v.其分布律为PX=xk=pk,k=1,2,则,2023/9/12,26,在前面例1中,X,Y表示甲乙一次击中的环数,有,可见甲的技术不够“稳定”,乙方差小较“稳定”.,方差的计算公式:,2023/9/12,27,2023/9/12,28,10.设随机变量X具有(0-1)分布,其分布律为 PX=0=1-p,PX=1=p,则,E(X)=0(1-p)+1p=p,故 D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).,E(X2)=02(1-p)+12p=p,下面计算一些常见分布的方差,2023/9/12,30,2023/9/12,31,2023/9/12,32,2023/9/12,33,2023/9/12,34,2023/9/12,35,二、方差的性质:,10 设C是常数,则D(C)=0;,20 设X是r.v.,C是常数,则有 D(CX)=C2D(X);,30 设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有 D(XY)=D(X)+D(Y);,2023/9/12,36,2023/9/12,37,40 D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,即 PX=C=1.,2023/9/12,38,例1 设Xb(n,p),分解X,求其方差D(X).,易知X1,X2,Xn独立同服从(0-1)分布，因此,2023/9/12,39,所以结论成立.,2023/9/12,40,2023/9/12,41,三.切比雪夫(Chebyshev)不等式:,2023/9/12,42,这个估计的精度不高，但具有普遍适用性。,2023/9/12,43,3.协方差和相关系数,展开可得计算公式:Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,由方差性质证明知,对于任意的两个r.v.X和Y,有 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).,2023/9/12,44,协方差的性质:,10 Cov(X,Y)=Cov(Y,X);,20 Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),其 中a1,a2,b1,b2是常数;,30 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);,60|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y);“=”成立当且仅当X与Y之间有严格的线性关系。(Y=aX+b),50 若X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=0.,40 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=D(X),a为常数;,2023/9/12,45,此不等式对应的方程无实根或有二重根,故有,2023/9/12,46,显然，相关系数是标准化了的协方差。,2023/9/12,47,注意：相关系数XY刻划了X,Y之间的线性相关关系,当XY=0时,称X,Y不相关是指它们之间没有线性相关关系.XY=1或-1时，X与Y有严格线性关系。,2023/9/12,48,2023/9/12,49,例1.设(X,Y)服从二维正态分布,求X和Y的相关系数.,2023/9/12,50,由第三章我们曾证明过的一个命题,设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0.知X与Y不相关与X和Y相互独立是等价的.,2023/9/12,51,公式：Cov(aX+bY,cX+dY)=acD(X)+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdD(Y),例2 XN(2003,1),YN(2004,1),且X与Y独立，求3X-Y与X+Y的相关系数。,解：由于X，Y独立，则Cov(3X-Y,X+Y),D(3X-Y)=9D(X)+D(Y)=10,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2,=3D(X)+2Cov(X,Y)-D(Y)=3-1=2,2023/9/12,52,4.矩、协方差矩阵,一.定义:设X和Y是随机变量,显然,E(X),E(Y)为一阶原点矩,D(X),D(Y)为二阶中心矩,XY为二阶混合中心矩.,(1)若E(Xk),k=1,2,存在,则称它为X的k阶原点矩.,(2)若EX-E(X)k,k=1,2,存在,则称它为X的k阶中心矩.,(3)若E(XkYl),k,l=1,2,存在,则称它为X和Y的k+l阶混合矩.,(4)若EX-E(X)kY-E(Y)l,k,l=1,2,存在,则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.,2023/9/12,53,二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩，分别记为,将它们排成矩阵形式,称这个矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵。,二、定义,2023/9/12,54,2023/9/12,55,三.协方差阵的性质:,10 C是对称的;(由协方差的性质Cov(X,Y)=Cov(Y,X),cij=cji可得),20 cii=D(Xi),i=1,2,3,n.,30 cij2 cii cjj,i,j=1,2,n.(由许瓦尔兹不等 式可得),40 C是非负定的,即对任意的n维向量 a=(a1,a2,an)T,都有aTCa0.,|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式),2023/9/12,56,四.n维正态变量:,2023/9/12,57,2.性质:,20 n维r.v.(X1,X2,Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,Xn的任一线性组合 l1X1+l2X2+ln Xn服从一维正态分布.,30 若(X1,X2,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,Yn是Xj(j=1,2,n)的线性函数,则(Y1,Y2,Yn)也服从多维正态分布.,40 若(X1,X2,Xn)服从n维正态分布,则“X1,X2,Xn”相互独立与“X1,X2,Xn”两两不相关是等价的.,10、n维正态变量(X1,X2,Xn)的每一个分量Xi都是正态变量；反之，若X1,X2,Xn都是正态变量，且相互独立，则(X1,X2,Xn)是n维正态变量。,2023/9/12,58,练习,2023/9/12,59,3 将n个编号为1-n的n个球随机放入m个盒子中去(盒子容量不限)，X表示有球的盒子数，求EX,2023/9/12,60,5 当X服从离散分布时，证明契比雪夫不等式。,