概率论第三章浙大江学盛骤.ppt

第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,在某些实际问题中,往往需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述试验的结果,例如某地区对儿童进行抽查身体,测量被抽儿童的身高H和体重W,这里样本空间S=e=某地区的全部儿童,而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量.,1.二维r.v.定义:设E是一个随机试验,样本空间是 S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v.,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维r.v.,注:二维r.v.(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,而且还 依赖于这两个r.v.的相互关系.,如何描述二维r.v.(X,Y)的统计规律?首先可用分布函数.,2.二维r.v.(联合)分布函数:,图2,二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函数F(x)的性质类似.,若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1),图1,3.下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.,(一)二维离散型r.v.,例1.设r.v.X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在1X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.,Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16,X,(二)二维连续型r.v.,注:关于二维r.v.的定义,分布函数及其性质,二维离散型r.v.连续型r.v.等概念不难推广到n(n2)维r.v.的情况.,2.边缘分布,一、边缘分布函数：,二、边缘分布律：,例1(续),Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 pi,X,1/4,1/4,1/4,1/4,25/48,13/48,7/48,3/48,1,三、边缘概率密度:,注:由二维随机变量(X,Y)的概率分布(X,Y的联合分布可唯一地确定X和Y的边缘分布,反之,若已知X,Y的边缘分布,并不一定能确定它们的联合分布.,3.条件分布,一、二维离散型r.v.的情况:,例1.设(X,Y)的分布律为:Y 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 求在X=1时Y的条件分布律.,X,用表格形式表示为:k 0 1 2 PY=k|X=1 2/3 2/9 1/9,例2 一射击手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止,设以X表示首次击中目标进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律和条件分布律.,二、二维连续型r.v.,首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.,进一步可以化为:,进一步可以化为:,例3.设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0 x1)时,数Y在区间(x,1)上随机地取值,求Y的概率密度.,4.相互独立的随机变量,由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量相互独立的概念.,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立.,2.等价定义:,例:设X和Y都服从参数=1的指数分布且相互独立,试求PX+Y1.,3.命题：设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0.,所以:=0.,4.一个重要定理:,设(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互独立,又若h,g是连续函数,则h(x)和g(y)相互独立.,5.边缘分布及相互独立性的概念可以推广到n维r.v.的情况.,5.两个r.v.的函数的分布,(一)和(Z=X+Y)的分布:,已知(X,Y)的联合密度是f(x,y),求Z=X+Y的分布密度.,结论:若X,Y是连续型r.v.且X与Y相互独立,则X+Y也是连续型r.v.且它的密度函数为X与Y的密度函数的卷积.,例1.设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求:Z=X+Y的概率密度.,结论:,(二)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:,设X,Y相互独立,分布函数分别为FX(x)和FY(y).首先求M=max(X,Y)的分布.,推广:设X1,X2,Xn相互独立,分布函数分别为F1(x),F2(x),Fn(x),则M=max(X1,X2,Xn)的分布函数为 FM(z)=F1(z)F2(z)Fn(z)N=min(X1,X2,Xn)的分布函数为FN(z)=1-(1-F1(z)(1-F2(z)(1-Fn(z),特别地,当X1,X2,Xni.i.d.时,设分布函数为F(x),(四)利用“分布函数法”导出两r.v.的和,商等的分布 函数或密度函数的公式,其要点为:,(三)对于离散型r.v.的函数的分布:,设X,Y是离散型r.v.且相互独立,其分布律分别为:PX=i=pi,i=0,1,2,3,PY=j=qj,j=0,1,2,3,求Z=X+Y的分布律.,解:,PZ=i,=PX+Y=i,(X与Y相互独立),于是有:,这就是Z=X+Y的分布律.,例 设X,Y是相互独立的r.v.,分别服从参数为1,2的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为1+2泊松分布.,证明:,已知,由上式知,从而证明Z=X+Y也服泊松分布.,第三章 习题课,一.主要内容：,(1)二维r.v.的分布函数,离散型r.v.的联合 分布,连续型r.v.的联合概率密度.,(2)边缘分布函数;边缘分布律;边缘概率密度.,(3)条件分布律;条件概率密度.,(4)随机变量的相互独立.,(5)两个r.v.函数的分布.,1.设某人从1,2,3,4四个数中依次取出两个数,记X为第一次所取出的数,Y为第二次所取出的数,若第一次取后不放回,求X和Y的联合分布律.,二.练习题:,1.设某人从1,2,3,4四个数中依次取出两个数,记X为第一次所取出的数,Y为第二次所取出的数,若第一次取后不放回,求X和Y的联合分布律.,=PX=iPY=j|X=i,6.设离散型随机变量X与Y的分布列分别为X 0 1 2 Y 0 1pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3且X与Y相互独立,求:(1)Z=X+Y的分布列;(2)(X,Y)的联合分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).,6.设离散型随机变量X与Y的分布列分别为X 0 1 2 Y 0 1pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3且X与Y相互独立,求:(1)Z=X+Y的分布列;(2)(X,Y)的联合分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).,解:Z 0 1 2 3 pk,1/12,PZ=0=PX=0,Y=0=PX=0PY=0=1/6.,1/6,PZ=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=11/24.,11/24,PZ=2=PX=1,Y=1+PX=2,Y=0=7/24.,7/24,PZ=3=PX=2,Y=1=1/12.,(2)Y 0 1 0 1/6 1/3 1 1/8 1/4 2 1/24 1/12,x,(3)M 0 1 2 pk,PM=0=PX=0,Y=0=1/6;,1/6,PM=1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=1/4+1/8+1/3=17/24;,17/24,PM=2=PX=2,Y=0+PX=2,Y=1=1/8;,1/8,(4)N 0 1 pk,PN=0=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1+PX=1,Y=0+PX=2,Y=0=1/6+1/3+1/8+1/24=2/3;,2/3,PN=1=PX=1,Y=1+PX=2,Y=1=1/3,1/3,复习题（三）,第4题,