概率论的基础知识.ppt

,概论论的基础知识,6,目录,第二部分,随机变量及其分布,第一部分,概率基础知识,概率基础知识,事件（一）随机现象1、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。随机现象的特点：随机现象的结果至少有两个；至于哪一个出现，事先人们并不知道。2、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽样单元。3、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为（读Omega）。认识一个随机现象首要就是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。,概率基础知识,事件例一天内进某超市的顾客数:=0,1,2,一顾客在超市购买的商品数:=0,1,2,一顾客在超市排队等候付款的时间:=t:t 0一颗麦穗上长着的麦粒个数:=0,1,2,新产品在未来市场的占有率:=0,1一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间:=t:t 0加工机构轴的直径尺寸:=一罐午餐肉的重量：=Gg,概率基础知识,事件（二）随机事件定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用 大写字母A、B、C 等表示。1、随机事件的特征任一事件A是相应样本空间中的一个子集；当A中某一样本点发生,那么事件A就发生；事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用的语言应是明确无误的；任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是，它对应的事件就是必然事件，仍用表示；任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为（读作fai）。,概率基础知识,事件2、随机事件之间的关系包含：【在一个随机现象中有两个事件A和B，若事件A中的任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或者B包含A，记为A B,或者B A 互不相容：【若事件A与B没有相同样本点，则称事件A与B互不相容。】（互斥）两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容。,概率基础知识,事件相等：【若事件A与B有相同的样本点，则称事件A与B相等，记着A=B】例掷骰子：=1，2，3，4，5，6，设事件A=“等于小于4的数”=1，2，3，4，事件B=“偶数”=2，4，6，显然A与B有相同的样本点2，4，但事件A与B 并不相等。可定义为“若事件A与B有完全相同的样本点，则称事件A与B 相等”若两个事件相当，他们必定互相包含，即A=B，则有A B，A B；反之，若两个事件互相包含，则它们相等。,概率基础知识,事件（三）事件的运算对立事件（又称为互逆事件或逆事件）【在一个随机想象中，是样品空间，A为事件，由在中而不在A中的样本点组成的事件称为A的（互逆事件）。记为（读非A）。】,事件A与B的并（又称为和事件）【由事件A与事件B中所有样本点组成的新事件称为A与B的并，记为AB或A+B。并事件意味着事件A与事件B至少有一个发生。】,概率基础知识,事件（三）事件的运算事件A与B的交（又称为积事件）【由事件A与事件B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为AB，简记为AB。交事件意味着事件A与事件B同时发生。】,事件A对B的差【由在事件A中而不在事件B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为AB。】,概率基础知识,事件,事件运算具有如下性质：1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶律：以上性质都可推广到多个事件运算中去。,概率基础知识,概率,（四）概率 事件发生可能性大小的度量 一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P（A）来表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率越大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。即：P()=0 P()=1,概率基础知识,概率,二、概率的古典定义古典定义用概率的古典定义确定概率方法的要点如下：（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有 n 个样本点；（2）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；（3）若被考察的事件A含有 k个样本点，则事件A的概率定义为：,概率基础知识,概率,乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1*n2种方法。例如：从A城去B城有3条旅游路线，从B城去C城有2条旅游路线，那么，从A城经B城到C城有3 X 2=6 条旅游路线。加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。例如：从A城到B城有三类交通工具，汽车，火车和飞机。汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从A城到B城共有5+3+2=10个班次供旅游选择。可以推广到多个步骤和途径事件。,概率基础知识,概率,概率基础知识,概率,概率基础知识,概率,（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性（1）条件概率与概率的乘法法则条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。条件概率的计算公式为：性质6：（乘法法则）对任意两个随机事件A与B，有 P（AB）=P(B)P（A|B）P(B)0=P(A)P（B|A）P(A)0,概率基础知识,概率,例一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示 从这200个配件中任取一个进行检查，求(1)取出的一个为正品的概率(2)取出的一个为供应商甲的配件的概率(3)取出一个为供应商甲的正品的概率(4)如果取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率,概率基础知识,概率,解：设 A=取出的一个为正品 B=取出的一个为供应商甲供应的配件（1）（2）（3）（4）,概率基础知识,概率,（2）独立性与独立事件的概率 设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，则称事件A与B相互独立。性质7：假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为 性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。,随机变量及其分布,随机变量,1、定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z等表示随机变量，而随机变量的值用小写字母 x、y、z表示。例如，在灯泡寿命试验中，令X为“灯泡寿命”(小时)，则X为一随机变量。X500，X1000，800X1200等表示了不同的随机事件。2、分类：,假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则称此随机变量为离散随机变量。,假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间（a，b），则称此随机变量为连续随机变量。,产品质量特性是表征产品性能的指标，产品性能一般具有随机性，所有质量特性就系一个随机变量,随机变量及其分布,随机变量分布,随机变量及其分布,随机变量分布,随机变量及其分布,随机变量分布,随机变量及其分布,随机变量均值和方差的运算性质,随机变量及其分布,常用离散分布二项分布,1）重复进行 n 次试验；2）n 次试验间相互独立；3）每次试验仅有两个可能结果；4）成功的概率为p，失败的概率为1-p；在上述四个条件下，设x表示n次独立重复试验中成功出现的次数，则有概率密度函数为：这个分布称为二项分布，记为b（n，p）。均值：E(x)=np 方差：Var(x)=np(1-p),随机变量及其分布,常用离散分布二项分布,随机变量及其分布,常用离散分布泊松分布,随机变量及其分布,常用离散分布超几何分布,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,1、正态分布的概率密度函数它的图形是对称的钟形曲线，常称为正态曲线。正态分布有两个参数和，常记为N（，2）。其中为分布的均值（读作miu）为分布的标准差,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,0.9357,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,2、标准正态分布的一些运算公式 P(Ua)=P(U a)=1-(a)(-a)=1-(a)P(a U b)=(b)-(a)P(|U|a)=P(-a U a)=(a)-(-a)=2(a)-1,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,2、标准正态分布的分位数一般说来，对任意介于0与1之间的实数，标准正态分布N（0，1）的分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为，它的右侧面积恰好为1-，用概率的语言来说，U的分位数u 是满足下列等式的实数 P(U u)=,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,2、正态分布的标准转化 某产品的质量特性 X N(16,2),若要求P(12 X 20)0.8，则 最大值应为（）A、u 0.9/4 B、4/u 0.9 C、u 0.9/2 D、2/u 0.9 解：,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,2、正态分布的标准转化产品质量特性的不合格品率的计算1、质量特性 X 的分布，在受控的情况下，常为正态分布；2、产品的规范限，常包括上规范限TU和下规范限TL。产品质量特性的不合格品率为：p=pL+pU,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,计算上下规格限：USL=70+3=73LSL=70-3=67,(1-(2)+(1-(2)=2-2(2),查标准正态分布函数表的(2)=0.9772,随机变量及其分布,常用连续分布均匀分布,均匀分布在两端点a,b之间有一个恒定的概率密度函数，即在（a，b）上概率密度函数是一个常数，见下公式。则称“在区间（a，b）上的均匀分布”其均值、方差为：,随机变量及其分布,常用连续分布均匀分布,例某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30，7:45 等时刻，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5 分钟的概率。解：依题意可知，X U(0,30)，即为使候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10，到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站，则：,随机变量及其分布,常用连续分布指数分布,随机变量及其分布,常用连续分布指数分布,随机变量及其分布,常用连续分布指数分布,随机变量及其分布,常用连续分布指数分布,例：某种热水器首次发生故障的时间T（单位：小时）服从=0.002的指数分布，则其密度函数和分布函数为求该热水器在300500小时内需要维修的概率：解：,随机变量及其分布,中心极限定理,