概率论与数理统计第二讲频率与概率.ppt

教学目的：1.讲解频率与概率的概念，引进概率的三个定义；2.讲解古典概型的计算（一）,简单事件的样本点分析.,教学内容：第一章，1.1、1.4、1.10。,第二讲 频率与概率,概率的定义及计算,历史上概率的三次定义,公理化定义,统计定义,古典定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，,则称 为事件 A 发生的 频率,频率的性质,事件 A,B互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,投一枚硬币观察正面向上的次数,n=4040,nH=2048,f n(H)=0.5069,n=12000,nH=6019,f n(H)=0.5016,n=24000,nH=12012,f n(H)=0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰(Buffon)投币,皮尔森(Pearson)投币,例 Dewey G.统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率,发现各字母出现 的频率不同：,A:0.0788 B:0.0156 C:0.0268 D:0.0389E:0.1268 F:0.0256 G:0.0187 H:0.0573I:0.0707 J:0.0010 K:0.0060 L:0.0394M:0.0244 N:0.0706 O:0.0776 P:0.0186Q:0.0009 R:0.0594 S:0.0634 T:0.0987U:0.0280 V:0.0102 W:0.0214 X:0.0016Y:0.0202 Z:0.0006,频 率 的 应 用,第五章指出:当试验次数较大时有,事件发生的概 率,事件发生的频 率,根据如下百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率,近百年世界重大地震,1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4 2 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万,“重大”的标准,震级 7 级左右,死亡 5000人以上,1948.06.28 日本福井地区 7.3 0.51 万1970.01.05 中国云南 7.7 1 万1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2 1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5 1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万2003.12.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万,世界每年发生大地震概率约为14%,概率的统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越,小,则称 p 为事件 A 的概率,记作 P(A).,优点：直观 易懂,设 是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P(A),称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：,概率的公理化定义,非负性：,归一性：,概率的性质,若,对任意两个事件A,B,有,B,B=AB+(B A),P(B)=P(AB)+P(B A),加法公式：对任意两个事件A,B,有,推广：,一般：,右端共有 项.,例1 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王,解 事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率(2)至少有一类问题能答出的概率(3)两类问题都答不出的概率,(2),(3),课后同学问：,例1 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.为什么不是？,若是的话,则应有,而现在题中并未给出这一条件.,在1.4中将告诉我们上述等式成立的,条件是：事件 相互独立.,例2 设A,B满足 P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得,最小值,最大值,最大值在 时取得,课上有同学提问,最小值是否正确？,例2 中回答当 时,取得,这相当于问如下命题是否成立,答：不成立！,式是“羊肉包子打狗”有去路,没回路,为什么呢？学了几何概型便会明白.,设 随机试验E 具有下列特点：,基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,则,概率的古典定义,例3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球（),求其中恰有 k 个（）白球的概率,解（1）不放回情形,E:球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，重复 m 次,:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,又解 E1:球编号,一次取 m 个球,记下颜色,1:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,不放回地逐次取 m 个球,与一次任取 m 个球算得的结果相同.,则,因此,称超几何分布,（2）放回情形,E2:球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复 m 次,2:,记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球,则,称二项分布,解,设(1)(6)的各事件分别为,则,例4的“分房模型”可应用于很多类似场合,信封,信,钥匙,门锁,女舞伴,生日,人,男舞伴,例5“分房模型”的应用,生物系二年级有 n 个人，求至少有两,人生日相同（设为事件A)的概率.,解,为 n 个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，365天为,365只“盒子”,若 n=64，,每个盒子至多有一个球.由例4（6）,28,解,例6 在0,1,2,3,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.,设 A为“能排成首位非零的四位偶数”,四位偶数的末位为偶数,故有 种可能,而前三位数有 种取法,由于首位为零的四,位数有 种取法,所以有利于A发生的取,法共有 种.,解,设 A 表示事件“n 次取到的数字的乘积 能被10整除”,设 A1 表示事件“n 次取到的数字中有偶数”A2表示事件“n 次取到的数字中有5”,A=A1 A2,例7 在1,2,3,9中重复地任取 n()个数,求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.,1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验,使其成为等可能概型.,3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式,将复杂问题简单化.如例7.,2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同,如 例3不放回试验的两种不同设计.一般 越小越好.,若P(A)0.01,则称A为小概率事件.,小概率事件,一次试验中小概率事件一般是不,会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.,小概率原理,(即实际推断原理),例8 区长办公室某一周内曾接待过9次来,访,这些来访都是周三或周日进行的,是否,可以断定接待时间是有规定的？,解 假定办公室每天都接待，则,P(9次来访都在周三、日)=0.0000127,这是小概率事件,一般在一次试验中不会发,发生.现居然发生了,故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的.,作业习题一P.33P.364 5 6 8 9,预习 第一章，1.5、1.6、1.7。,教案提纲,趣味问题,已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,通过做此题 你能发现什么问题？,（此题是1992年考研填空题）,一般会解出,由题设得,另一方面又可得,于是得矛盾,若将条件修改为 P(AC)=P(BC)=1/9便无矛盾,例9 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率,9点,10点,10分钟,几何概型 设样本空间为有限区域,若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比,则样本点落入G内的概率为,例10 两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待空出码头的概率.,解 设船1 到达码头的瞬时为 x,0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y,0 y 24,设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头,用几何概型可以回答例2中提出的“概率为 1 的事件为什么不一定发生?”这一问题.,如图，设试验E 为“随机地向边,长为1 的正方形内投点”事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内”,由于点可能投在正方形的对角线上,所以,事件A未必一定发生.,求,作业 P 34习题一,选做10,11 12,完全可加性,随机地向区间(0,1 投掷一个质点，,令事件 A 为该质点落入区间,事件 Ak 为该质点落入区间,A,附录,排列组合有关知识复习,加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有,种不同的方法,排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列,不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类，第 i 类中有 个相同的元素，,种,种,组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组，不同的分法共有,将15 名同学(含3 名女同学),平均分成三组.求(1)每组有1 名女同学(设为事件A)的概率；(2)3 名女同学同组(设为事件B)的概率,解,（1）,（2）,例11,(类似于教材 P.22 例10),例12 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率,解 设 A 为所求的事件,设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒，i=1,2,3,4,则,由广义加法公式,柯尔莫哥洛夫,(A.H.1903-1987),1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员.为 20 世纪最有影响的俄国数学家.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献.,他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础.,他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括:,20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作;,1933年在概率论的基本概念一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题),30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程;,用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论;,40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;,在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论;,50年代中期开创了研究函数特征的,信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德,的工作解决并深化了希尔伯特第13问题,用较少变量的函数表示较多变量的函数;,60年代后又创立了信息算法理论;,1980年由于它在调和分析,概率论,遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖;,他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括.M.盖尔范德,B.阿诺尔德,.西奈依等人.,他还非常重视基础教育,亲自领导了中学 数学教科书的编写工作.,