概率论与数理统计第三章方差.ppt
方 差,前面说到评判一批水泥板的质量问题若它们平均承受力较大，比如1000kg，但其中可能有一部分水泥板的承受力在1800kg以上，而另一部分的承受力不足200kg这批水泥板的承受力与平均值1000kg的偏离程度较大，质量不稳定、较差，不能被用于建造房屋，否则会发生事故那么，我们该用什么量去衡量这个偏离程度呢？对于随机变量X，虽然量E|XE(X)|能度量X与其均值E(X)的偏离程度，但它带有绝对值，运算不方便为了运算方便，通常使用量,来度量X与其均值E(X)的偏离程度,引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：,甲 10,7,9,8,10,6,乙 8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？,解 首先比较平均环数,E(甲)=8.3,E(乙)=8.3,再比较稳定程度,甲：,乙：,乙比甲技术稳定，故乙技术较好.,进一步比较平均偏离平均值的程度,甲,乙,E X-E(X)2,定义 设X是随机变量，若E X E(X)2 存在,则称其为 X 的方差,记为Var(X)或 Var(X)(deviation variance),即 Var(X)=E XE(X)2,Var(X)描述 r.v.X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 数值,若 X 为离散型 r.v.，分布律为,若 X 为连续型r.v.，概率密度为 f(x),例1 设 X 的概率密度如下，求 Var(X),解,由方差的定义知,例2 设 X N(,2),求 Var(X),解 由方差的定义知,令,那么,方差的计算,计算方差的常用公式：,证明：因为,Var(X)=E XE(X)2(由r.v.函数的数学期望)=E X22E(X)X+E(X)2=E(X2)2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)E(X)2,例3设随机变量X具有期望E(X)=，标准差(X)=，记,求证 E(X*)=0,Var(X)=1.,证明 由数学期望的性质，得,标准化变量,设随机变量 X 的期望E(X)、方差Var(X)都存在,且Var(X)0,则称,为 X 的标准化变量.那么,例4 设X P(),求Var(X).,解一,解二,所以,例5 设X U(a,b)，求Var(X).,解 Var(X)=E(X2)-E2(X)=,例6 设X服从参数为的指数分布，求Var(X).,解 因为E(X)=1/.E2(X)=1/2,故,常见随机变量的方差,区间(a,b)上的均匀分布,Exp(),N(,2),1.Var(C)=0,2.Var(aX)=a2Var(X),Var(aX+b)=a2Var(X),3.对任意常数C,Var(X)E(X C)2,当且仅当 C=E(X)时等号成立,4.Var(X)=0,P X=E(X)=1,称为X 依概率 1 等于常数 E(X),性质 1 的证明：,性质 2 的证明：,性质 3 的证明：,当C=E(X)时，显然等号成立；,当C E(X)时，,例6 设随机变量X具有概率密度函数,求E(6X2)和 Var(6X2),解：首先计算X的数学期望,于是,又,从而,利用方差的性质，得,仅知 r.v.的期望与方差并不能确定其分布,与,有相同的期望方差但是分布却不相同,例如,例7 已知 X 服从正态分布,E(X)=1.7,Var(X)=3,Y=1 2 X,求Y 的密度函数.,解,在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.,3.3分位数,定义设X是连续随机变量，0p1若实数 xp满足 F(xp)=PX xp=p,则称xp是X（或X服从的分布）的p分位数或p分位点当 p=0.5时，称x0.5为X的中位数,若用X的概率密度函数f(x)来表达，则有,若XN(,2)，如图下所示，阴影部分面积为,例设随机变量X的概率密度函数为,求X的0.90分位数 x0.90,解X的分布函数,由,解得 x0.90=3ln0.10=3ln10=6.9078,对于标准正态分布XN(0,1)，常用up表示其p分位数根据其概率密度函数的对称性易知 up=u1p，见下图,下面列出了几个常用的标准正态分布的p分位数up的值 它的中位数是0,标准正态分布的p分位数,p分位数表是教材中给出标准正态分布表的逆运算。,分位数在实际问题中是常用的例如，旅客在机场排队领取登机牌，若要求95%的旅客能在15分钟内领到，那么，15就是旅客排队时间（单位为分钟）这一随机变量X的0.95分位数x0.95；又如，在生产车间机器设备发生故障需要维修，若要求90%的故障在30分钟内完成维修，那么，30就是维修时间（单位为分钟）这一随机变量X的0.90分位数x0.90,与数学期望一样，中位数也是描述随机变量的位置特征在实际中，中位数也常用例如，假设某一年上海市就业的大学毕业生当年的月薪金的中位数是2100元，这表明上海市该年大学毕业生中有将近半数人月薪金不高于2100元，另外将近半数人月薪金则不低于2100元 与数学期望相比，中位数总存在，但数学期望不一定存在这是它的优点中位数的缺点是，它没有象数学期望那样好的运算性质,众数定义 设离散随机变量X 的分布律为PX=xk=pk,k=1,2,3,.若存在实数x*,使得对每个k=1,2,3,有PX=x P X=xk,则称x*为X(或X 服从的分布)的众数.(2)设连续随机变量X 的概率密度函数为f(x),若存在实数x*,使得对一切xR 有f(x*)f(x),则称x*为X(或X 服从的分布)的众数.,作业 P82 习题3.2,1，2，3，4,例5 设X B(n,p)，求Var(X).,解一 仿照上例求Var(X)=E(X2)-E2(X)=np(1-p).,解二 引入随机变量,相互独立，,故,例5 已知X,Y 相互独立,且都服从 N(0,0.5),求 E(|X Y|).,解,故,
