概率论与数理统计第三章PPT.ppt
3.4 两个随机变量函数的分布,二维离散型随机变量的函数的分布,二维连续型随机变量的函数的分布,和的分布,商的分布,最小值、最大值的分布,课堂练习、作业,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X,Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?,二维离散型随机变量的函数的分布,是一维离散型随机变量.,其分布律为,则,解 依题意,例1 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为,于是,i=0,1,2,j=0,1,2,的泊松分布.,r=0,1,即Z服从参数为 的泊松分布.,我们还可以证明：如果X与Y相互独立，且X b(n,p)，Y b(m,p)，则 X+Y b(n+m,p).,证明 X+Y 的所有可能取值为 0，1，,m+n.,证毕,二维连续型随机变量的函数的分布,是一维连续型随机变量。,其分布函数为,是连续函数，,其分布密度函数为,则,解,概率密度函数为,所以，分布函数为：,下面我们重点讨论连续型随机变量的三种函数的分布。,设X和Y的联合密度为 f(x,y),求 Z=X+Y 的概率密度.,这里积分区域 D=(x,y):x+y z,解,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线 x+y=z 及其左下方的半平面.,一、的分布,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地，当 X 和 Y 独立，设(X,Y)关于 X,Y 的边缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,例3 设X和Y相互独立，且,解：,只有当,当,时，,U（0,1）,E(1)，,时，,求Z=X+Y的概率密度。,由卷积公式,当,时，,当,时，,例4 若X和Y 是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布 N(0,1),求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷积公式,令,得,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地,可以证明:,相互独立，且,定理3.4.1 设,则,二、商的分布,设X和Y的联合密度为 f(x,y),求,的概率密度函数。,对任意实数Z，有分布函数,所以概率密度为,特别若X，Y相互独立得概率密度为,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和 FY(y),我们来求 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函数.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M=max(X,Y)的分布函数为:,1.M=max(X,Y)的分布函数,即有 FM(z)=FX(z)FY(z),即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2.N=min(X,Y)的分布函数,由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N=min(X,Y)的分布函数为:,设 X1,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i=1,n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,例5 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统 损坏时,系统 开始工作),如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为,其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度.,解,(i)串联的情况,由于当系统 中有一个损坏时,系统 L 就停止工作,所以此时 L 的寿命为,因为 X，Y 的概率密度为,所以 X,Y 的分布函数为,于是 的分布函数为,=1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度为,(ii)并联的情况,由于当且仅当系统 都损坏时,系统 L 才停止工作,所以此时 L 的寿命为,故 的分布函数为,于是 的概率密度为,(iii)备用的情况,因此整个系统 L 的寿命为,由于当系统 损坏时,系统 才开始工作,当 z 0 时,当 z 0 时,当且仅当,即 时,上述积分的被积函数不等于零.,故,于是 的概率密度为,设,相互独立，且分布函数均为,求,的分布函数。,解：,课堂练习,为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域,若 X 和Y 独立,具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷积公式,也即,暂时固定,故,当 或 时,当 时,当,于是,时,作业：,习题册 练习3.4,
