概率论与数理统计第一章(A).ppt

概率论是研究什么的？,概率论与数理统计的研究对象随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,概率论与数理统计,第一章 随机事件及其概率,第一节 随机试验 随机事件第二节 随机事件的概率第三节 条件概率第四节 事件的独立性第五节 伯努利概型,第一节 随机试验 随机事件,一、概率论研究对象:随机现象1.确定性现象(或必然现象)在一定的条件下,必然会出现某种确定的结果.包括肯定出现和肯定不会出现的结果.如在标准大气压下,水烧到100肯定会开;再如石头不会变成小鸡(肯定不会发生,也具有确定性)2.随机现象(或不确定性现象)在一定的条件下,可能会出现各种不同的结果.如抛一枚硬币,观察出现的结果,可能出现正面也可能出现反面朝上.掷一颗均匀的骰子,观察出现的点数,可能会有六种结果.3.随机试验的特点1.可在相同条件下重复进行；2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;3.每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现.随机试验可表示为E,随机试验例子,E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:从一批产品中任意取10件样品,观测其中的次品数；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷两颗骰子，考虑可能出现的点数之和；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重.,随机现象从表面上看,由于人们事先不能知道会出现哪一种结果,似乎是不可捉摸的,其实不然.如抛一枚均匀的硬币我们知道出现哪一面的机会都是一样的(1/2);而掷一颗均匀的骰子,则出现每一种点数的机会均等(1/6).这些结果都是进行大量的重复试验(观察)得来的结果.,二、概率论的研究范畴:样本空间,1.样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为2.样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为,随机试验的样本点与样本空间是由试验的目的决定的.例如连续抛一枚硬币两次,如果观察正面或反面朝上的情况,并用数字1表示正面朝上,数字0表示反面朝上.具体情况如下:,三.随机事件,1.定义 随机试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素.2.两个特殊事件:必然事件、不可能事件例如 对于试验E3，以下A、B、C即为三个随机事件A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000 xT(小时）.,四、事件之间的关系,可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率.还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E3，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生.易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述.,1.包含关系“A发生必导致B发生”记为AB2.事件的相等AB AB且AB.,3.和(并)事件,n个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作,4.积(交)事件A与B同时发生，记作 ABAB,n个事件A1,A2,An同时发生，记作 A1A2An,“事件A与B至少有一个发生”,记作AB,3,4,.差事件AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生(或在A而不在B内),思考：何时A-B=?何时A-B=A？,.对立事件,五、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶(De Morgan)律：,.互斥的事件AB(互不相容事件),第二节 随机事件的概率,从直观上来看,事件A的概率是指事件A发生的可能性的大小,P（A）应具有何种性质？,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？,一.概率的定义,定义:事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).即 fn(A)nA/n.,1 频率与概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等.实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 12012 0.5005,(1)非负性:对于任意事件A,有 0 fn(A)；(2)规范性:fn()1；fn()=0;(3)可加性：若AB，则 fn(AB)fn(A)fn(B).(可推广到有限项),实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值.可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.,2.频率的性质,3.概率,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率的定义方式，作为事件的概率，都应具有上述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A,均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：非负性:P(A)0；规范性:P()1；fn()=0;(3)可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有 P(A1 A2)P(A1)P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率.,二.概率的性质(1)有限可加性：设A1，A2，An,是n个两两互不相容的事件 即AiAj，(ij),i,j1,2,n,则有 P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)+P(An);,(3)事件差 A B是两个事件,则 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2)单调不减性：若事件AB，则P(A)P(B),(4)加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB)特别地,当AB=时,有P(AB)=0,此时可记P(AB)P(A+B)=P(A)P(B)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；如 P(AB C)P(A)P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)(5)互补性：(6)可分性：对任意两事件A、B，有,习作题,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,三 古典概型,1.古典概型的定义(p10)若某随机试验E满足(1)有限性：样本空间(2)等可能性：则称E为古典概型,也叫等可能概型。设事件A 中所含样本点的个数为M,以N 记样本空间中样本点总数，则有,2.例题见课文(p10-p13),四.几何概型,1.几何概型的定义(p14)若随机试验E将一个点随机地投到某一有界区域(可以是直线上的某一区间,也可以是平面或空间内的某一区域)内,而这个随机点落在中任意两个度量(所谓度量是指直线上区间的长度,或者平面内区域的面积,或空间内区域的体积)相等的子区域内的可能性是一样的,则称E为几何概型.对于有度量的有界区域及其任何有度量的子区域A,可定义事件”随机点落在区域A内”的概率为,2.例题见课文(p15),第三节 条件概率,(一)引例,一 条件概率的定义,例1 某家庭有两个小孩,(1)求有一个男孩和一个女孩的概率(2)现已经知道有一个是女孩,求有一个男孩和一个女孩的概率,解(1)=(女,女),(女,男),(男,女),(男,男)事件一男孩一个女孩=(女,男),(男,女)故所求的概率P=1/2.,(2)=(女,女),(女,男),(男,女)事件一男孩一个女孩=(女,男),(男,女)故所求的概率P=2/3.,所求得的两个概率不相同,你能说出其中的原因吗?,例2 袋中有十只球，其中九只白球,一只红球,十人依次 从袋中各取一球(不放回),问第一个人取得红球的概率是 多少？第二个人取得红球的概率是多少？,已知第一个人取到的是白球,则第二个人取到红球的概率是多少？,若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A发生条件下B发生的概率,记作P(B|A),1,2,7,4,5,6,8,9,10,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(二)条件概率的定义例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，(1)求第一次取到红球的概率（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率（4）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;,解 设A=第一次取到红球,B=第二次取到红球,显然有结论:,第(4)小题还可以用缩减样本空间的方法来求解：已知第一次取得红球时,样本空间已经发生改变(缩小)不再是原来的样本空间,显然,若事件A、B是古典概型的样本空间中的两个事件,其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点,则有,为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p16),一般地，设A、B是样本空间中的两个事件，则称,称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.,(三)条件概率的性质（P17),(1)非负性：对任意事件B，有P(BA)0；(2)规范性：对于必然事件，有P(A)1;(3)可列可加性：设B1，B2，,是一列两两互不相容的事件，即BiBj，(ij),i,j1,2,有,可由上述性质推导出其它一些相关性质：,二 条件概率的计算,条件概率的计算方法有两种:方法一 应用缩减的样本空间进行计算;方法二 根据条件概率定义的计算公式进行计算.,例1 从0,1,2,9这十个数中任取一个,设事件B=取得的数为3的倍数,A1=取得的数为偶数,A2=取得的数大于8,A3=取得的数小于8,试求:P(B),P(B/A1),P(B/A2),P(B/A3),并比较它们的大小.,解(1)=0,1,2,9,B=0,3,6,9,P(B)=4/10=2/5,(2)A1=0,2,4,6,8,B=0,6,P(B|A1)=2/5,(3)A2=9,B=9,P(B|A2)=1/1=1,(4)A3=0,1,2,7,B=0,3,6,P(B|A3)=3/8,显然有P(B)=P(B|A1),P(B|A2)P(B),P(B|A3)P(B).,例2 设在10个同一型号的元件中有7 个一等品,从这些元件中不放回地连续取两次,每次取一件,求在第一次取得一等品的条件下,第二次取得一等品的概率.,解 设Ai表示第i次取得一等品(i=1,2).方法一(用条件概率公式求解)因为第一次取出1个一等品后,剩下的9个元件中还有6个一等品,故有,方法二(用缩减的样本空间求解),因为第一次取出1个一等品后,剩下的9个元件中还有6个一等品,故可直接计算如下,例3 为防止意外,在矿井内同时设有两种报警系统A与B,每种系统单独使用时,其有效的概率分别是0.92和0.93,在A失灵的条件下,B有效的概率为0.85,求在B失灵的条件下,A有效的概率.,设A、B,P（A）0,则事件A与B的交的概率 P(AB)P(A)P(B|A)或者P（B）0时,P(AB)P(B)P(A|B)称为事件A、B的概率乘法公式。(P18),上式可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).如何证明?一般地，可推出下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).,三、概率乘法公式,例1 设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件上不放回地连续取三次,每次取一个求:(1)三次都取得一等品的概率;(2)三次中至少有一次取得一等品的概率.,(2)分析:三次中至少有一次取得一等品,包括正好取得一件一等品,正好取得两件一等品和正好取得三件一等品三种情形,直接计算比较烦琐,以下用逆事件求解,即三次都是非一等品,例2 10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回).甲先乙次丙最后,求:(1)甲抽到难签的概率;(2)甲和乙都抽到难签的概率;(3)甲没有抽到而乙抽到难签的概率;(4)甲,乙和丙都抽到难签的概率.,解 设事件AB C分别表示甲乙和丙各抽到难签,于是有,(一)全概率公式,本节先用树图解决一些概率问题,然后再提炼出全概率公式,例1 连续两次掷一枚均匀硬币两次,所有可能的结果有哪些?出现一次正面一次反面的概率是多少?,解 样本空间为=(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)事件A=(正,反),(反,正),故P(A)=2/4=1/2,用树图求解如下,设Ai表示第i次出现正面(i=1,2),正,反,正,反,正,反,P=1/2,P=1/2,P=1/2,P=1/2,P=1/2,P=1/2,第一次,第二次,从右边树图可以看出到达事件A=一正一反有两条路径(加法原理),而每一条路径分为两步(乘法原理),于是所求的概率为,四、树图在概率计算中的应用,例2 在空战中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为0.2;若乙 机未被击落,就进行反击,击落甲机的概率为0.3;若甲机未被 击落,则继续攻击乙机,击落乙机的概率为0.4;求在这几个回 合的较量中:(1)甲机被击落的概率;(2)乙机被击落的概率.,乙机落,乙机未落,甲机落,甲机未落,乙机落,乙机未落,第一回合,第二回合,第三回合,定义(P19)设试验E的样本空间为，事件A1，A2，An(n可为)两两互不相容，且 则称A1，A2，An为样本空间的一个（有限）分割或完全事件组.,定理 设A1，,An是的一个分割，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B 有 则这个公式称为全概率公式.,在全概率公式中,条件 可改为,例3 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球在手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1 从甲袋放入乙袋的是白球;A2 从甲袋放入乙袋的是红球;B 从乙袋中任取一球是红球;则,第一种可能,第二种可能,例1:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品率分别为 2、1、3,现有某消费者从市场上购得该品牌产品而且是次品,问这件次品最有可能是哪个工厂的产品?,先求总的次品率,(二)贝叶斯公式,例2 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解 设B表示从一箱中任取4只检查,结果都是好的.A0,A1,A2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,定理(P20)设A1，,An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B，有,则称该公式为贝叶斯公式.（逆概率公式）,如果事件B是由于在两两互不容的事件A1，,An中某一个发生的情况下而发生的,并且知道各个事件Ai发生的概率P(Ai)以及在事件Ai已经发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|Ai)(i=1，2，n)，把事件A1，,An看作是导致事件B发生的原因，P(Ai)称为先验概率，如果事件B发生了，则这一信息将有助于探讨事件B发生的原因.条件概率P(Ai|B)(i=1,2,n)称为后验概率.,条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,第四节 事件的独立性,引例 设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件中有放回地连续取二次,每次取一个,求:第二次都取得一等品的概率.,定义(P22)设A、B是同一试验E的两个事件，P(A)0,若P(B)P(B|A)即P(AB)P(A)P(B)则称事件A与B是相互独立。,一、两事件独立,以下四件事等价：(1)事件 相互独立；(2)事件 相互独立；(3)事件 相互独立；(4)事件 相互独立。,思考题:互不相容事件和独立事件有关系吗?,二、多个事件的独立,(一)多个事件两两独立,例2 一均匀正八面体,其第1,2,3,4面染红色,第1,2,3,5面染白色,第1,6,7,8面染黑色,以A、B、C分别表示投一次正八面体出现红、白、黑事件,则有,(二)多个事件的独立性的定义,定义 若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足：(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立.,定义(p24)若n个事件A1,A2,An(n3),若其中任意k个事件,例4 设事件A、B、C、D相互独立则,加法公式,独立性的定义,提取公因子,加法公式,三、应用独立性计算概率,1.应用公式计算概率,例1 一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性,一个系统能正常工作的概率称为这个系统的可靠性.设一个系统由四个元件按右图组成,各个元件能否正常工作是相互独立的,且每个元件的可靠性都等于p(0p1),求这个系统的可靠性。,2.独立性在可靠性理论上的应用,解 设Ai表示第i个元件能正常工作(i=1,2,3,4),事件A表示系统LR能正常工作，则有,加法公式,德摩根定律,第五节 伯努利概型,一.伯努利概型的特点(P25)1.重复:试验重复进行n次;2.独立:每次试验是独立的,即每次试验结果出现的概率 不依赖于其它各次试验的结果.3.每次试验的结果只有两个,即事件A出现或是不出现.,二.伯努利概型的计算 事件A在n次独立试验中恰好出现(发生)k次的概率.定理 在伯努利概型中,设事件A在每次试验中发生的概率为P(A)=p(0p1),则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为,定理的解释:先看比较简单的试验,试验共进行3次,求在这3次试验中事件A正好发生2次的概率.,事件A在3次试验中出现2次的可能情况如下:,试验,概率,第一次,第二次,第三次,乘法原理,第一次,第二次,第三次,第一次,第二次,第三次,三.常见题型,另解,概率很小的随机事件在一次试验中实际上是几乎不发生的,这一原理叫做小概率事件的实际不可能性原理,又称为实际推断原理,它有着广泛的应用.,例5 设在独立重复试验中每次试验成功的概率为0.5,问需要进行多少次试验,才能使至少成功一次的概率不小于0.9?,解 设需要进行 n 次独立重复试验,则在试验中至少成功一次的概率为 1-Pn(0)=1-(1-0.5)n由条件1-(1-0.5)n0.9,可解得n1/(lg2)3.3所以 n=4,即需要 4 次试验,才能使至少成功一次的概率不小于 0.9.,