概率论与数理统计浙大四版第二章3讲.ppt
第四节,连续型随机变量,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,1.连续型r.v及其密度函数的定义,定义：若对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负实函数f(x),使得对任意的实数x,都有 则称X为连续型随机变量，f(x)称为随机变量X的概率密度函数（Probability Density Function）。,1 o,2 o,这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.,故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.,3.对 f(x)的进一步理解:,要注意的是，密度函数 f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,若不计高阶无穷小，有：,它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于.,连续型r.v取任一指定值的概率为0.,即：,a为任一指定值,这是因为,需要指出的是:,由此得，,1)对连续型 r.v X,有,2)由P(X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,并非必然事件,称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.,可见，,由P(A)=0,不能推出,由P(B)=1,不能推出 B=S,解,例1,3、连续型 r.v的分布函数,即分布函数是密度函数的可变上限的定积分.,由上式可得，在 f(x)的连续点，,下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数.,F(x)=P(X x)=,解：,求 F(x).,解：对x-1，F(x)=0,对,对 x1，F(x)=1,即,大家一起来作下面的练习.,求 F(x).,设,由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.,对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出 f(x)，请看下例.,即,例3 设r.vX的分布函数为,(1)求X取值在区间(0.3,0.7)的概率；(2)求X的概率密度.,解:(1)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3),=0.72-0.32=0.4,(2)f(x)=,注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 没意义的点处，任意规定 的值.,下面给出几个常用连续型r.v的例子.,（1）若 r.vX的概率密度为：,则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：,X U(a,b),它的实际背景是：r.v X 取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则 X 具有(a,b)上的均匀分布.,分布函数,公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；,例4 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意，X U(0,30),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,例5 设随机变量 X 在 2,5 上服从均匀分布,现对 X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3 的概率.,X 的分布密度函数为,设 A 表示“X 的观测值大于 3”,解,即 A=X 3.,因而有,设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则,区间(0,1)上的均匀分布U(0,1)在计算机模拟中起着重要的作用.,实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从(0,1)上均匀分布的随机数.它是由一种迭代过程产生的.,严格地说，计算机中产生的U(0,1)随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为伪随机数.,如取n足够大，独立产生n个U(0,1)随机数，则从用这 n 个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于(0,1)上的均匀分布U(0,1).,2.指数分布,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,分布函数,例6 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为=2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.,X 的分布函数为,解,指数分布的重要性质:“无记忆性”.,至此，我们已初步介绍了两类重要的随机变量:离散型r.v和连续型r.v,对它们分别用概率函数和密度函数描述.,下节课我们学习最重要的连续型随机变量：正态分布.,作业,由上述可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题,例 2,某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.,解：设 A=某元件在使用的前 150 小时内需要更换,例 2（续）,检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元件数，,故所求概率为,四色猜想,四色猜想是世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这是一个拓扑学问题。,1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。,1878年肯普和泰勒宣布证明了此定理，11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。,1976年，在J.Koch的算法的支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明（打字约900页）。四色猜想的计算机证明，轰动了世界，开辟了机器证明的美好前景。,
