概率论与数理统计浙大四版第二章5讲.ppt

第五讲,随机变量函数的分布,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.,求截面面积 A=的分布.,例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.,已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布，,求功率 W=V2/R(R为电阻）的分布等.,设随机变量X 的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面进行讨论.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,二、离散型随机变量函数的分布,解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13，,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.,故,如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.,一般，若X是离散型 r.v，X的概率函数为,则 Y=X2 的概率函数为：,三、连续型随机变量函数的分布,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,FY(y)=P Y y=P(2X+8 y),=P X=FX(),于是Y 的密度函数,本例用到变限的定积分的求导公式,故,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16时，,此时,Y=2X+8,求导可得,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，,解：设Y和X的分布函数分别为 和，,若,则 Y=X2 的概率密度为：,从上述两例中可以看到，在求P(Yy)的过程中，关键的一步是设法从 g(X)y 中解出X,从而得到与 g(X)y 等价的X的不等式.,用 代替 X2 y,这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.,练习：设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,练习：设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当 y 0时,当 y 1时,故,解：注意到,=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X）,解：当0y1时,练习 设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当0y1时,解：,=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X）,而,求导得:,例4 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数 F-1 存在且严格递增.,证明:设Y的分布函数是G(y),于是,对y1,G(y)=1;,对y0,G(y)=0;,由于,对0y1,G(y)=P(Y y),=P(F(X)y),=P(X(y),=F(y)=y,即Y的分布函数是,求导得Y的密度函数,可见,Y 服从0，1上的均匀分布.,本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.,其中，,此定理的证明与前面的解题思路类似.,x=h(y)是y=g(x)的反函数,定理 设 X是一个取值于区间a,b，具有概率密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有 或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为,下面我们用这个定理来解一个例题.,例 5,对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件 g(X)y 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P g(X)y.重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的概率密度。,这一讲我们介绍了随机变量函数的分布.,本章要求：,1 会用随机变量表示随机事件。2 理解分布函数的定义及性质，要会利用分布函数表示事件的概率。3 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质，会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。,4 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀 分布、指数分布和正态分布。5 会求随机变量的简单函数的分布。,练习,测量某目标的距离时，误差X（m），且知XN(20,1600),求三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30m的概率.设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求 Y=-2lnX的概率密度.,例7证:X 的概率密度为由定理的结论得：,例6 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在区间(0,1)上,函数lnx0,故 y=-2lnx0,于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数,由前述定理得,注意取绝对值,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,