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前面，我们讨论了参数的点估计,它是用样本算得的一个估计值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，这是点估计的一个缺陷。下面我们将介绍的区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.,6.5 区间估计,1,6.5.1 区间估计的概念,定义 设 是总体的一个参数，其参数空间为，x1,x2,xn是来自该总体的样本，对给定的一个(0 1)，若有两个统计量 和，若对任意的，有（）,2,则称随机区间 为 的置信水平为1-的置信区间，或简称 是 的1-置信区间.和 分别称为 的（双侧）置信下限和置信上限.,这里置信水平1-的含义是指在大量使用该置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有。,3,例 设x1,x2,x10是来自N(,2)的样本，则 的置信水平为1-的置信区间为 其中，、s 分别为样本均值和样本标准差。这个置信区间的由来将在节中说明，这里用它来说明置信区间的含义。若取=0.10，则t0.95(9)=1.8331，上式化为,4,现假定=15,2=4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.95 13.37 16.29 12.38 由该样本可以算得 从而得到 的一个区间估计为 该区间包含 的真值15。现重复这样的方法100次，可以得到100个样本，也就得到100个区 间，我们将这100个区间画在图上。,5,由图可以看出，这100个区间中有91个包含参数真值15，另外9个不包含参数真值。,图6.5.1 的置信水平为0.90的置信区间,6,取=0.50，我们也可以给出100个这样的区间，见图。可以看出，这100个区间中有50个包含参数真值15，另外50个不包含参数真值。,图6.5.2 的置信水平为0.50的置信区间,7,定义 沿用定义的记号，如对给定的(0 1)，对任意的，有（）称 为 的1-同等置信区间。,8,定义 若对给定的(0 1)和任意的，有，则称 为 的置信水平为1-的（单侧）置信下限。假如等号对一切成立，则称 为 的1-同等置信下限。若对给定的(0 1)和任意的，有,则称 为 的置信水平为1-的（单侧）置信上限。若等号对一切成立，则称 为1-同等置信上限。单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。,9,构造未知参数 的置信区间的最常用的方法是枢轴量法，其步骤可以概括为如下三步：1.设法构造一个样本和 的函数 G=G(x1,x2,xn,)使得G的分布不依赖于未知参数。一般称具有这种性质的G为枢轴量。2.适当地选择两个常数c,d，使对给定的(0 1)有P(cGd)=1-3.假如能将cG d 进行不等式等价变形化为 则，是 的1-同等置信区间。,6.5.2 枢轴量法,10,关于置信区间的构造有两点说明：,满足置信度要求的c与d通常不唯一。若有可能，应选平均长度 达到最短的c与d，这在G的分布为对称分布场合通常容易实现。实际中，选平均长度 尽可能短的c与d，这往往很难实现，因此，常这样选择 c与d，使得两个尾部概率各为/2，即P(Gd)=/2，这样的置信区间称为等尾置信区间。这是在G的分布为偏态分布场合常采用的方法。,11,一、已知时 的置信区间 在这种情况下，枢轴量可选为，c和d应满足P(cGd)=(d)-(c)=1-，经过不等式变形可得 该区间长度为。当d=-c=u1-/2时，d-c达到最小，由此给出了的同等置信区间为，。（）这是一个以 为中心，半径为 的对称区间，常 将之表示为。,6.5.3 单个正态总体参数的置信区间,12,例 用天平秤某物体的重量9次，得平均值为（克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为0.1克。试求该物体重量的0.95置信区间。解：此处1-=0.95，=0.05，查表知u0.975=1.96，于是该物体重量 的0.95置信区间为，从而该物体重量的0.95置信区间为 15.3347，15.4653。,13,例 设总体为正态分布N(,1)，为得到 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？解：由题设条件知 的0.95置信区间为 其区间长度为，它仅依赖于样本容量n而与样本具体取值无关。现要求，立即有n(2/1.2)2u21-/2.现1-=0.95，故u1-/2=1.96，从而n(5/3)2 1.962=10.6711。即样本容量至少为11时才能使得 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2。,14,二、2未知时 的置信区间,这时可用t 统计量，因为，因此 t 可以用来作为枢轴量。完全类似于上一小节，可得到 的1-置信区间为 此处 是 2的无偏估计。,15,例 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有=4.7092，s2=0.0615。取=0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）,16,在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的置信下限。由于 由不等式变形可知 的1-置信下限为 将t0.95(11)=1.7959代入计算可得平均寿命 的0.95置信下限为4.5806（万公里）。,17,三、2的置信区间,取枢轴量，由于 2分布是偏态分布，寻找平均长度最短区间很难实现，一般都用等尾置信区间：采用 2的两个分位数 2/2(n-1)和21-/2(n-1)，在 2分布两侧各截面积为/2的部分，使得 由此给出 2的1-置信区间为,18,例 某厂生产的零件重量服从正态分布N(,2)，现从该厂生产的零件中抽取9个，测得其重量为（单位：克）45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6 试求总体标准差 的0.95置信区间。解：由数据可算得 s2=0.0325，(n-1)s2=80325=0.26.查表知 2 0.025(8)=2.1797，20.975(8)=17.5345，代入可得 2的0.95置信区间为 从而 的0.95置信区间为:0.1218，0.3454。,19,在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。一个典型的例子是关于比例p 的置信区间。,6.5.4 大样本置信区间,设x1,xn是来自b(1,p)的样本,有 对给定，通过变形，可得到置信区间为 其中记=u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为,例 对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p 的0.95置信区间。解：此处n=120，=36/120=0.3 而u0.975=1.96，于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为 故所求的置信区间为 0.218，0.382,例 某传媒公司欲调查电视台某综艺节目收视率p，为使得 p 的1-置信区间长度不超过d0，问应调查多少用户？,解：这是关于二点分布比例p的置信区间问题，由（）知，1-的置信区间长度为 这是一个随机变量，但由于，所以对任意的观测值有。这也就是说p的1-的置信区间长度不会超过。现要求p的的置信区间长度不超过d0，只需要 即可，从而（）,这是一类常见的寻求样本量的问题。比如，若取d0=0.04，=0.05，则。这表明，要使综艺节目收视率p的0.95置信区间的长度不超过0.04，则需要对2401个用户作调查。,设x1,xm是来自N(1,12)的样本，y1,yn是来自N(2,22)的样本，且两个样本相互独立。与 分别是它们的样本均值，和 分别是它们的样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。,6.5.5 两个正态总体下的置信区间,一、1-2的置信区间,1、12和 22已知时的两样本u区间 2、12=22=2未知时的两样本t区间,3、22/12=已知时的两样本t区间,4、当m和n都很大时的近似置信区间 5、一般情况下的近似置信区间 其中,例 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙品种的10块试验田的亩产量（单位：千克/亩）分别为：甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间.(=0.05）。,解：以x1,x8记甲品种的亩产量，y1,y10记乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到=569.3750，sx2=2140.5536，m=8=487.0000，sy2=3256.2222，n=10 下面分两种情况讨论。,(1)若已知两个品种亩产量的标准差相同，则可采用两样本t区间。此处 故1-2的0.95置信区间为,(2)若两个品种亩产量的方差不等，则可采用近 似 t 区间。此处 s02=2110.5536/8+3256.2222/10=589.4414，s0=24.2784 于是1-2的0.95近似置信区间为 31.3685，133.3815,二、12/22的置信区间 由于(m-1)sx2/12 2(m-1),(n-1)sy2/22 2(n-1)，且sx2与sy2相互独立，故可仿照F变量构造如下枢轴量,对给定的1-，由 经不等式变形即给出 12/22的如下的置信区间,例 某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产品中分别检查了5个和6个套筒，得其直径数据如下（单位：厘米）：甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.07 乙班：4.98 5.03 4.97 4.99 5.02 4.95 试求两班加工套筒直径的方差比 甲2/乙2的0.95置信区间。解：由数据算得sx2=0.00037,sx2=0.00092，故置信区间0.0544，3.7657,