概率论与数理统计(V).ppt

概率论与数理统计,概率论是研究随机现象的统计规律的一门学科特点：研究对象的不确定性,第一章 随机事件的概率,样本空间一个随机试验的所有可能结果组成的集合，记为。其中每一个元素，即每次试验结果称为一个样本点。,第一章 随机事件的概率,随机试验E 的样本空间 的子集，称为E的随机事件，或事件，用大写字母A，B，C,表示 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。样本空间有两个特殊子集：必然事件，和不可能事件,随机事件,随机试验 E试验结果的多种可能性，事先知道结果的不能预测性,例如E1 抛硬币试验E2 连抛两个硬币E4 进入超市的人数E5 测试电视机寿命E6 观测天气,第一章 随机事件的概率,第一章 随机事件的概率,事件间的关系和运算,运算规律,交换律结合律分配律对偶律,第一章 随机事件的概率,第一章 随机事件的概率,例1.设A，B，C是随机事件，则事件“A 与 B 发生，C 不发生”“A，B，C 至少两个发生”“A，B，C 恰好两个发生”“A，B，C 不多于一个事件发生”例2.用集合表示下面随机试验中的样本空间与随机事件A抛骰子试验，A=“出现偶数点”事件射击活动，当击中后便停止开枪。事件 A=“不超过3次的射击次数”某地温度上下限为T0 到T1，一昼夜可能出现的最高最低气温表示为(x,y)；事件 A=“一昼夜内该地的温差为 10”,例题,第一章 随机事件的概率,概率 一次试验中事件 A 发生的可能性，成为事件A的概率，记为 P(A)。,概率的计算（1）古典概型:事件A包含的基本事件数/样本空间中的事件数 P(A)=nA/n（2）几何概型:事件A的区域面积/样本空间的区域面积 P(A)=SA/S,第一章 随机事件的概率,概率的性质,P()=1,P()=0,0P(A)12.（有限可加性）若A1,A2,A3两两互不相容 P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)3.若A B,则P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)P(A)4.P()=1-P(A)5.（加法公式）对任两个事件 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),第一章 随机事件的概率,例1.P(A)=0.3,P(AB)=0.6;P(B)=?例2.P(A)=P(B)=0.5,求证 P(AB)=P()例3.袋中 4 只白球，2 只黑球，无放回依次摸 2 只球，试求取到两只球：（1）都是白球的概率；（2）同色球的概率（3）至少一只白球的概率例4.n 个球随机放入 N（N n）个盒子中去，求每个盒子至多有一个球的概率，恰有 n 个盒子中各有一个球的概率例5（Buffen投针问题）平行线距离为 a(a 0)，投掷一枚长(L a)的针，求针与平行线相交的概率,例题,1.2.3.,第一章 随机事件的概率,条件概率 A,B两事件，P(A)0，在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率称为条件概率，记为P(B|A),P(B)P(B|A)，由于样本空间不同,一般地 P(B)P(B|A),例如，掷骰子。在掷出偶数点的条件下，掷出2 点的概率,A=掷出 2 点，B=掷出偶数点，,P(A)=1/6，P(A|B)=？,已知事件 B 发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是 B，,P(A|B)=1/3.,B 中共有 3 个元素,它们的出现是等可能的,其中只有 1 个在集 A 中。于是,容易看到,P(A)=3/10，,又如，10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，7 件正品中有 3 件一等品，4 件二等品。现从这 10 件中任取一件，恰是正品，问：它是一等品的概率。记,B=取到正品,A=取到一等品，,则,计算 P(A|B)时，一等品的比例这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件。,这个条件，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,若事件 B 已发生,则为使 A 也发生,试验结果必须是既在 B 中又在 A 中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道 B 已发生,故 B变成了新的样本空间,于是 有(1)。,设 A、B 是两个事件，且 P(B)0,则称(1),2.条件概率的定义,为在事件 B 发生的条件下,事件 A 的发生概率.,3.条件概率的性质(自行验证),例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 6 点,问“掷出点数之和不小于 10”的概率是多少?,解法1,解法2,解：设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在 B 发生后的缩减样本空间中计算,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2),而 P(AB)=P(BA),二、乘法公式,若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)(3),若 P(A)0,则 P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率,例2 甲、乙两厂共同生产 1000 个零件，其中 300 件是乙厂生产的.而在这 300 个零件中，有 189 个是标准件，现从这1000 个零件中任取一个，求这个零件是乙厂生产的标准件的概率？,所求为P(AB).,甲、乙共生产1000 个,189个是标准件,设 B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B).,B 发生,在 P(AB)中作为结果;在 P(A|B)中作为条件.,条件概率 P(A|B)与 P(AB)的区别,条件概率 P(A|B)与 P(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设 A 是随机试验的一个事件，则 P(A)是在该试验条件下事件 A 发生的可能性大小.,P(A)与 P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率 P(A|B)是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A发生的可能性大小,即 P(A|B)仍是概率.,例3 设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为0.8，活到 25 年以上的概率为 0.4.问现年 20 岁的这种动物，它能活到 25 岁以上的概率是多少？,解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4,所求为 P(B|A).,多个事件的乘法公式,设 A，B，C为三个事件，且 P(AB)0，则,乘法公式应用举例,一个罐子中包含 b 个白球和 r 个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,于是 W1W2R3R4 表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解 设 Wi=第i次取出是白球,i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球，j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去,只好用抽签的方法来解决。,5 张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让 5 个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P()4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为第 2 个人抽到入场券，第 1 个人肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，计算得：,由于,由乘法公式,P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第 3 个人要抽到“入场券”，必须第 1、第 2 个人都没有抽到。因此,继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,P(A3)=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,例4 设袋中有 5 个红球，3 个黑球，2 个白球，试按（1）有放回抽样；（2）不放回抽样两种方式摸球三次每次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率。,解：设 A=第一次未摸得白球；B=第二次未摸得白球；C=第三次未摸得白球；则，事件“第三次才摸得白球”可表为 ABC。,（1）有放回抽样,（2）不放回抽样,例6 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下打破的概率为 0.5，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是 0.7，若前两次均未打破，第三次落下打破的概率为 0.9。试求透镜落下三次未打破的概率。,解：设 Ai=透镜第 i 次落下打破，i=1,2,3,B=透镜落下三次未打破，则,另解：,第一章 随机事件的概率,例2100 件产品中，有 5 件废品。不放回抽样检查，若抽查 5 件至少有一件废品，则拒购这批产品，求拒购概率。,例1.10个球，3 黑 7 白，不放回连取两球：若第一次是黑球，第二次仍是黑球的概率；若第二次是黑球，第一次也是黑球的概率。,第一章 随机事件的概率,例题,第一车间的次品率为 0.15，第二车间的次品率为 0.12。两车间的产品分别有 2000 件和 3000 件，混放在仓库里，问：在仓库里随机取一件成品，其次品率是多少？若取到一件次品，由一车间生产的概率是多少？,从仓库里随机取一件成品：设事件 A1，A2 分别为一、二车间生产的产品；事件 B 为该产品是次品。第一车间的产品占 P(A1)=0.15，次品率 P(B|A1)=0.4，第二车间的产品占 P(A2)=0.12，次品率 P(B|A2)=0.6.第一问求 P(B)，第二问求 P(A1|B).,第一章 随机事件的概率,全概率公式,设事件 A1,A2 互不相容，P(A1)0，P(A2)0，且 B A1A2，则对事件 B 有:P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),P(B)=P(BA1)+P(BA2)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概率.于是先将复杂的事件 B 分解为较简单的事件 AB 与AB;再将加法法则与乘法法则结合起来,计算出需要求的概率.把这个想法一般化,得到全概率定理,又称全概率公式.,全概率定理的图形理解,如图所示,事件B的面积为B与各个事件Ai相交的面积之和.,全概率定理解题的思路,用全概率定理来解题的思路，从试验的角度考虑问题，一定是将试验分为两步做，将第一步试验的各个结果划分为一些完备事件组（互不相容，又不遗漏）A1,A2,An 然后在这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件概率；最后用全概率公式综合。全概率的精神在于把复合事件分解为简单事件。,例 有 12 个乒乓球都是新球,每次比赛时取出 3 个用完后放回,求第3 次比赛时取到的 3 个球都是新球的概率。,因为一开始都是新球,因此第一次只能取到 3 个新球，当第二次取球的时候,12 个乒乓球中必然有 3 个旧球。假设 B0,B1,B2,B3 为第二次取到 0 个,1 个,2 个 3 个新球,而 B0,B1,B2,B3 构成完备事件组，并能够求出它们的概率。再假设 C3 为第三次取到 3 个新球的事件，则针对 C3 使用全概率公式。,解：,第一章 随机事件的概率,贝叶斯公式,设事件 A1,A2 互不相容，P(A1)0，P(A2)0，且B A1A2，则有,（逆概率公式）,_,P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),P(A1)P(B|A1),后验概率,先验概率,P(A1|B)=,贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样,只是要求的是一个条件概率,是在信息论中的重要公式,即在二次试验后,观察者只能看到最后的结果事件 B,却要根据 B来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率,贝叶斯定理解题的思路,第一章 随机事件的概率,例题 诊断肝癌问题 已知肝癌患者0.95能被诊断出来，非肝癌患者0.98会被排除有病，而肝癌患者约占0.004。问：诊断出患有肝癌的人中确有肝癌的概率是多少？,设 C=“的确患有肝癌”，A=“诊断有肝癌”。则 P(A|C)=0.95,P(A|C)=0.98,P(C)=0.004P(A)=P(A|C)*P(C)+P(A|C)*P(C)=0.95*0.004+0.02*0.996=0.02372P(C|A)=P(A|C)P(C)/P(A)=0.95*0.004/0.02372=0.16,在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中,关键的一步是要使用一完备事件组，而最常用的完备事件组，是一事件 A 与它的逆 A 构成的完备事件组，这时的全概率与贝叶斯公式为,(应在考试前专门将它们记住).,1987年理工科硕士入学考试题,有两个箱子,第一个箱子有 3 个白球 2 个红球,第二个箱子有 4 个白球 4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2 个箱子中取 1 个球,此球是白球的概率为_,已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第 1 个箱子中取出的球是白球的概率为_.,解 假设事件A为从第1个箱子取出的是白球,B为从第2个箱子取出的是白球,第一步试验中的 A 与A 构成完备事件组,则,1999年MBA试题,(A)0.5626(B)0.5(C)0.45(D)0.375(E)0.225,甲盒内有红球 4 只,黑球 2 只,白球 2 只;乙盒内有红球 5 只,黑球 3 只;丙盒内有黑球 2 只,白球 2 只,从这 3 只盒的任意一只中取出 1 只球,它是红球的概率是(),解 假设A1,A2,A3为取到甲,乙,丙盒的事件,这是第一步试验的各事件,构成完备事件组.假设B为最后取出的是红球的事件.,例6 经分析利率下调的概率为 60%,利率不变的概率为 40%。如利率下调,股价上涨的概率为 80%,而在利率不变的情况下,股价上涨的概率为 40%。求股价上涨的概率。,解：记A为事件利率下调,则A为利率不变,记B为事件股价上涨.据题设知P(A)=60%,P(A)=40%,P(B|A)=80%,P(B|A)=40%.于是 P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.60.8+0.40.4=0.64.,例7 对以往数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品是合格时,机器调整良好的概率是多少?,解 设 A为事件“产品合格”,B 为事件“机器调整良好”。已知 P(A|B)=0.98,P(A|B)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05,所需求的概率为 P(B|A)。则,这就是说,当生产出第一件产品是合格品时,此时机器调整良好的概率为 0.97。这里,概率 0.95 是由以往的数据分析得到的,即为先验概率。而在得到信息(即生产出的第一件产品为合格品)之后再重新加以修正的概率 0.97 即为后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。,第一章 随机事件的概率,全概率公式、贝叶斯公式,1甲乙丙三人独立地同时瞄准飞机射击，击中的概率均为 2/3.飞机遭一击而落的概率为 1/6，遭两击而落的概率为 1/2，遭三击则必落。求飞机可被击落的概率。2男人中的 4%以及女人中的 0.25%都为色盲。从男女相等的人群中随机挑出一人恰好是色盲，问其是男性的概率是多少？,练习,在这两个公式中，有两类事件：果(事件)B 因(事件)A1,A2,第一章 随机事件的概率,相互独立事件,若 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A 与 B 相互独立。,充要条件：P(A|B)=P(A)或 P(B|A)=P(B),例，A=“概率学得好的同学”B=“篮球打得好的同学”事件 A 与 B 相互独立,A,B,B在A和A的补里面的比例分配相同,相互独立事件,若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 也相互独立。,P(A)0,P(B)0,事件 A,B 相互独立与互不相容不能同时成立。,第一章 随机事件的概率,当 A，B 相互独立当 A，B 互不相容,A,第一章 随机事件的概率,相互独立事件,事件 A,B,C 相互独立：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),事件 A,B,C 两两相互独立，例如：掷两枚骰子A“第一掷是奇数”B“第二掷是奇数”C“两掷和是偶数”则未必 A,B,C 相互独立,B,C,A,B,C,相互独立事件,例题,1.设两事件A与B相互独立：若P(A)=0.6,P(B)=0.7,则P(A-B)=；若P(AB)=0.6,P(A)=0.4,则P(B)=；,第一章 随机事件的概率,解：,第一章 随机事件的概率,相互独立事件,2设 A 与 B 为事件，下述命题是否正确？若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 互不相容；若 A 与 B 互逆，P(A)0,P(B)0,则 A 与 B 相互独立；若 A 与 B 相互独立，则 B 与 A 也相互独立；三事件彼此两两独立，则相互独立；三事件相互独立，则彼此两两独立。3袋中有 6 个白球，2 个黑球，有放回的抽两次，“第一次抽到白球”与“第二次抽到白球”两事件是否独立？,例题,（随机）事件,（事件的）概率,概率的性质与公式,事件的运算与关系,随机试验的样本空间 子集，称为随机事件，用大写字母表示,一次试验中事件 A 发生的可能性，称为事件A的概率，记为 P(A)。,和事件 积事件包含 相等 互逆不相容 独立,P()=1,P()=0,0P(A)1(有限可加性)两两互不相容事件：P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)3.加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式,小结,条件概率,第一章 随机事件的概率,第一章作业,1，2，8，9，15，16，17，22，23，24，25，29，30，31，32，33,第二章 随机变量及其分布,随机变量随机试验 E 的样本空间=，若对任一 都有实数 X()与之对应，则称为随机变量，简记为 X。,随机变量X=X()是定义在样本空间 上的实数单值函数,随机事件是随机变量在某一范围内的取值,从而对随机事件的研究，转化为对随机变量的研究，进而可以采用数学分析的方法对随机试验的结果作深入广泛的研究。,第二章 随机变量及其分布,例抛硬币试验 X()=0，1电话呼叫次数 X()=k,k=0,1,2,天气预报,晴,云,阴,雨 X()=1,2,3,4电视机寿命测试 X()=x,x0,第二章 随机变量及其分布,离散型随机变量及其概率分布,概率函数:,例 某厂的产品有一级/二级/三级/等外品4级，其样本空间是1,2,3,4。对应的随机变量X的概率函数为:P(X=1)=1/4,P(X=2)=1/3,P(X=3)=1/4,P(X=4)=1/6.,概率函数，概率分布，分布律 同义,显然,第二章 随机变量及其分布,离散型随机变量及其概率分布,随机事件的概率:“该厂生产非一级品的概率”P(2X)=3/4“该厂生产2,3级品的概率”P(2X4)=7/12“该厂生产等内品的概率”P(X4)=5/6,第二章 随机变量及其分布,设 X 为随机变量，x 为任意实数，称函数 F(x)=P(X x)为 X 的分布函数。这个函数完整地描述了随机变量的取值规律。F(x)是普通的实函数：单调递增x1 x2,则 F(x1)F(x2)有界性0 F(x)1右连续性F(x+0)=F(x)计算 X 落在区间 x1,x2 的概率：P(x1 X x2)=F(x2)-F(x1),第二章 随机变量及其分布,某厂的产品有一级/二级/三级/等外品4级，其样本空间是1,2,3,4。对应的随机变量X的概率函数为:F(0)=P(X 0)=0,F(1)=P(X1)=1/4,F(2)=P(X2)=7/12,F(3)=P(X3)=10/12,F(4)=P(X4)=1.那么F(-1)=?,F(1.6)=?,F(6)=?,第二章 随机变量及其分布,分布函数：,第二章 随机变量及其分布,重要的离散型随机变量的分布两点分布（01分布）只有两个结果的试验X B(1,p),二项分布 以概率 p 的 n 重贝努里概型试验中，事件出现次数的概率分布 X B(n,p),第二章 随机变量及其分布,二项分布 X B(5,0.2),第二章 随机变量及其分布,泊松(Poisson)分布 二项分布当n时的极限分布，如电话的呼入次数，超市每天顾客到来数。设=np，X P(),重要的离散型随机变量的分布,第二章 随机变量及其分布,例,盒中12只晶体管，2只是次品。从中任取3只，求次品数 X 的分布律。2.假设随机变量的分布律：P(X=k)=k/n,k=1,2,3,4,5.则 n=P(X=k)=k/15,k=1,2,3,4,5.则P(0.5 X 2.5)=P(X=k)=kp+(1-k)(1-p),且P(X=1)=3P(X=0)则p P(X=k)=Ck/k!,k=0,1,则 C=3.设随机变量XB(n,p),且 P(X=2)=2P(X=3)=P(X=1)。求（1）n,p；（2）P(X=4),第二章 随机变量及其分布,例,4.五台车床，每台处于停车的概率为1/3：任一时刻两台车的停车概率；至少有一台车停车的概率5.某人射击命中率为 0.01，独立射击 500 次：(1)最可能命中多少次；(2)至少命中 2 次的概率6.从发芽率为 0.8 的一批种子中任取 10 粒种子，求其发芽数不少于 8 粒的概率。7.电话交换机每分钟接到呼唤的次数 X P(3)，求每分钟(1)恰有 3 次，(2)至少两次呼唤的概率8.随机变量 X P()取到什么值的概率最大？,第二章 随机变量及其分布,连续型随机变量,若分布函数 F(x)是一条连续曲线，那么 X 就是连续型随机变量。（）,分布函数 F(x)=P(Xx)P(xXx+x)=F(x+x)F(x)P(xXx+x)x=F(x+x)F(x)x 令 x0，则 f(x)=F(x),f(x)称随机变量 X 的概率(线)密度,连续、可导,第二章 随机变量及其分布,蓝条面积：P(x1 X x2)f(x)x,概率 连续曲线下面积,注意到 f(x)意味着，f(x)表示单位线度上分布的概率，即概率线密度。,第二章 随机变量及其分布,密度函数与分布函数的关系：,容易证明,性质,计算概率,第二章 随机变量及其分布,例,1.随机变量 X 的概率密度，求（1）P(1 X 2),P(0 X 3)；（2）X 的分布函数。,解：,第二章 随机变量及其分布,例,2.已知分布函数求（1）常数 A；（2）P(X 2),P(0 X 3),P(2 x 2.5);（3）概率密度 f(x)。,解：,第二章 随机变量及其分布,例,3.随机变量 X 的概率密度，其中k 0 为已知常数,求（1）未知数 A；（2）概率 P(0 X 1/k)。,解：,第二章 随机变量及其分布,常见连续分布：,1.均匀分布 XU(a,b),a=0b1=4b2=6b3=8,第二章 随机变量及其分布,常见连续分布：,2.正态分布 XN(,2),第二章 随机变量及其分布,常见连续分布：,标准正态分布性质查表 设 X N(1,4),求 P(X1),PX1=1 F(1)+F(1)=0.5+(-1)=1.5(1),第二章 随机变量及其分布,常见连续分布：,3.指数分布 XE(),第二章 随机变量及其分布,选择题,设随机变量 X 的概率密度函数 f(x)是偶函数，分布函数为 F(x)，则对任意常数 a 0,P(|X|a)=(A)2(1 F(a);(B)2F(a)1;(C)2 F(a);(D)1 2F(a)2.某汽车站从早上 6 点起，每 15 分钟一班车通过，若乘客到达此站的时间是 8 点到 9 点之间服从均匀分布的随机变量，则他等车时间不超过 5 分钟的概率是(A)1/15;(B)1/3;(C)1/4;(D)2/33.设随机变量 X R(1,5)，对 X 作三次独立观察，则至少有两次观察值大于 3 的概率是(A)3/4;(B)1/4;(C)1/2;(D)3/8,4.设随机变量 X N(3,4),若 P(X c)=P(X c)，则 c=(A)0;(B)1;(C)2;(D)35.设随机变量 X 的分布函数为则 a,b,c 分别为(A)0 1 1;(B)-1 1 1;(C)1 1 1;(D)1 1 0,第二章 随机变量及其分布,设 X 在0,4上服从均匀分布，求 f(x)，计算概率 P Xc=PXc，则 c=?3.公共汽车车门高度设计要求是：男乘客上下车撞头的概率应在1%以下。设男子身高 X N(170,36)（单位：厘米）4.测量误差 X(单位：m)服从正态分布 N(7.5,100)，必须测量多少次才能使至少有一次误差的绝对值不超过 10m 的概率大于 0.9？,第二章 随机变量及其分布,5.设K在0,6上服从均匀分布，求方程4x2+4kx+2=0 有实根的概率.6.设距离的测量误差X的概率密度（单位：米）。求在3次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率。7.流水线上生产的电子管寿命XN(160,)(小时)。若要求概率P(120X200)0.80，则标准差的值最大容许取多少？8.设电话亭单次通话所占用的时间XE(0.1)（小时）。若某人刚好在你前面进电话亭，求你的等待时间（1）超过10分钟的概率，（2）在10至20分钟的概率。,第二章 随机变量及其分布,随机变量函数的分布,问题 对圆片直径进行测量，测量值 X 在区间5,6上服从均匀分布，求圆片面积 Y 的概率密度。D U(5,6)S?随机变量的函数任然是一个随机变量，那么如何从一个随机变量X的分布推求它的某个函数 Y g(X)的分布规律？,第二章 随机变量及其分布,随机变量函数的分布在离散的情况下，可以直接计算Y g(x)的值，然后合并其中相同的部分。例1.已知一个离散型随机变量X的概率函数如下，X-1012P0.30.20.10.4试求 Y=(X 1)2 分布律,Y014P0.10.60.3,第二章 随机变量及其分布,随机变量函数的分布,在连续离散的情况下，则需要采用“分布函数法”例2.已知随机变量，求 的密度函数。解：随机变量X,Y的密度函数为，分布函数为，则,第二章 随机变量及其分布,随机变量函数的分布,一般地，,特别对于正态分布有,第二章 随机变量及其分布,例3.设随机变量X N(0,1)，求 的密度函数。,由于，X服从标准正态分布，,第二章 随机变量及其分布,例4.设随机变量X在区间0,1上服从均匀分布，则随机变量 Y=exp(X)的概率密度。解：,第二章 随机变量及其分布,第二章作业,2，4，5，8，13，14，15，19，20，21，24，25，26,