机械控制工程之系统的稳定性.ppt

1,系统的稳定性,6-1 稳定性,6-2 劳斯-胡尔维茨稳定性判据,6-3 奈奎斯特稳定判据,6-4 系统的相对稳定性,2,教学目的、要求 1.掌握系统稳定性的概念；2.熟练应用劳斯稳定判据；3.熟练应用Nyquist稳定判据；4.掌握Matlab稳定性计算；5.了解相对稳定性的概念。,教学重点,1.系统稳定性的判别方法2.衡量系统相对稳定性的指标,3,1.稳定性的概念,6-1 稳定性,1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。,跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。,4,稳定性：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。,线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。,5,6,大范围稳定 不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。,注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。,否则系统就是小范围稳定的,7,临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。,说明：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。,8,2.判别系统稳定性的基本原则,对于一般的反馈系统，系统的传递函数为：,设输入信号为单位脉冲信号，则有：,9,从式可看出，要想系统稳定，只有当系统的特征根si全部具有负实部。,综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。,由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。,10,一般情况下，确定系统稳定性的方法有：1 直接计算或间接得知系统特征方程式的根。2 确定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域。,应用第一种类型的两种方法是：(1)直接对系统特征方程求解；(2)根轨迹法应用第二种类型的两种方法是：(1)劳斯-胡尔维茨判据;(2)奈氏判据,11,1.胡尔维茨稳定性判别法 胡尔维茨法是把特征方程的系数用相应的行列式表示。若特征方程式为,一个系统稳定的必要和充分条件为：,（1）特征方程的所有系数均为正。（2）由特征方程系数组成的下列行列式均为正。,6-2 劳斯-胡尔维茨稳定性判据,12,13,14,所以，不满足胡尔维茨行列式，系统不稳定。,解：由特征方程知：,2),1),15,2.劳斯判据,当系统特征方程阶次越高，利用胡氏判据时，行列式计算工作量越大，所以高阶时，可用劳斯判据判别系统的稳定性。,劳斯判据步骤如下：,检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。,2）按系统的特征方程式列写劳斯表,1）列出系统特征方程：,16,劳斯表,17,3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数an、an-1、c1、d1g1、h1的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。,18,已知一调速系统的特征方程式为,试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：列劳斯表,由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。,例：,19,例:一个反馈控制系统的特征方程为,试确定使该闭环系统稳定的K值。,解:该题给出了系统闭环特征方程，可利用劳斯判据求出K值范围。,解,得K0.5即为所求。,由劳斯判据可知，若系统稳定，则特征方程各项系数大于0,劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：,20,低阶系统的劳斯稳定判据,1.二阶系统,劳斯阵列为,从而,二阶系统稳定的充要条件为,二阶系统的特征方程式为,21,2.三阶系统,劳斯阵列为,从而,三阶系统稳定的充要条件为,三阶系统的特征方程式为,22,例:对于图示系统，判断系统稳定性。,解:,根据劳斯判据，系统不稳定。,因二阶系统稳定的充要条件为,23,例:设控制系统的特征方程为试判别系统的稳定性。,所以系统不稳定,解:依三阶系统稳定的充要条件,24,例:设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0;试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。,解：列出劳斯表,第一列数据不同号，系统不稳定性,且正负号改变两次,则有两个根在s的右半平面上.,25,解:,因为第一列有-0.5,且正负号改变两次,所以系统不稳定,且有两个根在s的右半平面上.,26,特殊情况处理：劳斯阵列的任一行中第1列元为0，而其余元素至少有一个不为0；方法1：用一个很小的正数代替第1列等于0的元参与后续计算，并令 0求极限判断符号。方法2：用s=1/p代入原方程得到一个新的含p的多项式，再对此多项式应用劳斯稳定判据，可得相同结论。,27,例 设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：列出劳斯表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2(取代0)2 s1 2-4/s0 2,可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点。,28,劳斯阵列的任一行所有元都为0，即出现0行。方法：用该0行的上一行构成一个辅助多项式，取该辅助多项式的一阶导数的系数来代替0行，然后应用劳斯稳定判据。,29,例:设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：列出劳斯表 s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 辅助多项式A(s)的系数 s3 0 0 0,A(s)=2s4+8s2+4 dA(s)/ds=8s3+16s,30,以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 0 0 8 16 dA(s)/ds的系数 dA(s)/ds=8s3+16s s2 4 4 s1 8 s0 4,第一列元素全为正，系统并非不稳定；阵列出现全零行，系统不是稳定的；综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。,31,解辅助方程可得共轭纯虚根：令s2=y，A(s)=2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0,32,例:设系统的特征方程为 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,33,辅助多项式A(s)的系数A(S)=2S4+12S2+16,dA(s)/ds的系数dA(s)/ds=8s3+24s,第一列的元素都大于零,没有正实部的特征根,但由于有全零行,必有共轭根,而共轭根的值可令辅助方程A(s)=0求得.,令,得,则,则该系统不稳定。,34,例 考虑图所示的系统,确定使系统稳定的K的取值范围。,解 由图可知,系统的闭环传递函数为,所以系统的特征方程为,列劳斯表如下：,35,根据劳斯判据,系统稳定必须满足,因此,使闭环系统稳定的K值范围为,当K=14/9时,系统处于临界稳定状态。,36,例:系统结构图如图所示，当输入信号为单位斜坡函数时，求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于0.1吗？,解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义；所以先判稳,系统特征方程为,由劳斯判据知稳定的条件为：,由稳定的条件知：不能满足 的要求,37,如图所示系统，试确定在单位斜坡输入下时，K的数值。,则系统稳定得,又有：,可得,解：,38,例5:设系统的特征方程为,试在以K为横坐标,T为纵坐标的K-T平面上确定使系统稳定的区域。,解:,下面分二种情况讨论:当,时,当,时,39,在K-T平面上作出,曲线如下图所示,再作出,曲线,由右图可见,在K-T平面上使系统稳定的区域为两个影阴区.,40,6-3 奈奎斯特稳定判据,利用开环频率特性分析闭环系统的稳定性,1.开环极点与闭环极点间的关系,系统的开环传递函数,系统的闭环传递函数,41,设新变量A(s),可知，原系统稳定的充要条件是GB(s)的全部极点具有负实部，现在变为A(s)的所有零点具有负实部。,A(s),42,2.幅角原理（1）复数的矢量表示,OM=j,PM=（j-OP）,ZM=（j-OZ）,OP、OZ分别表示位于S左、右半平面的 零点或极点的矢量.,（2）相角变化,:,PM:(S左半平面),ZM:(S右半平面),43,（3）特征函数A(j)的相角 A(j)变化 复分式的相角=分子相角分母相角,特征函数A(j)的零极点形式：,当从变化时：,S左半平面上的零、极点矢量均变化(扫过)+弧度；S右半平面上的零、极点矢量均变化(扫过)-弧度.,44,44,设系统有p个开环极点在S右半平面，则有(n-P)个开环极点在S左半平面，特征函数A(j)分母相角变化为,若系统有Z个闭环极点在S右半平面，则有(n-Z)个极点在S左半平面，特征函数A(j)分子的相角变化为,特征函数的相角变化,45,45,（4）幅角原理:,当从变化时，特征函数 A(j)的轨迹将绕原点O转N=P-Z圈.,GK(j)=A(j)-1，,GK(j)的Nyquist曲线围绕(-1，j0)点的圈数为,N=P-Z,(1)P:开环正极点数；Z:闭环正极点数;,(2)N0:逆时针包围；N0:顺时针包围；N=0:逆时针和顺时针包围圈数相等、或表示不包围(-1，j0)点、或表示通过(-1，j0)点。,说明：,46,3.乃奎斯特稳定判据,Nyquist 稳定性判据是通过图解方法判断系统是否满足稳定的充分必要条件。也就是利用系统开环频率特性G(j)H(j)来判断闭环系统的稳定性。,46,（1）乃奎斯特稳定判据 当从到变化时，GK(j)的Nyquist轨迹 逆时针包围(-1，j0)点的圈数N等于GK(j)的正极点数P（N=P）时，则闭环系统稳定。,说明：由幅角原理,当N=P时，Z=0,闭环系统在S右半平面上无极点。,47,（2）讨论,当P=0，开环系统稳定。开环系统的奈氏图不围绕(1，j0)点，则闭环系统稳定;,当开环系统有P个极点在s右半平面，若GK(s)逆时针包围(1，j0)点P圈，闭环系统稳定。,（3）应用,若P=0，仅考察GK(j)是否围绕(1，j0)点；,若P0，应先求出P，再查GK(j)逆时针围绕(1，j0)点的圈数N，若N等于P则闭环系统稳定。,关键：作GK(j)的Nyquist图,48,说明1,由于奈氏图在为正及为负时是对称于实轴的，因此通常仅画它的为正的部分。对于开环稳定的系统，只要（1，j0）不被奈氏图所包围即可判断闭环系统是稳定的。对于有开环右极点的系统，当仅用为正的一部分曲线判断闭环系统的稳定性时，奈氏图包围（1，j0）点的次数为P/2次。,49,例:闭环系统的稳定性判断,单位反馈系统的开环传递函数：系统有一个开环右极点。系统的开环频率特性：,50,惯性环节的极坐标图是一个半圆；本系统的开环极坐标图也是一个半圆，仅相角变化的范围不同，半圆所处的象限不同，曲线变化方向不同而已。极坐标图逆时针包围（1，j0）点1/2次。P=1，1/2=P/2，闭环系统稳定。此例说明有开环右极点的系统，闭环系统可能稳定。,51,Nyquist判据中“穿越”的概念,穿越：开环乃氏曲线穿过（-1，j0）点左边实轴的情况。,正穿越：增大时，Nyquist曲线由上而下穿过-1-段实轴。正穿越时，相角增加，相当于Nyquist曲线正向包围（-1，j0）点一圈。,P=2,Nyquist曲线在（-1，j0）点左边实轴上的正负穿越次数之差等于曲线包围（-1，j0）点的次数N,负穿越：增大时，Nyquist曲线由下而上穿过-1-段实轴。负穿越相当于Nyquist曲线反向包围（-1，j0）点一圈。,52,P=2,Nyquist稳定判据：当由0变化到时，Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差N的两倍等于P时（P为系统开环右极点数），闭环系统稳定(即Z=P-2N=0)，否则，闭环系统不稳定(即Z=P-2N0)。,上图所示系统N=1,Z=P-2N=0,系统闭环稳定。,53,由右图可见，开环Nyquist曲线顺时针包围(-1，j0)点一圈，即N-1：而开环特征根全部位于左半s平面，即P0，由Nyquist判据知，系统闭环不稳定。,解：,54,设系统的Nyquist曲线如图所示，判断闭环系统是否稳定。图中P为开环传递函数右半平面的极点数。,(a)N=1/2,系统稳定,(b)N=-1/2,系统不稳定,(c)N=-1/2,系统不稳定,55,(d)N=1/2,系统稳定,(e)N=0,系统不稳定,56,例:设某闭环系统的开环传递函数为,试求系统稳定时的K值范围。,解:已知系统的开环传递函数含有指数函数，故不能借助代数判据，可考虑借助乃氏判据求出K值范围。,其乃氏图大致形状如图所示。,57,为了求出该乃氏图与实轴相交的最左边的点，可解,得,则,为了保证系统稳定，乃氏曲线不应绕过（-1，j0）点，即,得 即为所求。,58,补充：当系统其开环传递函数含有积分环节时，其开环奈氏曲线不封闭，此时需作辅助线。即按常规方法作出由0+变化时的Nyquist曲线后，从G(j0+)开始，以的半径逆时针补画v90 的圆弧(辅助线)得到完整的Nyquist曲线。显然，对于最小相位系统，其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。,59,对任意N型最小相位系统，闭环系统稳定的充分必要条件是系统的开环频率特性的极坐标图（从0到）及辅助圆构成的G(s)H(s)图不包围（1，j0）点。判断系统稳定性时只需确定奈氏图与特征点的相对关系，而不必注意奈氏图的精确形状。,60,(a)N=0,系统稳定,(b)N=1,系统稳定,(c)N=-1系统不稳定,61,62,-1,由图可见，Nyquist曲线顺时针包围(-1,j0)点半次(即N=-0.5)，而P1，系统闭环不稳定(即Z=P-2N=20)。,P=1,63,6-4 系统的相对稳定性,一、稳定程度与稳定裕量,1.开环Nyquist曲线与闭环阶跃响应的关系（开环稳定,P=0）,64,65,2.相位裕量和幅值裕量,(1)相位裕量,在开环G(s)H(s)的奈氏图上，从原点到奈氏图与单位圆的交点连一直线，则该直线与负实轴的夹角，就称为相位裕量。用表示。,幅值穿越频率c：开环Nyquist曲线与单位圆的交点对应的频率c称为幅值穿越频率，也称剪切频率。,大小反映了奈氏图与负实轴的交点与（-1，j0）点的距离。,66,由定义：180+(c),故在Bode图中，相角裕度表现为 L()=0dB处的相角(c)与-180度水平线之间的角度差。,67,(2)幅值裕量,注意到：如果开环增益增加Kg倍，Nyquist曲线将穿过(-1,j0)点，系统临界稳定。因此，增益裕量的物理意义可表述为：在保持系统稳定条件下，开环增益所允许增加的最大分贝数。,在奈氏图上，奈氏曲线与负实轴交点处幅值的倒数，称为幅值裕量，用Kg表示。,68,相位穿越频率g：开环Nyquist曲线与负实轴的交点对应的频率g称为相位穿越频率，也称相位交界频率。,当，则Kg1，Kg(dB)0dB，系统稳定。当，Kg 1，Kg(dB)0dB，系统不稳定。Kg一般取820dB为宜。,69,二.开环稳定和闭环稳定系统的幅值裕量Kg和相位裕量,为了得到满意的性能，一般要求：Kg 6dB 且(c)3060,稳定系统,70,三.开环稳定、闭环不稳定系统的幅值裕量Kg和相位裕量,不稳定系统,71,幅值裕量相同但稳定程度不同的系统,相位裕量较大,但幅值裕量较小,幅值裕量较大,但相位裕量较小,由此可见，仅用相位裕量或幅值裕量甚至在某些情形下，同时应用增益裕量或相位裕量都不足以说明系统的稳定程度。,四.幅值裕量和相位裕量的局限,72,五.相位裕量与幅值裕量的计算,1.幅值穿越频率c与相位裕量计算 A(c)=1，L(c)=0dB 180+(c)上式通常必须通过迭代方法求解。,2.相位穿越频率g与幅值裕量Kg计算(g)=-180 计算g涉及三角方程的求解，一般比较困难，通常只能采用迭代计算方法，迭代初值可根据相频特性曲线估算。,73,已知单位反馈系统的闭环传递函数试求系统的相位裕量和幅值裕量kg,解：系统的开环传递函数为,74,75,解：由,76,已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如下所示，试确定系统的开环传递函数，并求出相位裕量。,T,c是穿越频率，在伯德图上是对数幅频特性曲线与 0dB 线的交点频率。,斜率公式,77,对于图示最小相位系统的开环幅频特性图，（1）写出其开环传递函数；（2）求稳定裕量 和Kg;（3）判系统稳定性。,解：开环传递函数为,则开环传递函数为,78,则 系统闭环稳定。,斜率公式,79,对于图示最小相位系统的开环幅频特性图，（1）写出其开环传递函数；（2）求稳定裕量 和Kg;（3）判系统稳定性。,解：开环传递函数为,斜率公式,80,则 系统闭环后稳定。,斜率公式,81,对于图示最小相位系统的开环幅频特性图，（1）写出其开环传递函数；（2）求稳定裕量 和Kg;（3）判系统稳定性。,解：开环传递函数为,82,则 系统闭环稳定。,83,六.二阶系统频域与时域的关系,1.二阶系统开环频域指标,二阶系统开环频率特性为,开环幅频特性：,开环相频特性：,在=c 时，A(c)=1,84,解得,二阶系统的相位裕度为：,85,与Mp都只是阻尼比的函数。,增加时Mp减小。相位裕度可反映时域中超调量Mp的大小，是频域中的平稳性指标。通常为使二阶系统在阶跃函数作用下引起的过程不至于振荡得太厉害，以及调节时间不致太长。,2.相位裕度与超调量Mp的关系,86,3.、c 与ts关系,二阶系统调节时间,若一定，c与ts成反比。c越大，ts越短。,开环频域指标c可反映系统响应快速性，是频域中的快速性指标。,87,七、关于相位裕量和幅值裕量的几点说明,控制系统的相位裕量和幅值裕量是系统奈氏图对(-1,j0)点靠近程度的度量。这两个裕量可以用来作为设计准则。,只用幅值裕量和相位裕量，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。对于最小相位系统，只有当相位裕量和幅值裕量都是正值时，系统才是稳定的。负的裕量表示系统不稳定。为了得到满意的性能，相位裕量应当在 之间，幅值裕量应取820dB。,