机械工程控制基础(系统的频率特性分析).ppt

机械工程控制基础,主讲人:荣军E-mail:,、引言,频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。,时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。,频域分析：通过系统在不同频率w的谐波输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。,1、时域分析的缺陷,高阶系统的分析难以进行；,难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；,当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。,2、频域分析的目的,频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。,无需求解微分方程，图解(频率特性图)法,只研究系统的开环传递函数就可以间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；,易于实验分析；,优点：,可方便设计出能有效抑制噪声的系统。,二、频率特性概述,1、频率响应与频率特性,频率响应与频率特性的概念,考虑线性定常系统：,当正弦输入 xi(t)=Xsint 时，相应的输出为：,对于稳定的系统，其特征根-pi具有负实部，此时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改变，因此，可认为系统处于零初始状态。,假设系统只具有不同的极点，则：,Ai(i=1,2,n)为待定常数。,从而：,如果系统包含有rj个重极点pj，则xo(t)将包含有类似：,的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随 t 趋于无穷大都趋近于零。,因此，系统的稳态响应为：,其中：,由于：,因此：,上式表明，稳定的线性定常系统在正弦激励下的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出与输入的幅值比为|G(j)|，相位差为G(j)。,显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频率而变化。,频率特性的定义：,零初始条件的线性系统，在正弦信号作用下，稳态输出与输入的复数比。,传递函数G(s)在频域的表现形式：,A()称幅频特性，()称相频特性，G(j)称为幅相频率特性。,频率响应：系统对谐波输入信号的稳态响应。,频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时，其稳态输出随频率而变化(由0变到)的特性。,幅频特性：当由0到变化时，|G(j)|的变化特性，记为A()。,相频特性：当由0到变化时，G(j)的变 化特性称为相频特性，记为()。,幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。,2、频率特性的求法,1.根据系统的频率响应来求（反拉氏变换）,因为,所以,从 的稳态项中可得到频率响应的幅值和相位,然后可求出幅频特性和相频特性.,2.将传递函数中的s换为 来求,系统的频率特性就是其传递函数G(s)中的复变量 在 的特殊情况.因此得到一个很重要的结论将传递函数G(s)中s换成 就可以得到系统的频率特性.因此 也叫做谐波传递函数.,解：,对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的定义：,【例】某单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin 2t时系统的稳态输出y(t)。,解：系统的频率特性,=2时，,则系统稳态输出为：y(t)=0.35*2sin(2t-45o)=0.7sin(2t-45o),频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；,()大于零时称为相角超前，小于零时称 为相角滞后。,4、频率特性表示方法,解析表示（包括幅频相频，实频虚频）,几点说明,图示法:Nyquist图(极坐标图，幅相频率特性图)Bode图(对数坐标图，对数频率特性图),5、频率特性的特点,频率特性是频域中描述系统动态特性的数学模型。,频率特性是系统单位脉冲函数w(t)的Fourier变换。,分析方便。,易于实验提取。,二、频率特性的图示方法,1、频率特性的极坐标图(Nyquist图、幅相频率特性图）,其中，P()、Q()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然：,在复平面上，随（0）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。,易知，向量G(j)的长度等于A(j)（|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方向的角度等于()(G(j)）。,2、波德(Bode)图（对数频率特性图，包括对数幅频特性图和对数相频特性图）,对数坐标系,特别：当L()=0，输出幅值输入幅值；当L(w)0时，输出幅值输入幅值(放大)；当L(w)0时，输出幅值输入幅值(衰减)。,对数相频特性图,横坐标：与对数幅频特性图相同。,纵坐标：线性分度，频率特性的相角()单位 度(),几点说明,在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此=0 不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；此外，横坐标一般只标注的自然数值；,在对数频率特性图中，角频率 变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，记为decade或简写为 dec；频率变化两倍的区间称为一个二倍频程，记为octave或简写为oct。它们也用作频率变化的单位。,通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益；用()简记对数相频特性。,对数坐标的优点,幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图；,对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围,两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称,可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频特性曲线；,1、比例环节,三、典型环节的频率特性图,传递函数：G(s)=K,频率特性：G(j)=K=Kej0,实频特性：P()=K,虚频特性：Q()=0,对数幅频特性：L()=20lgK,对数相频特性：()=0,幅频特性：A()=K,相频特性：()=0,对数频率特性,幅相频率特性,Bode图,Nyquist图,比例环节的频率特性图：,2、积分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：()=-90,实频特性：,虚频特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：()=-90,积分环节的Nyquist图,积分环节的Bode图,3、微分环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,对数相频特性：()=90,虚频特性：,对数幅频特性：,幅频特性：,相频特性：()=90,微分环节的Nyquist图,微分环节的Bode图,4、惯性环节,传递函数：,频率特性：,相频特性：()=-arctgT,幅频特性：,惯性环节的Bode图,低频段(1/T),即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。,对数相频特性：()=-arctgT,对数幅频特性：,高频段(1/T),即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。,转折频率（1/T),低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点1/T，称为转折频率（截止频率）。,在转折频率处，L()-3dB，()-45。,惯性环节具有低通滤波特性。,渐近线误差,5、一阶微分环节(导前环节),对数相频特性：()=arctgT,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,幅频特性：,相频特性：()=arctgT,一阶微分环节的Nyquist图,实频特性：,虚频特性：,一阶微分环节的Bode图,注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。,显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。,6、振荡环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,实频特性：,虚频特性：,振荡环节的Nyquist图,=0时,=n时,=时,振荡环节的Bode图,对数幅频特性,低频段(n),即低频渐近线为0dB的水平线。,高频段(n),即高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线。,两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率n。,对数相频特性,易知：,7、延迟环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,四、频率特性图绘制,1、系统开环Nyquist图的绘制,基本步骤,将开环传递函数表示成若干典型环节的串 联形式：,求系统的频率特性：,即：,求A(0)、(0)；A()、(),补充必要的特征点(如与坐标轴的交点,也就是算出实频和虚频)，根据A()、()的变化趋势，画出Nyquist 图的大致形状。,示例,解：,0：A(0)K,：A()0,(0)0,()270,A,B,令Re=0求出w,再代如Im求出B点。,再令Im=0求出w,再代如Rm求出A点。,解：,0：A(0),：A()0,(0)90,()270,Nyquist图与实轴相交时：,又：,解得：,A,解：,Nyquist图的一般形状,考虑如下系统：,0型系统（v=0）,0:A(0)K,:A()0,(0)0,()(nm)90,I型系统（v=1）,0：,：,(0)90,()(nm)90,A()0,A(0),II型系统（v=2）,开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为v90的无穷远处。,n=m时，Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点，且止于实轴上的某一有限远点。,n m时，Nyquist曲线终点幅值为 0，而相角为(nm)90。,2、系统开环Bode图的绘制,考虑系统：,解：,易知系统开环包括了五个典型环节：,转折频率：2=2 rad/s,转折频率：4=0.5 rad/s,转折频率：5=10 rad/s,开环对数幅频及相频特性为：,Bode图特点,最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为20v dB/dec。,注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：,当1rad/s时,L()=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在1rad/s时的数值等于20lgK。,如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。,对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。,对惯性环节，斜率下降 20dB/dec；振荡环节，下降40dB/dec；一阶微分环节，上升20dB/dec；二阶微分环节，上升 40dB/dec。,Bode图绘制步骤,将开环传递函数表示为典型环节的串联：,计算20lgK，在1rad/s 处找到纵坐标等于 20lgK 的点，过该点作斜率等于-20vdB/dec 的直线，向左延长此线至所有环节的转折频 率之左，得到最低频段的渐近线。,向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折 频率改变一次渐近线斜率。,对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。,相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。,解：开环增益K100，20lgK40,各环节转折频率分别为：,五、频率特性的特征量,1、零频幅值A(0),它表示当频率在接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。A（0）越接近于1，系统的稳态误差越小，反映了系统的稳态精度。,2、复现频率 m与复现带宽0 m,若事先规定一个 作为反映低输入信号的允许误差，那么 m就是幅频特性值与A(0)的差第一次达到时的频率值，称为复现频率。,3、谐振频率 r与相对谐振峰值Mr,谐振频率A()出现最大值Amax时的频率称为谐振频率,=r时的幅值A(r)=Amax与=0时的幅值A(0)之比为谐振比和相对谐振峰值Mr。,Mr反映了系统的相对平稳性。一般而言，Mr越大，系统阶跃响应的超调量也越大，系统的平稳性较差。,wr反映了系统瞬态响应的速度，wr 越大，则瞬态响应越快，一般来说，wr 与上升时间tr成反比。,4、截止频率 b与截止带宽0 b,A()由A(0)下降到0.707A(0)的频率称为截止频率。0 b的范围称为截止带宽，它表示超过频率后，输出就急剧衰减，跟不上输入，形成系统响应的截止状态。带宽越大，响应的速度越快。,六、最小相位系统与非最小相位系统,极点和零点全部位于s左半平面系统称为最小相位系统。反之，称为非最小相位系统。,幅频特性相同,可见最小相位系统的相位变化范围最小。,解：,0+时：A()，()-180,时：A()0，()-360,注意到：()始终小于-180，且单调减小，即Nyquist曲线与负实轴无交点。,例3：某最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示，求系统的开环传递函数。,a、低频端系统按-20dB/dec下降，故系统是型系统；,b、系统存在两个转折频率：0.1；20，且均按-20dB/dec下降，故可判定是二个惯性环节。所以可写出其传递函数为：,