晶体宏观对称性.ppt

对称的概念 晶体对称的特点 对称元素和对称操作 对称元素的组合 对称型及其推导 晶体的对称分类,1.4.1 晶体宏观对称性,对称性：对一个物体（或晶体图形）施行某种规律的动作以后，它仍然能够与自身重合（即恢复原状）的性质。,反映对称,反演对称,旋转对称,晶体对称的特点,由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同 质点重复，因此，所有的晶体结构都是对称的。晶体的对称受格子构造规律的限制，因此，晶体的对 称是有限的，它遵循“晶体对称定律”。晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性 质上。因此，由以上可见：格子构造使得所有晶体都是对称 的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出 现的。,知识的应用,钻石常见晶形(立方体、八面体),绿柱石常见晶形(六方柱),电气石常见晶形 复三方柱,石榴石常见晶形 四角三八面体,对称操作（对称变换）：借助某种几何要素，能使物体（或对称图形）恢复原状所施行的某种规律的动作，就称为“对称操作”。如旋转、反映（镜面对称）、反演（中心对称）等。对称元素（对称要素）：对物体（或图形）进行对称操作所凭借的几何元素。如旋转轴、反映面、反演中心,有旋转轴、反映面、反演中心的格点分布图,仅仅从“有限的晶体图形”（宏观晶体）的外观上的对称点、线或面，对其所施行的对称操作，即称“宏观对称操作”；这时所借助参考的几何元素，即称“宏观对称元素”。从晶体内部空间格子中相应“格点”的对称性进行考查而施行的对称操作，则称为“微观对称操作”；而借以动作的“几何要素”即称为“微观操作称元素”。,总体来说，对称操作（包括宏观和微观在内），经研究得知，总共只有七种独立的形式。,一、宏观对称元素,1）反演中心或对称中心（国际符号i）：为一假想的几何点，相应的对称变换是对于这个点的反演（倒反，反伸）。,2）反映面或对称面（国际符号m）：为一假想的平面，相应的对称操作为对此平面的反映。,3）旋转轴（国际符号n）：为一假想的直线，相应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定角度，各个相同部分就发生一次重复。整个物体复原需要的最小转角则称为基转角（用a表示）；n为轴次，n=360/a。晶体对称定律：在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。国际符号：1，2，3，4，6,对称轴的种类,4）象转轴（国际符号：n）：亦称旋转反伸轴，又称反轴或反演轴等，是一种复合的对称元素。它的辅助几何要素有两个：一根假想的直线和此直线上的一个定点。相应的对称变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此定点的反演。,象转轴的轴次n及基转角a都与其所包含的旋转轴相同（即n=360/a，a=360/n）。）,1=i,象转轴的复合构成及与其它基本对称元素间的关系,2=m2 m,3=3+i 3/3,Li4,象转轴中仅有4次象转轴是独立的基本对称元素,宏观晶体对称要素,二、晶体宏观对称元素的组合,晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照组合程序及组合定律进行合理组合的形式存在。组合的两条限制：对于宏观对称元素而言，这些元素组合时必受以下两条的限制：(1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通过质心，即通过一个公共点。(2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不相容的对称元素，如5、7。,组合程序：组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心的组合。对称要素组合定理欧拉定理：通过两旋转轴的交点必能找到第三根旋转轴，新轴的作用等于原两旋转轴的作用之积。新轴之轴次，以及新轴与两原始旋转轴之夹角取决于两原始轴的基转角及其夹角。,定理二：通过两个二次旋转轴的交点并与它们垂直的直线恒为一旋转轴，后者之基转角为该两个二次旋转轴交角之两倍。定理三：两对称面之交线恒为一旋转轴，其基转角为该两对称面交角之两倍。定理四：通过二次旋转轴与对称面之交点并垂直 于该二次旋转轴的对称面上的直线恒为一倒转轴，后者之基转角等于该二次旋转轴与对称面交角之余角的两倍。定理五：如有一个二次旋转轴与垂直它的对称面共同存在时，则二者之交点恒为对称中心。,晶体的32个对称型（点群）,晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型或点群。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。根据晶体中可能存在的对称要素及按照以上程序、限制及组合定理进行组合，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。,群的定义：若有一个元素的集合G（E，A，B，）满足以下条件，则称该集合G构成一个群。（1）封闭性；（2）G中有单位元E；（3）逆元素；（4）结合律 A（BC）（AB）C,若干个点对称操作Oi（又称对称元素，注意与对称性区别）的组合C（集合），满足：（1）封闭性：Oj Oi C=Oj(Oi C)=Oj C；（2）单位元：全同操作1；（3）逆元：Oi-1 C=Oi-1 Oi C=1 C=C；（4）结合律：Oi(Oj Ok)=(Oi Oj)Ok,故一个确定晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作均为群中的一个元素。反映所有晶体宏观对称性的32种点对称类型可用32种点群来表示（命名），或说属于32种点群。,把晶体按照点对称性进行分类，可分成32类 把B格子按照点对称性进行分类，可分成7类，称为七种晶系。,续表：,根据晶胞类型的不同，即与其相对应的平行六面体形状的差异，可将32点群分为7类，即7个晶系。七个晶系按照对称性的高低又可并归为三个晶族，即：,可以根据其宏观外形的特征对称元素来判定晶体的晶系。,在结晶多面体中，可以有一个要素单独存在，也可以有若干对称要素组合在一起共存。对称要素的组合服从以下规律：,二、对称要素组合定理,欧拉定理：通过两旋转轴的交点必能找到第三根旋转轴，新轴的作用等于原两旋转轴的作用之积。新轴之轴次，以及新轴与两原始旋转轴之夹角取决于两原始轴的基转角及其夹角。,OA,OB为两个旋转轴，基转角依次为,，它们之间的交角为。,如果把上述关系进一步应用球面三角原理进行分析计算，就可以得出如下一系列定量关系：,，分别为OA,OB的基转角为OA,OB的交角OC的基转角为OC与OA,OB之间交角为和u,欧拉定理适用范围：两正轴组合产生正轴两反轴组合产生正轴一个正轴与一个反轴组合产生反轴,定理二：通过两个二次旋转轴的交点并与它们垂直的直线恒为一旋转轴，后者之基转角为该两个二次旋转轴交角之两倍。,证明：=180 cos(/2)=-cos cos(/2)=cos(180+)=360+2=2 cosu=cos=0 u=90,定理三：两对称面之交线恒为一旋转轴，其基转角为该两对称面交角之两倍。,证明：对称面等效于二次反轴，所以OA,OB都为Li2,OC为旋转轴（正轴）=180 cos(/2)=-cos cos(/2)=cos(180+)=2 cosu=cos=0 u=90 OC垂直两二次反轴，即OC垂直两对称面的法线OC平行于两对称面，OC是两对称面的交线,定理四：通过二次旋转轴与对称面之交点并垂直于该二次旋转轴的对称面上的直线恒为一倒转轴，后者之基转角等于该二次旋转轴与对称面交角之余角的两倍。,证明：二次轴与对称面之交角可看作二次轴与二次反轴交角之余角=180=2（L2与Li2的交角）=90-=2(90-)cosu=cos=0 u=90 OC垂直两二次反轴OC平行于对称面,定理五：如有一个二次旋转轴与垂直它的对称面共同存在时，则二者之交点恒为对称中心。,证明：L2P L2/Li2=0=180 cos(/2)=-1=360 正轴和反轴相交，产生反轴 所以产生一个Li1（C）,推理一：偶次旋转轴和垂直它的对称面以及对称中心，三者之中任意二者之组合必产生第三者。推理二：当有对称中心存在时，偶次旋转轴的个数之和必等于对称面的个数之和，且每一个偶次旋转轴，各自垂直于一个对称面。,三，结晶多面体中对称要素组合的所有可能的情况,两性质相同的n次轴组合时的轴间夹角,sin(/2)=cos(n/2)sin(n/2),任意两轴组合时之轴间夹角,sin(n/2)=cos(90-)sin(m/2)sin=sin(n/2)/sin(m/2),总结：,