数理方程与特殊函数(钟尔杰)7非齐次方程求解.ppt

数学物理方程第三章5,非齐次方程求解方法 特解齐次化方法 固有函数展开方法,P.51例6,例1.求定解问题,的形式解.其中,A 和 B 均为常数.,解:令u(x,t)=V(x,t)+W(x)utt=Vtt,uxx=Vxx+W”utt=a2uxx+A Vtt=a2Vxx+W”+A 取 Vtt=a2Vxx 得常微分方程:a2W”+A=0,求常微分方程问题,令 u=V+W,得,思考题:,分析:令u(x,t)=V(x,t)+W(x)utt=Vtt,uxx=Vxx+W”utt=a2uxx C Vtt=a2Vxx+W”C取 Vtt=a2Vxx 得常微分方程:a2W”=C,例2,令 u(x，t)=v(x，t)+W(x)utt a2uxx=g vtt a2vxx+W”=g 边界:v(0,t)+W(0)=0,v(L,t)+W(L)=0初始:v(x，0)+W(x)=0,vt(x，0)=0取W(x),满足,得齐次方程,非齐次方程,令 u(x,t)=v+W,问题分解为问题I和问题II,问题I,问题II,设问题II的解可以按固有函数展开,其中,Xn(x)是满足齐次边界条件的固有函数,将 f(x,t)也展开为固有函数Xn(x)的级数,代入方程:Wtt a2Wxx=f(x,t),由初始条件：,其中,齐次常微分方程通解,非齐次方程特解(P.4P.5),习题3.5第3题,固有值问题:,固有值,固有函数,将右端函数按固有函数展开,对比两端固有函数系数,得,fn(t)=0,n=2,3,积化和差,思考题,1.非齐次波动方程的特解齐次化方法的求解方法与求非齐次线性方程组的解方法有何不同？2.特解齐次化方法中微分方程与原问题有何不同？3.固有函数展开法所针对的微分方程有何特点？4.二阶线性常系数非齐次常微分方法的解是如何求出的？,习题3.5:2，3,