数据结构课程chap06树和二叉树.ppt

第六章树和二叉树,第六章 树和二叉树,族谱,树是以分支关系定义的层次结构。,6.1 树的类型定义,6.2 二叉树的类型定义,6.3 二叉树的存储结构,6.4 二叉树的遍历,6.5 线索二叉树,6.6 树和森林的表示方法,6.7 树和森林的遍历,6.8 哈夫曼树与哈夫曼编码,6.1 树的类型定义,数据对象 D：,D是具有相同特性的数据元素的集合。,若D为空集，则称为空树。否则:(1)在D中存在唯一的称为根的数据元素root；(2)当n1时，其余结点可分为m(m0)个互 不相交的有限集T1,T2,Tm，其中每一 棵子集本身又是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。,数据关系 R：,基本操作：,查 找 类,插 入 类,删 除 类,Root(T)/求树的根结点,查找类：,Value(T,cur_e)/求当前结点的元素值,Parent(T,cur_e)/求当前结点的双亲结点,LeftChild(T,cur_e)/求当前结点的最左孩子,RightSibling(T,cur_e)/求当前结点的右兄弟,TreeEmpty(T)/判定树是否为空树,TreeDepth(T)/求树的深度,TraverseTree(T,Visit()/遍历,InitTree(&T)/初始化置空树,插入类：,CreateTree(&T,definition)/按定义构造树,Assign(T,cur_e,value)/给当前结点赋值,InsertChild(&T,&p,i,c)/将以c为根的树插入为结点p的第i棵子树,ClearTree(&T)/将树清空,删除类：,DestroyTree(&T)/销毁树的结构,DeleteChild(&T,&p,i)/删除结点p的第i棵子树,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,M,K,L,A(B(E,F(K,L),C(G),D(H,I,J(M),T1,T3,T2,树根,例如:,()有确定的根；()树根和子树根之间为有向关系。,有向树：,有序树：,子树之间存在确定的次序关系。,无序树：,子树之间不存在确定的次序关系。,对比树型结构和线性结构的结构特点,线性结构,树型结构,第一个数据元素(无前驱),根结点(无前驱),最后一个数据元素(无后继),多个叶子结点(无后继),其它数据元素(一个前驱、一个后继),其它数据元素(一个前驱、多个后继),基 本 术 语,结点:,结点的度:,树的度:,叶子结点:,分支结点:,数据元素+若干指向子树的分支,分支的个数,树中所有结点的度的最大值,度为零的结点,度大于零的结点,D,H,I,J,M,(从根到结点的)路径：,孩子结点、双亲结点兄弟结点、堂兄弟祖先结点、子孙结点,结点的层次:,树的深度：,由从根到该结点所经分支和结点构成,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,M,K,L,假设根结点的层次为1，第l 层的结点的子树根结点的层次为l+1,树中叶子结点所在的最大层次,任何一棵非空树是一个二元组 Tree=（root，F）其中：root 被称为根结点 F 被称为子树森林,森林：,是m（m0）棵互不相交的树的集合,A,root,B,C,D,E,F,G,H,I,J,M,K,L,F,6.2 二叉树的类型定义,二叉树或为空树，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不交的二叉树组成。,A,B,C,D,E,F,G,H,K,根结点,左子树,右子树,二叉树的五种基本形态：,N,空树,只含根结点,N,N,N,L,R,R,右子树为空树,L,左子树为空树,左右子树均不为空树,二叉树的主要基本操作：,查 找 类,插 入 类,删 除 类,Root(T);Value(T,e);Parent(T,e);LeftChild(T,e);RightChild(T,e);LeftSibling(T,e);RightSibling(T,e);BiTreeEmpty(T);BiTreeDepth(T);PreOrderTraverse(T,Visit();InOrderTraverse(T,Visit();PostOrderTraverse(T,Visit();LevelOrderTraverse(T,Visit();,InitBiTree(,ClearBiTree(,二叉树的重要特性,性质 1：在二叉树的第 i 层上至多有2i-1 个结点。(i1),用归纳法证明：归纳基：归纳假设：归纳证明：,i=1 层时，只有一个根结点：2i-1=20=1；,假设对所有的 j，1 j i，命题成立；,二叉树上每个结点至多有两棵子树，则第 i 层的结点数=2i-2 2=2i-1。,性质 2：深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点（k1）。,证明：,基于上一条性质，深度为 k 的二叉树上的结点数至多为 20+21+2k-1=2k-1。,性质 3：对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式：n0=n2+1。,证明：,设 二叉树上结点总数 n=n0+n1+n2又 二叉树上分支总数 b=n1+2n2 而 b=n-1=n0+n1+n2-1由此，n0=n2+1。,两类特殊的二叉树：,满二叉树：指的是深度为k且含有2k-1个结点的二叉树。,完全二叉树：树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应。,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,性质 4：具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 log2n+1。,证明：,设完全二叉树的深度为 k 则根据第二条性质得 2k-1 n 2k 即 k-1 log2 n k 因为 k 只能是整数，因此，k=log2n+1。,性质 5：,若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：(1)若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号为 i/2 的结点为其双亲结点；(2)若 2in，则该结点无左孩子，否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；(3)若 2i+1n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。,6.3 二叉树的存储结构,二、二叉树的链式 存储表示,一、二叉树的顺序 存储表示,#define MAX_TREE_SIZE 100/二叉树的最大结点数typedef TElemType SqBiTreeMAX_ TREE_SIZE;/0号单元存储根结点SqBiTree bt;,一、二叉树的顺序存储表示,例如:,A,B,C,D,E,F,A B D C E F,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,1,4,0,13,2,6,二、二叉树的链式存储表示,1.二叉链表,2三叉链表,3双亲链表,4线索链表,A,D,E,B,C,F,root,lchild data rchild,结点结构:,1.二叉链表,typedef struct BiTNode/结点结构 TElemType data;struct BiTNode*lchild,*rchild;/左右孩子指针 BiTNode,*BiTree;,lchild data rchild,结点结构:,C 语言的类型描述如下:,A,D,E,B,C,F,root,2三叉链表,parent lchild data rchild,结点结构:,typedef struct TriTNode/结点结构 TElemType data;struct TriTNode*lchild,*rchild;/左右孩子指针 struct TriTNode*parent;/双亲指针 TriTNode,*TriTree;,parent lchild data rchild,结点结构:,C 语言的类型描述如下:,0123456,data parent,结点结构:,3双亲链表,LRTag,LRRRL,typedef struct BPTNode/结点结构 TElemType data;int*parent;/指向双亲的指针 char LRTag;/左、右孩子标志域 BPTNode typedef struct BPTree/树结构 BPTNode nodesMAX_TREE_SIZE;int num_node;/结点数目 int root;/根结点的位置 BPTree,6.4二叉树的遍历,一、问题的提出,二、先左后右的遍历算法,三、算法的递归描述,四、中序遍历算法的非递归描述,五、遍历算法的应用举例,顺着某一条搜索路径巡访二叉树中的结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。,一、问题的提出,“访问”的含义可以很广，如：输出结点的信息等。,“遍历”是任何类型均有的操作，对线性结构而言，只有一条搜索路径(因为每个结点均只有一个后继)，故不需要另加讨论。而二叉树是非线性结构，,每个结点有两个后继，则存在如何遍历即按什么样的搜索路径遍历的问题。,对“二叉树”而言，可以有三条搜索路径：,1先上后下的按层次遍历；2先左（子树）后右（子树）的遍历；3先右（子树）后左（子树）的遍历。,二、先左后右的遍历算法,先（根）序的遍历算法,中（根）序的遍历算法,后（根）序的遍历算法,若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）访问根结点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。,先（根）序的遍历算法：,-+a*b-c d/e f,若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）中序遍历左子树；（2）访问根结点；（3）中序遍历右子树。,中（根）序的遍历算法：,a+b*c-d-e/f,若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树；（3）访问根结点。,后（根）序的遍历算法：,a b c d-*+e f/-,三、算法的递归描述,void Preorder(BiTree T,void(*visit)(TElemType/遍历右子树,D L R,先序遍历序列：A B D C,先序遍历:,二叉树的先序遍历,四、中序遍历算法的非递归描述,BiTNode*GoFarLeft(BiTree T,Stack*S)if(!T)return NULL;while(T-lchild)Push(S,T);T=T-lchild;return T;,void Inorder_I(BiTree T,void(*visit)(TelemType/栈空表明遍历结束/while/Inorder_I,五、遍历算法的应用举例,1、统计二叉树中叶子结点的个数(先序遍历),2、求二叉树的深度(后序遍历),3、复制二叉树(后序遍历),4、建立二叉树的存储结构,1、统计二叉树中叶子结点的个数,算法基本思想:,先序(或中序或后序)遍历二叉树，在遍历过程中查找叶子结点，并计数。由此，需在遍历算法中增添一个“计数”的参数，并将算法中“访问结点”的操作改为：若是叶子，则计数器增1。,void CountLeaf(BiTree T,int/if/CountLeaf,2、求二叉树的深度(后序遍历),算法基本思想:,从二叉树深度的定义可知，二叉树的深度应为其左、右子树深度的最大值加1。由此，需先分别求得左、右子树的深度，算法中“访问结点”的操作为：求得左、右子树深度的最大值，然后加 1。,首先分析二叉树的深度和它的左、右子树深度之间的关系。,int Depth(BiTree T)/返回二叉树的深度 if(!T)depthval=0;else depthLeft=Depth(T-lchild);depthRight=Depth(T-rchild);depthval=1+(depthLeft depthRight?depthLeft:depthRight);return depthval;,3、复制二叉树,其基本操作为：生成一个结点。,根元素,T,左子树,右子树,根元素,NEWT,左子树,右子树,左子树,右子树,(后序遍历),BiTNode*GetTreeNode(TElemType item,BiTNode*lptr,BiTNode*rptr)if(!(T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode)exit(1);T-data=item;T-lchild=lptr;T-rchild=rptr;return T;,生成一个二叉树的结点(其数据域为item,左指针域为lptr,右指针域为rptr),BiTNode*CopyTree(BiTNode*T)if(!T)return NULL;if(T-lchild)newlptr=CopyTree(T-lchild);/复制左子树 else newlptr=NULL;if(T-rchild)newrptr=CopyTree(T-rchild);/复制右子树 else newrptr=NULL;newT=GetTreeNode(T-data,newlptr,newrptr);return newT;/CopyTree,A,B,C,D,E,F,G,H,K,D,C,B,H,K,G,F,E,A,例如：下列二叉树的复制过程如下：,newT,4、建立二叉树存储结构,不同的定义方法相应有不同的存储结构的建立算法,以字符串的形式 根 左子树 右子树定义一棵二叉树,例如:,A,B,C,D,以空白字符“”表示,A(B(,C(,),D(,),空树,只含一个根结点的二叉树,A,以字符串“A”表示,以下列字符串表示,Status CreateBiTree(BiTree/CreateBiTree,A B C D,A,B,C,D,上页算法执行过程举例如下：,A,T,B,C,D,按给定的表达式建相应二叉树,由先缀表示式建树例如：已知表达式的先缀表示式-+a b c/d e,由原表达式建树例如：已知表达式(a+b)c d/e,对应先缀表达式-+a b c/d e的二叉树,a,b,c,d,e,-,+,/,特点：操作数为叶子结点 运算符为分支结点,scanf(,由先缀表示式建树的算法的基本操作：,a+b,(a+b)c d/e,a+bc,分析表达式和二叉树的关系:,a,b,+,a,b,c,+,a,b,c,+,(a+b)c,a,b,c,d,e,-,+,/,基本操作:,scanf(,void CrtExptree(BiTree/CrtExptree,switch(ch)case(:Push(S,ch);break;case):Pop(S,c);while(c!=()CrtSubtree(t,c);/建二叉树并入栈 Pop(S,c)break;defult:/switch,while(!Gettop(S,c),建叶子结点的算法为：,void CrtNode(BiTree,建子树的算法为：,void CrtSubtree(Bitree,仅知二叉树的先序序列“abcdefg”不能唯一确定一棵二叉树，,由二叉树的先序和中序序列建树,如果同时已知二叉树的中序序列“cbdaegf”，则会如何？,二叉树的先序序列,二叉树的中序序列,左子树,左子树,右子树,右子树,根,根,已知一棵二叉树的先序、中序和后序序列如下：求出该二叉树先序序列：B F ICEH G中序序列：D KFIA EJC t后序序列：K FBHJ G A,解：ABDFKICEHJG DBKFIAHEJCG DKIFBHJEGCA,例子：课堂作业,a b c d e f g,c b d a e g f,例如:,a,a,b,b,c,c,d,d,e,e,f,f,g,g,a,b,c,d,e,f,g,先序序列中序序列,void CrtBT(BiTree else/CrtBT,T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode);T-data=preps;if(k=is)T-Lchild=NULL;else CrtBT(T-Lchild,pre,ino,ps+1,is,k-is);if(k=is+n-1)T-Rchild=NULL;else CrtBT(T-Rchild,pre,ino,ps+1+(k-is),k+1,n-(k-is)-1);,证明：一棵二叉树的前序序列和中序序列可以唯一的确定这棵二叉树。用归纳法证明：1、当 n=1时，结论显然成立；2、假定当 n=k 时，结论成立；3、当 n=k+1 时，假定前序序列为和中序序列分别为：a1，am 和 b1，bm,如中序序列中与前序序列a1相同的元素为bj。j=1时，二叉树无左子树，由 a2，am 和 b2，bm 可以唯一的确定二叉树的右子树；j=m时，二叉树无右子树，由 a2，am 和 b1，bm-1 可以唯一的确定二叉树的左子树；如2=j=m-1，则子序列 a2，aj 和 b1，bj-1唯一的确定二叉树的左子树；子序列aj+1，am 和 bj+1，bm唯一的确定二叉树的右子树,a1，a2，aj，aj+1，am,b1，bj-1，bj，bj+1，bm,唯一的确定左子树,唯一的确定右子树,个数相同,如果前序序列固定不变，给出不同的中序序列，可得到不同的二叉树。,前序序列：1，2，3，4，5，6，7，8，9 中序序列a：3，2，5，4，1，6，8，7，9 中序序列b：4，3，5，2，1，7，6，8，9,例如，有 3 个数据 1,2,3，可得5种不同的二叉树。它们的前序排列均为 123，中序序列可能是 123，132，213，231，321。,有0个,1个,2个,3个结点的不同二叉树如下,6.5线索二叉树,何谓线索二叉树？线索链表的遍历算法 如何建立线索链表？,一、何谓线索二叉树？,遍历二叉树的结果是，求得结点的一个线性序列。,A,B,C,D,E,F,G,H,K,例如:,先序序列:A B C D E F G H K,中序序列:B D C A H G K F E,后序序列:D C B H K G F E A,指向该线性序列中的“前驱”和“后继”的指针，称作“线索”,与其相应的二叉树，称作“线索二叉树”,包含“线索”的存储结构，称作“线索链表”,A B C D E F G H K,D,C,B,E,对线索链表中结点的约定：,在二叉链表的结点中增加两个标志域，并作如下规定：,若该结点的左子树不空，则Lchild域的指针指向其左子树，且左标志域的值为“指针 Link”；否则，Lchild域的指针指向其“前驱”，且左标志的值为“线索 Thread”。,若该结点的右子树不空，则rchild域的指针指向其右子树，且右标志域的值为“指针 Link”；否则，rchild域的指针指向其“后继”，且右标志的值为“线索 Thread”。,如此定义的二叉树的存储结构称作“线索链表”。,typedef struct BiThrNod TElemType data;struct BiThrNode*lchild,*rchild;/左右指针 PointerThr LTag,RTag;/左右标志 BiThrNode,*BiThrTree;,线索链表的类型描述：,typedef enum Link,Thread PointerThr;/Link=0:指针，Thread=1:线索,二、线索链表的遍历算法:,for(p=firstNode(T);p;p=Succ(p)Visit(p);,由于在线索链表中添加了遍历中得到的“前驱”和“后继”的信息，从而简化了遍历的算法。,例如:对中序线索化链表的遍历算法,中序遍历的第一个结点？,在中序线索化链表中结点的后继？,左子树上处于“最左下”（没有左子树）的结点。,若无右子树，则为后继线索所指结点；,否则为对其右子树进行中序遍历时访问的第一个结点。,void InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T,void(*Visit)(TElemType e)p=T-lchild;/p指向根结点 while(p!=T)/空树或遍历结束时，p=T while(p-LTag=Link)p=p-lchild;/第一个结点 Visit(p-data);while(p-RTag=Thread/p进至其右子树根/InOrderTraverse_Thr,在中序遍历过程中修改结点的左、右指针域，以保存当前访问结点的“前驱”和“后继”信息。遍历过程中，附设指针pre,并始终保持指针pre指向当前访问的、指针p所指结点的前驱。,三、如何建立线索链表？,void InThreading(BiThrTree p)if(p)/对以p为根的非空二叉树进行线索化 InThreading(p-lchild);/左子树线索化 if(!p-lchild)/建前驱线索 p-LTag=Thread;p-lchild=pre;if(!pre-rchild)/建后继线索 pre-RTag=Thread;pre-rchild=p;pre=p;/保持 pre 指向 p 的前驱 InThreading(p-rchild);/右子树线索化/if/InThreading,Status InOrderThreading(BiThrTree/InOrderThreading,if(!T)Thrt-lchild=Thrt;else Thrt-lchild=T;pre=Thrt;InThreading(T);pre-rchild=Thrt;/处理最后一个结点 pre-RTag=Thread;Thrt-rchild=pre;,6.6 树和森林 的表示方法,树的三种存储结构,一、双亲表示法,二、孩子链表表示法,三、树的二叉链表(孩子-兄弟）存储表示法,A,B,C,D,E,F,G,0 A-11 B 02 C 03 D 04 E 2 5 F 26 G 5,r=0n=6,data parent,一、双亲表示法:,typedef struct PTNode Elem data;int parent;/双亲位置域 PTNode;,data parent,#define MAX_TREE_SIZE 100,结点结构:,C语言的类型描述:,typedef struct PTNode nodes MAX_TREE_SIZE;int r,n;/根结点的位置和结点个数 PTree;,树结构:,A,B,C,D,E,F,G,0 A-11 B 02 C 03 D 04 E 25 F 26 G 4,r=0n=6,data firstchild,1 2 3,4 5,6,二、孩子链表表示法:,-1000224,typedef struct CTNode int child;struct CTNode*next;*ChildPtr;,孩子结点结构:,child next,C语言的类型描述:,typedef struct Elem data;ChildPtr firstchild;/孩子链的头指针 CTBox;,双亲结点结构,data firstchild,typedef struct CTBox nodesMAX_TREE_SIZE;int n,r;/结点数和根结点的位置 CTree;,树结构:,A,B,C,D,E,F,G,AB C E D F G,root,AB C E D F G,三、树的二叉链表(孩子-兄弟）存储表示法,typedef struct CSNode Elem data;struct CSNode*firstchild,*nextsibling;CSNode,*CSTree;,C语言的类型描述:,结点结构:,firstchild data nextsibling,将树转换成二叉树加线：在兄弟之间加一连线抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去除其与其余孩子之间的关系旋转：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45,树转换成的二叉树其右子树一定为空,森林和二叉树的对应关系,设森林 F=(T1,T2,Tn);T1=(root，t11,t12,t1m);,二叉树 B=(LBT,Node(root),RBT);,森林是由若干棵树构成的集合，若把森林中前一棵树的根结点看成是后一棵树的根结点兄弟，就可以导出森林与二叉树的转换。,由森林转换成二叉树的转换规则为:,若 F=，则 B=；否则，由 ROOT(T1)对应得到 Node(root)；由(t11,t12,t1m)对应得到 LBT；由(T2,T3,Tn)对应得到 RBT。,森林转换为二叉树,方法：将各棵树分别转成二叉树；把每棵树的根结点用线连起来；以第一棵树的根结点作为二叉树的根结点，按顺时针方向旋转。,由二叉树转换为森林的转换规则为：,若 B=，则 F=；否则，由 Node(root)对应得到 ROOT(T1)；由LBT 对应得到(t11,t12,，t1m)；由RBT 对应得到(T2,T3,Tn)。,由此，树的各种操作均可对应二叉树的操作来完成。,应当注意的是，和树对应的二叉树，其左、右子树的概念已改变为：左是孩子，右是兄弟。,6.7树和森林的遍历,一、树的遍历,二、森林的遍历,三、树的遍历的应用,树的遍历可有三条搜索路径:,按层次遍历:,先根(次序)遍历:,后根(次序)遍历:,若树不空，则先访问根结点，然后依次先根遍历各棵子树。,若树不空，则先依次后根遍历各棵子树，然后访问根结点。,若树不空，则自上而下自左至右访问树中每个结点。,A B C DE F G H I J K,先根遍历时顶点的访问次序：,A B E F C D G H I J K,后根遍历时顶点的访问次序：,E F B C I J K H G D A,层次遍历时顶点的访问次序：,A B C D E F G H I J K,B C DE F G H I J K,1森林中第一棵树的根结点；,2森林中第一棵树的子树森林；,3森林中其它树构成的森林。,森林由三部分构成：,1.先序遍历,森林的遍历,若森林不空，则访问森林中第一棵树的根结点；先序遍历森林中第一棵树的子树森林；先序遍历森林中(除第一棵树之外)其 余树构成的森林。,即：依次从左至右对森林中的每一棵树进行先根遍历。,中序遍历,若森林不空，则中序遍历森林中第一棵树的子树森林；访问森林中第一棵树的根结点；中序遍历森林中(除第一棵树之外)其 余树构成的森林。,即：依次从左至右对森林中的每一棵树进行后根遍历。,树的遍历和二叉树遍历的对应关系？,先根遍历,后根遍历,树,二叉树,森林,先序遍历,先序遍历,中序遍历,中序遍历,设树的存储结构为孩子兄弟链表,typedef struct CSNode Elem data;struct CSNode*firstchild,*nextsibling;CSNode,*CSTree;,一、求树的深度,二、输出树中所有从根到叶子的路径,*三、建树的存储结构,int TreeDepth(CSTree T)if(!T)return 0;else h1=TreeDepth(T-firstchild);h2=TreeDepth(T-nextsibling);/TreeDepth,return(max(h1+1,h2);,一、求树的深度的算法：,二、输出树中所有从根到叶子的路径的算法:,A B C DE F G H I J K,例如：对左图所示的树，其输出结果应为：,A B EA B FA CA D G H IA D G H JA D G H K,void AllPath(Bitree T,Stack/if(T)/AllPath,/输出二叉树上从根到所有叶子结点的路径,void OutPath(Bitree T,Stack/while/OutPath,/输出森林中所有从根到叶的路径,*三、建树的存储结构的算法:,和二叉树类似，不同的定义相应有不同的算法。,假设以二元组(F，C)的形式自上而下、自左而右依次输入树的各边，建立树的孩子-兄弟链表。,A,B,C,D,E,F,G,例如:,对下列所示树的输入序列应为:,(#,A)(A,B)(A,C)(A,D)(C,E)(C,F)(E,G),A,B,C,D,(#,A),(A,B),(A,C),(A,D),(C,E),可见，算法中需要一个队列保存已建好的结点的指针。,void CreatTree(CSTree/所建为根结点 else/非根结点的情况/for/CreateTree,GetHead(Q,s);/取队列头元素(指针值)while(s-data!=fa)/查询双亲结点 DeQueue(Q,s);GetHead(Q,s);if(!(s-firstchild)s-firstchild=p;r=p;/链接第一个孩子结点else r-nextsibling=p;r=p;/链接其它孩子结点,new 二叉分类树(二叉排序树),二叉分类树或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：,(1)左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；,(2)右子树上所有结点的值均大于等于它的根结点的值；,(3)根结点的左、右子树也分别为二叉分类树。,如何插入新结点 9?,右儿子为空,利用插入操作可以构造一棵二叉分类树,分类二叉树的应用:,快速、方便查找某个结点,实现二叉分类树的插入算法！,6.8 哈 夫 曼 树 与 哈 夫 曼 编 码,最优树的定义 如何构造最优树 前缀编码,一、最优树的定义,树的路径长度定义为：树中每个结点的路径长度之和。,结点的路径长度定义为：从根结点到该结点的路径上 分支的数目。,树的带权路径长度定义为：树中所有叶子结点的带权路径长度之和 WPL(T)=wklk(对所有叶子结点)。,在所有含 n 个叶子结点、并带相同权值的 m 叉树中，必存在一棵其带权路径长度取最小值的树，称为“最优树”。,例如：,2,7 9,7,5,4,9,2,WPL(T)=72+52+23+43+92=60,WPL(T)=74+94+53+42+21=89,5,4,根据给定的 n 个权值 w1,w2,wn，构造 n 棵二叉树的集合 F=T1,T2,Tn，其中每棵二叉树中均只含一个带权值 为 wi 的根结点，其左、右子树为空树；,二、如何构造最优树,(1),(赫夫曼算法)以二叉树为例：,在 F 中选取其根结点的权值为最 小的两棵二叉树，分别作为左、右子树构造一棵新的二叉树，并 置这棵新的二叉树根结点的权值 为其左、右子树根结点的权值之 和；,(2),从F中删去这两棵树，同时加入 刚生成的新树；,重复(2)和(3)两步，直至 F 中只 含一棵树为止。,(3),(4),9,例如:已知权值 W=5,6,2,9,7,5,6,2,7,5,2,7,6,9,7,6,7,13,9,5,2,7,6,7,13,9,5,2,7,9,5,2,7,16,6,7,13,29,0,0,0,0,1,1,1,1,00,01,10,110,111,最佳判定树 设有10000个百分制分数要转换，学生成绩等级分布如下：,哈夫曼树应用,指的是，任何一个字符的编码都不是同一字符集中另一个字符的编码的前缀。,三、前缀编码,利用赫夫曼树可以构造一种不等长的二进制编码，并且构造所得的赫夫曼编码是一种最优前缀编码，即使所传电文的总长度最短。,哈夫曼树及应用,哈夫曼编码 在进行数据通讯时，涉及数据编码问题。所谓数据编码就是数据与二进制字符串的转换。例如：邮局发电报：,例 要传输的原文为ABACCDA等长编码 A：00 B：01 C：10 D：11发送方：将ABACCDA ABACCDA,不等长编码 A：0 B：00 C：1 D：01发送方：将ABACCDA 转换成 000011010接收方：000011010 转换成,A的编码是B的前缀,设 A：0 B：110 C：10 D：111发送方：将ABACCDA 所得的译码是唯一的,前缀编码：任何字符编码不是其它字符编码的前缀,哈夫曼编码,思想：根据字符出现频率编码，使电文总长最短编码：根据字符出现频率构造Huffman树，然后将树中结点引向其左孩子的分支标“0”，引向其右孩子的分支标“1”；每个字符的编码即为从根到每个叶子的路径上得到的0、1序列,T:00;:01A:10C:110S:111,Huffman编码：数据通信用的二进制编码,编码：,ACEA 编码为 0110 1110 110 0110,如何译码？,1.从根结点出发，从左至右扫描编码，,2.若为 0 则走左分支，若为1 则走右分支，直至叶结点为止，,3.取叶结点字符为译码结果，返回重复执行 1,2,3 直至全部译完为止,A,C,E,A,译码：,例 电文是CAS;CAT;SAT;AT 电文为“1101000”译文只能是“CAT”,哈夫曼树及应用,可利用二叉树设计前缀编码：例 某通讯系统只使用8种字符a、b、c、d、e、f、g、h，其使用频率分别为0.05,0.29,0.07,0.08,0.14,0.23,0.03,0.11，利用二叉树设计一种不等长编码：1）构造以 a、b、c、d、e、f、g、h为叶子结点的二叉树；2）将该二叉树所有左分枝标记0，所有右分枝标记1；3）从根到叶子结点路径上标记作为叶子结点所对应字符的编码；,哈夫曼树及应用,a:0110b:10c:1110d:1111e:110f:00g:0111h:010,构造以字符使用频率作为权值的哈夫曼树,如何得到使二进制串总长最短编码,哈夫曼树及应用,1.熟练掌握二叉树的结构特性，了解相应的证明方法。2.熟悉二叉树的各种存储结构的特点及适用范围。3.遍历二叉树是二叉树各种操作的基础。实现二叉树遍历的具体算法与所采用的存储结构有关。掌握各种遍历策略的递归算法，灵活运用遍历算法实现二叉树的其它操作。层次遍历是按另一种搜索策略进行的遍历。,小 结,4.理解二叉树线索化的实质是建立结点与其在相应序列中的前驱或后继之间的直接联系，熟练掌握二叉树的线索化过程以及在中序线索化树上找给定结点的前驱和后继的方法。二叉树的线索化过程是基于对二叉树进行遍历，而线索二叉树上的线索又为相应的遍历提供了方便。,5.熟悉树的各种存储结构及其特点，掌握树和森林与二叉树的转换方法。建立存储结构是进行其它操作的前提，因此读者应掌握 1 至 2 种建立二叉树和树的存储结构的方法。6.学会编写实现树的各种操作的算法。7.了解最优树的特性，掌握建立最优树和哈夫曼编码的方法。,练习,深度为5的二叉树至多有()个结点。A16 B32 C31 D10具有10个叶子结点的二叉树中有 个度为2的结点。A8 B9 C10 D11将一棵有多个结点的完全二叉树从根这一层开始，每一层上从左到右依次对结点进行编号，根结点的编号为1，则编号为49的结点的左孩子编号为()。A98 B99 C50 D48,C,B,A,按照二叉树的定义，具有3个结点的二叉树有()种形态。A3B4 C5 D6某二叉树的先序序列和后序序列正好相反，则该二叉树一定是（）的二叉树。A空或只有一个结点 B高度等于其结点数 C任一结点无左孩子 D任一结点无右孩子,C,B,填空题,假定一棵二叉树的结点个数为50，则它的最小深度为_，最大深度为_。一棵树的后根序列与其转换的二叉树的_ 序列相同,先根序列与其转换的二叉树的_序列相同。具有400个结点的完全二叉树的深度为_。假定一棵二叉树的结点数为18，则它的最小深度为_，最大深度为_。,简答题,已知二叉树的后序和中序序列如下，画出该二叉树。后序序列：DEABFCR 中序序列：DAERBCF 已知二叉树的后序和中序序列如下，画出该二叉树。后序序列：ABCDEFG 中序序列：ACBGEDF,简答题,有7个带权结点，其权值分别为3，7，8，2，6，10，14，试以它们为叶子结点生成一棵哈夫曼树，画出相应的哈夫曼树(左子树根结点的权小于等于右子树根结点的权)。已知如下树林，画出对应的二叉树。,简答题,已知二叉树，画出中序的线索。,简答题,有一份电文中共使用五个字符：a、b、c、d、e,它们的出现频率依次为8、14、10、4、18，请构造相应的哈夫曼树(左子树根结点的权小于等于右子树根结点的权)，求出每个字符的哈夫曼编码。,