数学物理方法初值问题.ppt

1,如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现。-高斯,第三章 初值问题,本章基本要求,掌握达朗贝尔公式、泊松公式及其物理意义,掌握半无限长问题的延拓法求解,2,掌握非齐次方程问题的求解方法,3.1 弦振动方程,（一）齐次弦振动方程（达朗贝尔公式）,3,定解问题的提出,齐次方程可以写为：,我们解方程一般是希望解出通解，再根据条件得到特解，但偏微分方程的通解形式一般很难界定，也较难求。研究表明，对无界情况的定解问题（波动方程和热传导）可以求出通解，然后通过初始条件得到特解。,4,研究发现，当作变量代换,此时通过方程两边积分，即可求出方程的通解。,5,可满足前述要求，此时,(1)通解,对 积分：,两边再对积分：得到,6,积分常数依赖于,上式中f1为任意二次连续可微函数,7,同理交换积分顺序，同样可以得到,此时f2为任意二次连续可微函数,其中f1和f2均为任意二次连续可微函数,上式即为通解形式,确定待定函数的形式,无限长，即无边界条件,初始条件为,和,(2)达朗贝尔公式,8,即,上面第二式两端对x积分，得到,将上式和前面第一式联立，可求出,9,即,上式即为达朗贝尔公式,10,（3）物理意义,先考虑u2=f2（x-at）：,当t=t2（t2t1)时，u2=f2（x-at2）。,故波形 u2=f2（x-at）随着时间推移，以常速度a向x轴的正方向移动。我们称之为右行波。,当t=t1时，u2=f2（x-at1）；,同理 u1=f1（x+at）为一个以常速度a向x轴的负方向传播的行波。称为左行波。,故达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数a，故此方法又称为行波法。,从达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。而这种演化又受到边界条件的限制。这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性。,11,12,（4）依赖区间、决定区域、影响区域,从达朗贝尔公式还可以看出，解在点（x，t）的数值仅依赖于区间x-at,x+at上的初始条件，而与其他点上的初始条件无关。称x-at,x+at为点（x，t）的依赖区间，它是由过点（x，t）的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所截得的区间，如下图所示。,13,当t=0时，取x轴上的区间x1,x2，过点x1做斜率为1/a的直线x=x1+at，过点x2做斜率为-1/a的直线x=x2-at，两直线与区间x1,x2围成一个三角区域（如下图所示），该区域内的任一点（x，t）的依赖区间都落在x1,x2内，即解在这个区域内的数值完全由区间x1,x2上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称为区间x1,x2的决定区域。,14,若在区间x1,x2的两端作直线x=x1-at和x=x2+at，则经过时间t后，受x1,x2上初始扰动影响的区域为,在此区域外的波动不受x1,x2上初始扰动的影响，这个区域称为 x1,x2的影响区域。,15,从上面的讨论可以看出，直线族,在对波动方程的讨论中起着很重要的作用，我们称这两族直线为波动方程的特征线。,在特征线x+at=c1上，左行波u1=f1（x+at）的振幅取常数值f1（c1），同样在特征线x-at=c2上，右行波u2=f2（x-at）的振幅取常数值f2（c2），且这两个数值随特征线的移动（即常数c1和c2的改变）而改变，所以波动实际上是沿着特征线传播的。,（5）特征线及二阶线性偏微分方程的分类,16,我们把前面所用的变量代换称为特征变换，而行波法又称为特征线法。,很容易发现，特征线,是常微分方程,的积分曲线族。,故上面的方程又称为偏微分方程的特征方程。,17,对于一般的二阶线性偏微分方程,来说，它的特征方程为,这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程的特征曲线。可以看到，特征线仅与二阶导数项的系数有关，而与低阶项系数无关。,但是，并不是任意二阶线性偏微分方程都有两族实的特征线。,18,每一点不存在实的特征线,每一点仅有一条实的特征线,每一点有两条实的特征线,椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,拉普拉斯方程,热传导方程,波动方程,反映一些属于稳定、平衡状态的物理量的分布状况,反映一些快速消耗、扩散的物理量的分布状况,反映一些按一定速度扩散的、可逆的物理量的分布状况,（二）半无限长弦的自由振动,19,一端固定的弦,延拓法求解,第一类边界条件，作奇延拓,令,20,前述函数满足,21,则,22,当x=0时,23,（三）非齐次方程的解（强迫振动）,24,解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t),25,u1（x，t）和u2（x，t)分别满足,和,（零输入）,（零状态）,u1（x，t）可直接由达朗贝尔公式求得；,u2（x，t）由冲量原理（齐次化原理）求解；,冲量定理法的基本思想,将持续作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；,作用时间0t，,由叠加原理，可将持续力f（x，t）引起,26,的振动视为一系列前后相继的瞬时力f（x，）（0t）所引起的振动w（x，t；）的叠加：,将持续力引起的振动看成是瞬时力引起振动的叠加。,从物理的角度考虑，力对系统的作用对于时间的积累是给系统一定的冲量，短时间间隔内f（x、）对系统的作用为f（x、）*，表示为内的冲量，此冲量使系统的动量（速度）有一改变量（f（x、）是单位质量弦所受外力，动量在数值上等于速度）。将内速度的改变量看成在t=时刻一瞬间集中得到，在的其余时间认为没有冲量的作用（无外力作用）。,27,28,则内瞬时力f（x、）引起的振动的定解问题为,29,为了方便求解，可设w（x，t；）=v（x，t；）*,则v满足：,30,此时,31,设t=t-，则v满足：,由达朗贝尔公式有,数学检验：,初始条件：,积分号下的求导公式：,32,则,非齐次方程,33,以上这种用瞬态冲量的叠代替持续作用力来解决问题的方法，称为冲量原理。数学上称为齐次化原理。,所以有,齐次化原理求解过程小结：,34,设有定解问题为,齐次化原理不仅可用于非其次波动方程的初始值问题，还可用于混合问题及其他方程（如热传导方程）的定解问题。,例,35,解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t),u1（x，t）直接由达朗贝尔公式求出：,36,u2（x，t）由冲量原理（齐次化原理）求解；,3.2 一维热传导方程,（一）齐次方程（柏松公式）,37,定解问题的提出,（柏松公式）,38,物理意义,设细杆在x轴上，在杆上取一点x0，现假设初始温度分布为,而根据柏松公式，细杆温度分布为,39,根据当前条件，可以写为,由积分中值定理，有,40,41,故无穷长杆可以看成由无穷多个点组成，每个点有一个发出热量为Q的初始点热源。,（二）半无限长细杆问题的求解,42,一端绝热的细杆,延拓法求解,第二类边界条件，作偶延拓,令,43,其满足,44,此问题可直接由泊松公式求解,45,而当x=0时,（三）非齐次方程的解（内部有热源）,46,解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t),47,u1（x，t）满足,u1（x，t）可直接由泊松公式求解；,48,u2（x，t)满足,u2（x，t）由齐次化原理求解；,49,而u2（x，t;)满足,根据前面的解法，有,综合前面各式，求出u（x，t）,本章小结,50,初值问题（泛定方程+初始条件）,一维波动方程（达朗贝尔公式）,一维热传导方程（泊松公式）,无限长齐次方程,半无限长齐次方程,无限长非齐次方程,无限长齐次方程,半无限长齐次方程,无限长非齐次方程,51,无限长齐次方程,半无限长齐次方程,无限长非齐次方程,达朗贝尔公式或泊松公式,第一类齐次边界条件（奇延拓）,第二类齐次边界条件（偶延拓）,齐次方程+非零初始条件,非齐次方程+零初始条件,（零输入，达朗贝尔或泊松公式）,（零状态，齐次化原理）,+,作业：P150，习题2.1，1,52,求下列定解问题,