数学建模与系统仿真.ppt
2023/9/11,数学建模与系统仿真,主讲:许春根南京理工大学应用数学系,Tel:4315877(O)Email:Web:Http:/,2023/9/11,预备知识:微积分(或高等数学)、线性代数、微分方程、概率论、计算机基础等。参考书:数学模型(第二版)姜启源编 高等教育出版社,2023/9/11,第1章 建立数学模型1.概要,什么是数学模型？,概括地说：就是用数学语言和方法对实际问题的抽象和描述。,2023/9/11,数学模型、数学建模及其过程:,数学模型(Mathematical Model)：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。,2023/9/11,数学建模(Mathematical Modelling)：,把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。,2023/9/11,一个好的数学模型应该具备：,1、对所给问题有较全面的考虑,列举主因素。选取主因素计入模型。考虑其他因素的影响，对模型进行修正,2023/9/11,一个好的数学模型应该具备：,2、创造性地改造已有模型或自创新的模型,2023/9/11,一个好的数学模型应该具备：,3、注重结果分析，考虑其在实际中的合理性,2023/9/11,一个好的数学模型应该具备：,4、善于对模型进行检验,2023/9/11,一个具体模型的建立步骤：,在了解有关背景知识的基础上分析问题进行合理的假设模型的建立,分析问题，阐明建模的依据采用适当的数学方法进行模型设计,优化模型微分方程模型统计分析模型插值与拟合模型,2023/9/11,一个具体模型的建立步骤：,模型求解及结果的分析模型的检验,稳定性和敏感性分析统计检验和误差分析新旧模型的对比实际可行性检验,一般借助于数学软件.如：MatlabMathematicaMaple,2023/9/11,一个具体模型的建立步骤：,模型的改进、推广及优缺点分析,我们在后面学习的数学建模中将按照这些要求来做,2023/9/11,实际问题,进行抽象、简化、假设确定变量和参数、明确目标,建立数学模型、求出数学解,用实际统计数据、资料进行比较,与实际相符合吗,交付使用、产生社会及经济效益,否,是,2023/9/11,数学建模的几个过程：,模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程。模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。,2023/9/11,数学建模中要注意的几个问题,数学建模的意义在于用数学工具来解决实际问题，因此建模的目标要十分清楚并保持适度水平；学习建模要不怕出错和失败，要大胆尝试，勇于实践；数学模型必须接受检验，比较符合实际才算是成功的；在模型成功之后进一步假设来改进模型，使模型更好；建立数学模型常用到许多其它学科，所需数学手段也多种多样。,2023/9/11,按模型的应用领域分类：,生物数学模型 医学数学模型 地质数学模型 数量经济学模型 数学社会学模型,2023/9/11,按是否考虑随机因素分类：,确定性模型 随机性模型,静态模型 动态模型,按是否考虑模型的变化分类：,2023/9/11,按应用离散方法或连续方法分类：,离散模型 连续模型,2023/9/11,按建立模型的数学方法分类：,几何模型 微分方程模型 图论模型 规划论模型 马氏链模型,2023/9/11,按人们对是物发展过程的了解程度分类：,白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。,2023/9/11,数学建模竞赛:,数学建模竞赛的特点是题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化加工而成，对数学知识要求不深，一般没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。由于竞赛是由三名大学生组成一队，在三天时间内分工合作，共同完成一篇论文，因而也培养了学生的合作精神。,2023/9/11,竞赛活动介绍:,全国大学生数学建模竞赛 China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling(CUMCM)http:/国际大学生数学建模竞赛The Mathematical Contest in Modeling(MCM)http:/,2023/9/11,尽管数学建模已有了很久的历史，数学建模课程却还是很年轻的一门课程。在70年代末和80年代初，英国著名的剑桥大学专门为研究生开设了数学建模课程，差不多同时，欧美一些发达国家开始把数学建模的内容列入研究生、大学生以至中学生的教学计划中去，并于1983年开始举行两年一度的“数学建模教学和应用国际会议”进行定期交流。数学建模教学及其各种活动发展异常迅速，成为当代数学教育改革的主要方向之一。,2023/9/11,24,数学软件介绍,数学建模一般借助于数学软件.如：Mathematica、Matlab、SAS、MathCADMaple,2023/9/11,Mathematica3.0,4.0窗口简介,2023/9/11,Mathematica 2.1窗口简介,2023/9/11,Mathematica的画图功能,2023/9/11,数学软件的种类及其特点,通用符号计算软件通用数值运算软件专业软件计算程序库教学、演示类软件,符号计算软件,MathematicaReduceMapleMuMathDeriveEureke,数值运算软件,MATLABMathCAD,专业软件,统计软件：SAS、SPSS有限元计算：ANSYS、SAP球体几何及大地测量：Spheric神经网络：Neural Work Professional.,程序库,早期的FORTRAN计算库Numerical Recipes 通用C语言数值计算程序库一些专业计算包（非特定语言）,其他教育软件,MathCADSmathMath Extra.,数学软件在教学中的应用,大规模运算数值实验辅助教学,一个用计算机做数学的系统,MATHEMATICA,Mathematica,Mathematica的基本功能,数值运算（Numeric Computation）符号运算（Algebric Computation）图像处理（Graphics）语言功能（Programing Language),2023/9/11,Mathematica在数学建模中的应用举例,迭代计算与绘图求最大、最小值复杂积分的计算微分方程的求解方程组)的求解、矩阵运算,2023/9/11,Matlab6.0窗口简介,2023/9/11,MATLAB是基于矩阵的一种计算工具，它已经成为世界各国高校和研究人员中最为流行的软件之一。它提供了丰富可靠的矩阵运算、数据处理、图形绘制、图像处理等便利工具，并且由于Matlab的广泛应用，很多理论的创始人在MATLAB上开发了相关的工具箱，现在MATLAB附带的各方面工具箱有：控制系统、通讯、符号运算、小波计算、偏微分方程、数据统计、图像、金融、LMI控制、QFT控制、数字信号处理、模糊控制、模型预估控制、频域辨识、高阶谱分析、统计学、非线性控制系统、图像处理、神经元网络、m 分析、信号处理、插值、优化、鲁棒控制、控制系统设计、系统辨识等等，并且MATLAB提供了图形化的时域仿真程序-Simulink，在高校中还开发有：振动理论、化学统计学、语音处理等等方面的工具箱。,2023/9/11,使用MATLAB，工作效率可能有成百上千倍的提高，使得研究工作真正是在做研究，而不是在编程。使用MATLAB大大简化了学习和研究中编程量，比如：使用C或者Fortran编写一个优化的程序，一般需要几百行或者几千行的程序，并且在首次写程序时还可以能需要大量的时间来调试这个程序，当这个程序能够运行时，可能花费掉一个星期或者更长的时间，而下一次在进行另一种优化方法的运算时，需要同样的时间工作，也就是说，使用这些语言编程时，大量时间花在了编程序上，而不是研究人员应当做的思考工作，大大降低了工作效率。如果使用MATLAB编程，一个优化程序只需要10行以下的程序，因此基本不会出现错误，这样在1分钟左右就完成了编程，并且马上就可以运行看到结果，如果想改变优化算法，只需要把优化的函数名改掉就可以了，也就是说使用MATLAB，工作效率可能有成百上千倍的提高，使得研究工作真正是在做研究，而不是在编程。,
