数学建模(方红)教学课件18.微分方程.ppt

数学建模,微分方程模型,华中农业大学数学建模基地,微分方程模型,华中农业大学数学建模基地,微分方程模型,华中农业大学数学建模基地,在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。,模型的使用背景,微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就需要求解微分方程。,微分方程建模是数学建模的重要方法，在科技工程，经济管理，生态环境，人口，交通等领域中有着广泛的应用。,华中农业大学数学建模基地,微分方程模型的建立方法,根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。,华中农业大学数学建模基地,微分方程模型的建立方法,模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。,华中农业大学数学建模基地,案例分析,缉私问题 一艘缉私舰雷达发现距c km处有一艘走私船正以匀速 a km/min沿直线行驶。缉私舰立即以最大的速度 b km/min追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。,华中农业大学数学建模基地,缉私问题,模型建立,建立如右坐标系，缉私船在(c,0)处发现走私船在(0,0)处，走私船逃跑方向为y轴方向。在t时刻，走私船到达R(0,at)，缉私舰到达D(x,y),华中农业大学数学建模基地,缉私问题,根据题意有如下关系式,化简得：,（1）,（2）,华中农业大学数学建模基地,将（2）代入（1）得：,模型求解：,1)求解析解,（1）当，,缉私问题,华中农业大学数学建模基地,当x=0时，,缉私问题,华中农业大学数学建模基地,c=3km，a=0.4(km/min)，分别取b=0.6,0.8,1.2(km/min)，缉私艇追赶路线图形如下：,缉私问题,华中农业大学数学建模基地,2）求数值解,缉私问题,华中农业大学数学建模基地,2.zhui.mx,y=ode23(zhuiji,500,1,0,0);%调用ode23求解器求解方程组plot(x,y(:,1)%画出图形,运行结果如右图：,缉私问题,华中农业大学数学建模基地,人口增长模型,据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今却不足200万年.纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿.经过漫长的过程到1830年，人口总数达10亿，又经过100年，在1930年，人口总数达20亿；30年之后，在1960年，人口总数为30亿；又经过15年，1975年的人口总数是40亿，12年之后即1987年，人口已达50亿.我们自然会产生这样一个问题：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律.,华中农业大学数学建模基地,英国人口学家Malthus,模型假设,人口自然增长率 r 为常数即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比。,模型建立,1.指数增长模型,人口以几何级数增加！,人口增长模型,华中农业大学数学建模基地,模型分析,人口将按指数规律无限增长！,人口将始终保持不变！,人口将按指数规律减少直至绝灭！,模型求解,人口增长模型,华中农业大学数学建模基地,Malthus模型预测美国人口,华中农业大学数学建模基地,Malthus模型预测美国人口,华中农业大学数学建模基地,Malthus模型预测的优缺点,华中农业大学数学建模基地,2.阻滞增长模型,假设人口增长率 r(t)是 t 时刻人口 x(t)的减函数：,其中，xm 为考虑到受自然资源和环境条件限制所能容纳的最大人口数量,（称最大人口容量）,模型假设,模型建立,人口增长模型,华中农业大学数学建模基地,模型分析（定性分析）,人口将递减并趋向于xm！,人口将始终保持xm不变！,人口将递增并趋向于xm！,无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！,模型求解,人口增长模型,华中农业大学数学建模基地,人口增长模型,华中农业大学数学建模基地,阻滞增长模型预测美国人口,华中农业大学数学建模基地,阻滞增长模型预测美国人口,华中农业大学数学建模基地,阻滞增长模型预测的优缺点,华中农业大学数学建模基地,利用MATLAB求解Malthus模型和Logistic模型，预测美国人口数量，程序如下所示：,k=197.273;%xm=197.273r=0.03134;%r=0.03134t=0:10:160;%时间间隔为10年n0=3.929;n1=3.929 5.308 7.240 7.638 12.866 17.069 23.192 31.443 38.558 50.156 62.948 75.995 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697;%实际统计资料n2=n0*exp(r*t);%Malthus模型n3=k./(1+(k/n0)-1).*exp(-r.*t);%Logistic模型t=t+1790;plot(t,n1,k*-,t,n2,go-,t,n3),华中农业大学数学建模基地,运行结果,黑色星号-Logistic模型预测值，绿色圆圈-Malthus模型预测值，蓝色曲线为实际统计值。,华中农业大学数学建模基地,传染病模型,随着卫生设施的改善，医疗水平的提高及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到了有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄地向人类袭来，20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来了极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程、分析受感染人数的变化规律、探索制止传染病蔓延的手段等，一直是有关专家关注的一个热点问题。,华中农业大学数学建模基地,已感染人数(病人)i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,传染病模型,华中农业大学数学建模基地,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病,建模,日接触率,SI 模型,传染病模型,华中农业大学数学建模基地,模型2,传染病模型,华中农业大学数学建模基地,tm传染病高潮到来时刻,(日接触率)tm,t=tm,di/dt 最大,传染病模型,华中农业大学数学建模基地,传染病模型II的函数图像,?,华中农业大学数学建模基地,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为,日治愈率,建模,日接触率,1/感染期,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,传染病模型,华中农业大学数学建模基地,编写MATLAB程序如下：y=dsolve(Dy=0.01*y*(1-y)-0.05*y,y(0)=0.7,x);%ezplot(y,0,120)y2=dsolve(Dy=0.3*y*(1-y)-0.15*y,y(0)=0.7,x);y3=dsolve(Dy=0.3*y*(1-y)-0.15*y,y(0)=0.3,x);figure,ezplot(y2,0,25);figure,ezplot(y3,0,25),传染病模型,华中农业大学数学建模基地,传染病模型,不难看出，接触数=1 阈值,华中农业大学数学建模基地,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/,建模,需建立 的两个方程,传染病模型,华中农业大学数学建模基地,模型4,SIR模型,华中农业大学数学建模基地,MATLAB程序如下：ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0)%调用ode45求解ill方程组plot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,%画出健康者和病人的变化曲线figure,plot(x(:,2),x(:,1),grid%画出相图function y=ill(t,x)%函数ill，表示模型IVa=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2);,传染病模型,华中农业大学数学建模基地,画出健康者和病人的变化曲线,华中农业大学数学建模基地,结论：在初始时刻健康者和病人百分比的总和为1；病人的数量先增加然后下降，说明在某时刻传染病得到抑制；而治愈的人群退出此系统，所以最后系统的人群数量为0；这时所有的人群均是免疫者。,传染病模型,华中农业大学数学建模基地,意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？,他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.,地中海鲨鱼问题,华中农业大学数学建模基地,地中海鲨鱼问题,华中农业大学数学建模基地,地中海鲨鱼问题,华中农业大学数学建模基地,模型（二）考虑人工捕获,设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2+e,设战前捕获能力系数e=0.3,战争中降为e=0.1,则战前与战争中的模型分别为:,地中海鲨鱼问题,华中农业大学数学建模基地,实线为战前的鲨鱼比例，“*”线为战争中的鲨鱼比例,结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！,地中海鲨鱼问题,华中农业大学数学建模基地,微分方程模型稳定性,华中农业大学数学建模基地,常微分方程模型平衡点的稳定性,华中农业大学数学建模基地,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,华中农业大学数学建模基地,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,易知 x0也是方程(4-2)的平衡点.(4-2)的通解为,关于x0是否稳定有以下结论：,这个结论对于(4-1)也是成立的.,华中农业大学数学建模基地,微分方程组的平衡点的稳定性,华中农业大学数学建模基地,如果,则称平衡点P0是稳定的.,微分方程组的平衡点的稳定性,华中农业大学数学建模基地,判别平衡点P0是否稳定的判别准则.,则当p0且q0时，平衡点P0是稳定的；当p0或q0时，平衡点P0是不稳定的.,微分方程组的平衡点的稳定性,华中农业大学数学建模基地,稳定性模型,建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,华中农业大学数学建模基地,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及 分析,在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。,背景,实例：捕鱼业的持续收获,华中农业大学数学建模基地,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,r固有增长率,N最大鱼量,h(x)=Ex,E捕捞强度,x(t)渔场鱼量，,产量模型,华中农业大学数学建模基地,稳定性判断,x0 稳定,可得到稳定产量,x1 稳定,渔场干枯,E捕捞强度,r固有增长率,产量模型,华中农业大学数学建模基地,产量模型最大产量,图解法,P的横坐标 x0平衡点,P的纵坐标 h产量,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,华中农业大学数学建模基地,效益模型,假设,鱼销售价格p,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,稳定平衡点,求E使R(E)最大,渔场鱼量,收入 T=ph(x)=pEx,支出 S=cE,