数字控制器的直接设计.ppt

第4章 数字控制器的直接设计,4.1 最少拍无差系统的设计 4.2 最少拍无波纹系统的设计*4.3 W变换法设计 4.4 纯滞后对象的控制算法 大林算法 习题4,第四章 数字控制器的直接设计,数字控制系统直接设计法基本原 理：,如图41所示的离散控制系统中，GC（s）为被控对象,为广义对象的脉冲传函，D（z）为被设计的数字控制器。,其闭环传函为(41)由式（41）得（42）,在已知对象特性前提下，设计步骤是：1求得带零阶保持器的被控广义脉冲传函G（z）。2根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件构造闭环z传函（z）。3根据式（42）确定数字控制器的传函D（z）。4由D（z）确定控制算法并编制程序。,第一节 最少拍无差系统的设计,最少拍无差系统是指在典型的控制输入信号作用下能在最少几个采样周期内达到稳态无静差的系统，其闭环z传函具有如下形式：（z）=m1z-1+m2z-2+mnz-n n为可能情况下的最小正整数。闭环系统的脉冲响应在n个采样周期后变为0。即系统在n拍后到达稳态。对最少拍控制系统设计的要求：（1）准确性：对于典型输入，在到达稳态后，系统的采样点上的输出值准确跟踪输入，无静差。（2）快速性：系统准确跟踪输入信号所需的采样周期数应为最少。（3）稳定性：D（z）必须在物理上可实现，且闭环系统必须是稳定的。,一典型输入下最少拍系统的设计方法,由图41，系统误差传函e（z）为(44)根据准确性要求，系统无稳态误差，而(45),因为：,所以，典型输入的一般形式可表示为：,A（z）为不包含（1-z-1）因子的关于z-1的多项式,为使稳态误差为0，e（z）必须含有因子（1-z-1）q，即,根据终值定理有,其中 pq，q为对应于典型输入函数R（z）中分母（1-z-1）因子的阶次。F（z）是不包含零点z=1的z-1的多项式。,根据快速性要求，有 p=q，F（z）=1对于典型输入，有 e（z）=（1-z-1）q（411）（z）=1-e（z）=1-（1-z-1）q（412）,在已知对象特性前提下，设计步骤是：1求得带零阶保持器的被控广义脉冲传函G（z）。2根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件构造闭环z传函（z）。3根据式（42）确定数字控制器的传函D（z）。4由D（z）确定控制算法并编制程序。,复习,最少拍无差系统的设计,对最少拍控制系统设计的要求：（1）准确性：对于典型输入，在到达稳态后，系统的采样点上的输出值准确跟踪输入，无静差。（2）快速性：系统准确跟踪输入信号所需的采样周期数应为最少。（3）稳定性：D（z）必须在物理上可实现，且闭环系统必须是稳定的。根据快速性要求，对于典型输入，有 e（z）=（1-z-1）q（411）（z）=1-e（z）=1-（1-z-1）q（412）,复习,1单位阶跃输入,调节器模型：,最少拍设计的输出响应：,用长除法展开，有,可见滞后一拍即能跟随输入，满足最少拍无差设计要求。,2单位速度输入,调节器模型：,最少拍设计的输出响应：,可见滞后两拍即能跟随输入。,3单位加速度输入,调节器模型：,最少拍设计的输出响应：,可见经过三拍即能跟随输入。,二最少拍控制器的可实现性和稳定性要求（一）物理上的可实现性要求 当前的输出信号只与当前的输入信号、以前的输入/输出信号有关，而与将来的输入信号无关。也即要求控制器的z传函D（z）中不能有z的正幂项。D（z）一般表达式为 上式要求 nm，且a00。若被控对象G（z）含有纯滞后z-p，根据式（42）求取D（z），D（z）将含有因子 zp，故不能实现。为实现控制，（z）必须含有z-p，即把纯滞后保留，此时（z）=z-p（m1z-1+m2z-2+mlz-l）这样的最少拍控制器才是可实现的。,（二）稳定性要求 在最少拍系统中，不仅要保证输出量在采样点上是稳定，还要保证控制变量收敛，才能使闭环系统在物理上真正稳定。由图41可导出 R(Z)(Z)=U(Z)G(Z)=C(Z)被控对象G（z）所有的零、极点都在单位圆内，系统是稳定的。若G（z）有在单位圆上和圆外的零、极点，即G（z）和U（z）含有不稳定极点，则控制变量u的输出也会不稳定。,可看出，在闭环传函中，一般D（z）总是和G（z）成对出现，但不能用D（z）的零极点去抵消G（z）中单位圆上或圆外的零极点。因为如要使G（z）在单位圆上或圆外的零点抵消，D（z）分母里必然含有相应的不稳定极点，则D（z）不稳定。又如D（z）抵消了G（z）的不稳定极点，则D（z）必然包含相应的单位圆上或圆外的零点。实际控制中，存在对系统参数辨识的误差及参数受外界环境影响及随时间的变化，这类抵消不可能准确实现，系统不能真正稳定。,由式（41）,可知，要避免G（z）在单位圆上或圆外的零极点与D（z）的零极点抵消，则须满足以下稳定性约束条件：1当G（z）有单位圆上或圆外的零点时，在（z）表达式中应把这些零点作为其零点保留。2当G（z）有单位圆上或圆外的极点时，在e（z）表达式中应把这些极点作为其零点保留。,z-m为广义对象中纯滞后因子，当对象中不含纯滞后因子时m=1，否则m1。u为广义对象单位圆上或圆外的零点数。v为广义对象单位圆上或圆外的极点数。G1（z）是广义对象传函中不含单位圆上或圆外的零极点，和不包含纯滞后环节的部分。,三最少拍快速有波纹系统设计的一般方法 设广义对象的脉冲传函：,1设定e（z），把G（z）中单位圆上或圆外的极点作为自己的零点，即 F1（z）是关于z-l多项式，且不包含G（z）中不稳定极点ai。2设定（z），把G（z）中单位圆上或圆外的零点作为自己的零点，即 F2（z）是关于z-l多项式，且不包含G（z）中在单位圆上或圆外的零点bi。,综合考虑系统的准确性、快速性和稳定性要求，闭环脉冲传函（z）必须选择为（438）,由准确性条件知，包含有 的因子；由稳定性条件知，必须包含 的因子。,考虑上述条件后，数字控制器中不再包含G（z）在单位圆上或圆外的零极点，在物理上具有可实现性。即,当G（z）中有z=1的极点时，稳定性条件与准确性条件一致，即q个方程中第一个与v个方程中的（ai）ai=1=1相同，因此，式（438）中待定系数的数目必然小于（q+v）个，即（z）的设计要作一定的降阶处理。也可分别列出（z）和e（z）的表达式，利用（z）=1-e（z）的关系，根据等式两端有关z-1的多项式系数相等的原则求待定系数。,最少拍快速有波纹系统的设计：已知：ai和bi是G(z)在单位圆上和圆外的极点零点。综合考虑系统的准确性、快速性和稳定性要求，对 和 必须选择为：,有波纹系统：,若输入为单位速度信号q=2,单位阶跃信号输入q=1m=1，u=1，v=2，w=2,例1：有如图4-4所示计算机系统，其被控对象传函为,已知：K=10s-1，T=Tm=1s，输入为单位速度函数，试设计快速有波纹系统的D（z）。,显然,u=0，v=1，m=1，q=2,解：,代入已知条件得,根据稳定性要求,G（Z）中z=1的极点应包含在e（z）的零点中；单位速度输入时,由准确性知e（z）必须包含（1-Z-1）2准确性条件中已满足稳定性条件,故（z）可降一阶设计：由式（439）得 解得 也可由待定系数法解得,闭环脉冲传函为所以 即为所求的数字控制器的脉冲传函。系统输出为 数字控制器的输出为,四最少拍控制系统的局限性 1系统的适应性差：当是按单位速度输入设计时，有（z）=2z-1-z-2 当用单位阶跃输入时系统输出为C（z）=R（z）（z）=2z-1+z-2+z-3 输出序列如图46a所示。由图可知，系统要2拍才能达到期望值，已不是最少拍，且第一拍输出幅值为2，超调为100%。单位加速度输入时，系统输出为 当T=1时，到达稳态后存在静差e=1。,2对参数变化的灵敏度大：最少拍设计是在结构和参数不变的条件下得到的理想结果，系统在z=0处有重极点，z=0的重极点对系统参数变化的灵敏度可为无穷大。因此，当系统的结构和参数发生变化时，系统的性能指标将受到严重影响。3控制作用易超出限定范围：按最少拍原则设计的系统是时间最优系统。4在采样点之间有波纹：最少拍设计只在采样点上保证稳态误差为0。许多情况下，系统在采样点之间呈现波纹，甚至会振荡发散，这实际上系统是不稳定的。,最少拍无波纹设计要求是：系统在典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期后达到稳态，且输出在采样点之间没有波纹。一波纹产生的原因及设计要求 按上一节所述设计的最少拍控制器，系统输出在采样点之间存在波纹，是由控制量输出序列的波动引起的。如果经过有限个周期，能使u（k）稳定下来，系统输出就不会产生波纹了。设广义对象的脉冲传函G（z）是关于z-1的有理分式,第二节 最少拍无波纹系统的设计,则有 P（z）和Q（z）分别是G（z）的零点多项式和极点多项式。要使控制量在稳态过程中为0或者为常数，则必须使 即 为关于z-1的有限多项式，此时（z）必须包含G（z）的分子多项式P（z），即包含G（z）的全部零点（单位圆内、上和圆外），即（z）=P（z）A（z）A（z）是关于z-1的多项式。设计要求：除满足最少拍有波纹系统的一切要求，还须使（z）包含G（z）的所有零点。这样增加了调节时间，增加的拍数等于G（z）在单位园内的零点数。,二设计无波纹系统的必要条件 必要条件是：被控对象GC（s）中必须含有无波纹系统所必需的积分环节数。例如，针对单位速度输入函数进行设计，为了使得在常值的控制信号作用下，系统输出也是所要求的单位速度变化量，GC(s)的传递函数必须至少有一个积分环节。,三最少拍无波纹系统（z）的一般确定方法 选择闭环脉冲传函（z）为(4-43)m为广义对象G（z）的滞后环节；q对于阶跃、速度、加速度输入分别取1、2、3；v为G（z）单位圆上和圆外的极点数；b1、b2、bw为G(z)的所有w个零点。,式（443）中，q+v个待定系数由下列q+v个方程来确定（444）也可利用（z）=1-e（z）的关系，根据等式两端有关z-1的多项式系数相等的原则求待定系数。,m=1,q=2,u=0，v=1,w=1,例：设G(z)已知，若针对单位速度输入，试确定快速有波纹系统和无波纹系统的(z)和e(z),有波纹系统：,无波纹系统：,q+v-1-1m+u-1,q+v-1-1m+w-1,例2：例4-1中，试针对单位速度输入函数设计最少拍无波纹系统的D（z）。解：GC（s）中有一个积分环节，满足无波纹系统设计的必要条件。由例4-1知,系统的广义脉冲传函为已知：v=1，w=1,m=1 单位速度输入,q=2,G(z)有z=1的极点,所以稳定性条件已包含在准确性条件中,可进行降阶设计。由式（443）可设,由式（444）或待定系数法求得所以 数字控制器的脉冲传函为闭环系统的输出序列为,数字控制器的输出序列为 可见,在第三拍后U(z)为常数,系统输出无波纹。系统的数字控制器和系统的输出波形如图47所示。,最少拍快速有波纹系统的设计：已知：ai和bi是G(z)在单位圆上和圆外的极点零点。综合考虑系统的准确性、快速性和稳定性要求:,针对GC（s），m是纯滞后环节，u为单位圆上和圆外的零点个数，v为单位圆上和圆外的极点个数，q为典型输入信号分母上(1-z-1)因子的阶次。,最少拍快速无波纹系统的设计：已知：bi是G(z)在单位圆上、圆内和圆外的零点，ai是G(z)单位圆上和圆外的极点。综合考虑系统的准确性、快速性和稳定性以及无波纹要求：,针对GC（s），m是纯滞后环节，w为单位圆上、圆外、圆内的零点个数，v为单位圆上和圆外的极点个数，q为典型输入信号分母上(1-z-1)因子的阶次。,m=1,q=2,u=0，v=1,w=1,例：设G(z)已知，若针对单位速度输入，试确定快速有波纹系统和无波纹系统的(z)和e(z),有波纹系统：,无波纹系统：,q+v-1-1m+u-1,q+v-1-1m+w-1,P132习题1，T=0.2S，r(t)=t,有波纹系统：,无波纹系统：,m=1,q=2,u=1，v=1,w=2,最少拍快速有波纹系统的设计：已知：ai和bi是G(z)在单位圆上和圆外的极点零点。综合考虑系统的准确性、快速性和稳定性要求:,复习,最少拍快速无波纹系统的设计：已知：bi是G(z)在单位圆上、圆内和圆外的零点，ai是G(z)单位圆上和圆外的极点。综合考虑系统的准确性、快速性和稳定性以及无波纹要求：,复习,第四节 纯滞后对象的控制算法大林算法,一大林算法的设计目标 以大林算法为模型的数字控制器，使闭环系统的特性为具有时间滞后的一阶惯性环节，且滞后时间与被控对象的滞后时间相同。,设=NT，N为正整数。,大林算法的设计思路：,假设：,采用零阶保持器，且采样周期T。,被控对象为带有纯滞后的一阶惯性环节,被控对象为带有纯滞后的二阶惯性环节,二振铃现象及其抑制 例4-3：已知被控对象的传函为：，T=1s，试用大林算法求数字控制器的D（z）。解：设期望闭环系统为时间常数T=2s的一阶惯性环节，并带有N=1个采样周期的纯滞后。这里，被控对象的滞后时间不是采样周期的整数倍。广义对象的脉冲传函为：系统的闭环脉冲传函为：,数字控制器的传函为：当输入为单位阶跃信号时，输出是：控制量输出是,引起振荡,削弱振荡,（1）对象为一阶滞后惯性环节：若滞后时间是采样周期的整数倍，G（z）不会出现左半平面的实数零点，不会产生振铃现象；若滞后时间不是采样周期的整数倍，G（z）有可能出现左半平面的实数零点，可能产生振铃现象。（2）对象为二阶滞后惯性环节：G（z）中总会有一个在单位圆内负实轴上的零点，必定会产生振铃现象，且采样周期越小，振铃的幅值越大。大林提出修正算法：令数字控制器中产生振铃现象的极点（左半平面上接近-1的极点）的因子中的z=1，就可消除振铃现象。根据终值定理，系统的稳态输出可保持不变。,例4-4：设被控对象的传函为，采样周期T=0.5s，期望闭环传函的一阶惯性环节时间常数T=0.5s，试按大林算法设计其数字控制器的D（z）。解：1求系统的广义对象脉冲传函G（z）,以T=05代入得 2求系统的闭环脉冲传函（z）T=0.5，T=0.5，N=2.5/0.5=5，代入上式得,3判别是否会出现振铃现象令 则 对于单位阶跃输入，其控制量输出为 显然，控制量U（z）的输出正负上下摆动，有振铃现象。因为Ku（z）中有z=-0858这个靠近z=-1的极点。,4求数字控制器的D（Z）在上式分母中，令式 中的，得到 验算 可见，控制量的输出按一个方向逐步衰减，消除了振铃现象。,消除振铃的方法：先找出数字控制器中产生振铃现象的极点，令其中z=1。,例：一阶近似控制系统大林控制器为,1+0.738=1.738 代替 1+0.738z-1 项,