数字信号处理信号的频率分析.ppt

第4章 信号的频域分析 傅里叶变换和傅里叶级数是LTI系统分析与设计中非常有用的工具。信号的频域表示:用正弦信号（或复指数信号）作为分量来分解(或表示)信号。对周期信号，这种分解称为傅里叶级数。对有限能量信号，这种分解称为傅里叶变换。LTI系统的线性性意味着当输入为正弦分量的线性组合时，输出信号在形式上也是正弦信号的线性组合，差别仅仅在于各分量的幅度和相位有所不同。LTI系统的特征表明信号的正弦分解是非常重要的。,第4章 信号和系统的频率分析 4.1 连续时间信号的频率分析 4.2 离散时间信号的频率分析4.3 频域和时域的信号特性 4.4 离散时间信号傅里叶变换的性质4.5 小结和参考文献,4.1 连续时间信号的频率分析利用玻璃棱镜(a)分析和(b)综合白光(太阳光).1672年牛顿在写给皇家协会的论文中用谱这个术语描述分光仪产生连续色带。,Joseph，在测量太阳和星体发射的光线时，发现看到的光线的谱包含不同的色光。,19世纪中叶发现，每种化学元素受热辐射出不同的色光。因此，可以通过化学元素的光谱来辨识每种化学元素。,频率分析,从物理学，每一种颜色对应一种可见光谱的特定频率。因此，从光到颜色的分析就是一种频率分析。信号的频率分析将信号分解成正弦频率分量。不同的信号拥有不同的谱，谱是信号的又一种表示.频率分析的基本目的:给出一个分析任意给定信号的频率分量的数学和图形表示方式。可以证明:实际中大多数有意义的信号能分解为正弦信号分量和的形式。,用基本数学工具获得信号的频谱的过程称为频率或者频谱分析。在实际中，用信号的测量值来确定信号的谱的过程称为谱估计。可以把谱估计当做从信号源获取信号的一类谱分析(例如，语音、EEG、ECG等)。用于获取信号的谱估计的软件或者仪器被称为频谱分析仪。傅里叶分析工具：傅里叶级数和傅里叶变换代替了棱镜作用。,主要内容1 连续时间周期信号的傅里叶级数2 周期信号的功率谱密度3 连续时间非周期信号的傅里叶变换4 非周期信号的能量谱密度,1 连续时间周期信号的傅里叶级数,实际中经常碰到的周期信号就是方波、矩形波、三角波，当然包括正弦波和复指数。周期信号的基本数学表示就是傅里叶级数，它是谐波相关正弦信号或者复指数信号的线性加权和。复指数谐波线性组合,这是一个周期信号，基本周期为。,基本模块，只需要适当选取基本频率和系数，就可由它构造出不同类型的周期信号。,系数 的确定:,1 连续时间周期信号的傅里叶级数综合方程 分析方程 如果信号是周期的且满足Dirichlet条件，则它一定可以表示为综合方程的傅里叶级数，其中系数由分析方程确定。Dirichlet条件 信号 在一个周期内不连续点的个数有限。信号 在一个周期内最小点和最大点的个数有限。信号 在一个周期内绝对可积，即 实际中，感兴趣的所有周期信号都满足这些条件。,周期信号为实数 另一种形式展开式 实周期信号傅里叶级数展开的三种等价形式。,2 周期信号的功率谱密度,平均功率功率信号的Parseval关系,物理含义 显然，代表了信号第 个谐波分量的功率。因此，周期信号总的平均功率是所有谐波平均功率的和。连续周期信号的功率谱密度图,连续周期信号的功率谱密度图,实周期信号,幅度谱是偶函数，相位谱是奇函数。,例 给出矩形脉冲序列的傅里叶级数和功率谱密度。解:基本周期:,当 时，固定脉冲宽度，而改变周期,矩形脉冲串信号的功率谱密度,3 连续时间非周期信号的傅里叶变换分析方程(正变换)综合方程(逆变换)傅里叶级数和傅里叶变换的本质区别在于后者的谱是连续的，因此，在从非周期信号的频谱合成非周期信号的过程中，用积分运算代替了求和运算。傅里叶变换对可以用角频率变量 表示,4 非周期信号的能量谱密度 设信号 是具有傅里叶变换 的能量有限信号。能量定义:Parseval定理:它是信号能量在时域和频域之间的守恒定理。能量密度谱:谱一般是复值的，极坐标表示为:是被积函数，代表了信号能量随着频率变化的分布情况,被称为信号 的能量密度谱。实信号的能量谱密度是偶对称的。,例4.1.2 确定矩形脉冲信号的傅里叶变换和能量谱密度。,解:信号是非周期的并且满足Dirichlet条件，因此它的傅 里叶变换存在。应用式（），得到,矩形脉冲信号的谱是按 周期性地重复脉冲所得周期信号的谱线(傅里叶系数)的包络，,时域和频域之间的不确定性原理:当信号在时域扩展(压缩)时，则在频域压缩(扩展)。,4.2 离散时间信号的频率分析,1 离散时间周期信号的傅里叶级数2 周期信号的功率谱密度3 离散时间非周期信号的傅里叶变换4 傅里叶变换的收敛性5 非周期信号的能量谱密度6 傅里叶变换与z变换之间的关系7 倒谱8 在单位圆上有极点的信号的傅里叶变换9 取样定理的回顾10 信号的频域分类：带宽的概念11 一些自然信号的频率范围12 物理和数学上的二重性,1 离散时间周期信号的傅里叶级数周期序列 的周期为，对所有的，有它的傅里叶级数表示包含 个指数谐波函数 综合方程:分析方程:综合方程通常被称为离散时间傅里叶级数(DTFS),傅里叶系数 给出了信号的频域分析。,傅里叶系数的表示式:,信号或者它的谱的任意 个连续的取样提供了信号在时域或者频域的完整描述。,例4.2.1 确定下列信号,所以,信号是非周期的。因此，不能用傅立叶级数展开。但是，它确实有频谱。他的频谱仅仅包含,(c),(b)和(c)中所讨论的周期信号的谱,2 周期信号的功率谱密度,周期为 的离散时间周期信号的平均功率:离散时间周期信号的Parseval关系信号的平均功率是单个频率分量的功率之和。序列 是功率作为频率的函数的分布,被称为周期信号的功率谱密度。单个周期上的能量,例4.2.2 确定周期方波信号的傅里叶级数的系数和功率谱密度。,解:,3 离散时间非周期信号的傅里叶变换,综合方程(逆变换)分析方程(正变换)离散时间有限能量信号的傅里叶变换和有限能量模拟信号的傅里叶变换之间两个基本区别#连续时间信号的傅里叶变换的频率范围是。离散时间信号的频率范围在 或 上确定。#离散时间信号的傅里叶变换涉及到求和项,而不是连续时间信号情形中的积分。,4 傅里叶变换的收敛性,如果信号 绝对可和，肯定一致收敛。放松一致收敛的条件,定义有限能量序列的傅里叶变换，强加均方收敛的条件,这样，存在傅里叶变换的信号中就可以包括有限能量的信号。,一个有限能量信号的例题,(1)式和(2)式的变换对,如何确定序列的傅里叶变换,的示意图在 处有一个明显的震荡尖峰，而且它与 的值无关。随着 增加，震荡变得更快，但波纹的大小相同。当，震荡收敛到不连续点 处，但它们的幅度不会趋近于0。然而，在均方意义上收敛于。,连续时间周期信号的傅里叶级数被截断时，就可以看到类似的效果。,5 非周期信号的能量谱密度,离散时间信号的能量定义用谱特征 来表示能量 具有有限能量的离散时间非周期信号的Parseval关系。的能量谱密度假定 是实数,例4.2.4 确定序列的傅里叶变换和能量谱密度。,常数幅度脉冲和周期方波的傅里叶变换之间的关系,6 傅里叶变换与z 变换之间的关系,7 倒谱,假定 是一个稳定序列，它的 变换为，定义.在语音信号处理中，(实)倒谱已用于从语音信号音调频率中分离以及估计语音信号的成份。实际中，复倒谱可以分离卷积后的信号。分离两个卷积信号的过程称为反卷积，用复倒谱实现这个过程的方法称为同态反卷积。,倒谱(B)在该收敛域内，可以用Laurent 级数表示为,如果 可以表示为幂级数,则 是稳定的。如果复倒谱存在，则在单位圆上收敛，可得：,8 在单位圆上有极点的信号的傅里叶变换,如果单位圆在 的收敛域内，则序列 的傅里叶变换可以通过计算它的 变换在单位圆上的值得到。否则，傅里叶变换不存在。有些非周期序列，既不是绝对可和，又不是平方可和，因而它们的傅里叶变换不存在。延伸傅里叶变换的表示很有用。通过允许信号谱中出现冲激，就可以将傅里叶变换延伸到那些既不能绝对可和也不能平方可和的序列。,9 取样定理的回顾,.如果模拟信号的谱能够从离散时间信号的谱中完全恢复，那么就没有损失信息。通过寻找模拟信号的谱和离散时间信号的谱之间的关系来研究取样过程。如果 是非周期且能量有限的信号 从 取样得到离散时间信号,周期性取样在离散时间信号的频率变量 和模拟信号的频率变量 之间建立联系：,例如，假定一个带限模拟信号的谱如图(a)所示。当 时，谱为0。如果，则离散时间信号的谱 将如图(b)所示，清晰可见。,离散时间信号的谱包含了模拟信号谱的混叠频率分量，最终使得无法从取样中恢复出原始信号。,当不存在混叠时,用取样信号重构原始模拟信号的内插公式,内插函数,利用理想内插公式重构连续时间信号,在所有其他时刻，可以通过内插函数的时移形式的加权求和准确得到。,取样定理,最高频率(带宽)为 的连续时间带限信号，当取样率 时，可以从它的取样信号惟一恢复出原始信号。根据取样定理和重构公式,从取样恢复模拟信号需要无限个取样。仅关心从有限个取样恢复有限时宽的信号。如果取样率太低，则出现混叠，该效果可以用模拟信号的频率变量在频率轴上多重折叠来描述。,时域和频域函数之间的关系,假定模拟信号是带限的并且对其进行取样的取样率等于或者高于Nyquist率。,实际中，在取样之前都要做抗混叠预滤波,由混叠所引起的失真可通过提高取样率来有效地减轻,10 信号的频域分类：带宽的概念,低频信号:信号的功率(或能量)谱密度集中在零频率附近。,高频信号:如果信号功率(能量)谱密度集中在高频。,中频信号(或带通信号):信号的功率（能量）谱密度集中在低频和高频之间很宽的范围内的某处。,功率或能量集中分布的频率范围的定量表示被称为信号的带宽。例如，假定一个连续时间信号的功率(或能量谱密度)的 集中在频率范围，那么这个信号的 的带宽就是。对于带通信号，如果信号的带宽与中频相比很小，则信号就被称为窄带信号。反之，是宽带信号。如果一个信号的谱在 的频率范围之外都为0，那么它是带限信号。.没有一个信号既是时限的，同时又是带限的。进而，一个信号的时宽和频宽之间存在互为互易的关系。,11 一些自然信号的频率范围,一般地，为了从观测信号提取信息，要对信号作频率分析。为了测量参数或者提取其他类型的信息，在信号处理时，我们必须大致知道获取信号的频率范围。,12 物理和数学上的二重性,已经介绍过的频率分析工具有：,时域的两种特征(时间变量是连续还是离散以及信号是周期还是非周期)决定了信号频谱的类型连续信号具有非周期谱离散时间信号具有周期谱周期信号具有离散谱能量有限的非周期信号具有连续谱 在一个域的具有周期为 的周期性自然地意味着在另一个域中具有间隔为 的离散性，反之亦然。.,4.3 离散时间信号傅里叶变换的性质,1 傅里叶变换的对称性2 傅里叶变换定理和性质,1 傅里叶变换的对称性,变换(分析式)和逆变换(综合式)对称性分析可以简化傅里叶变换和傅里叶逆变换公式.,实信号,谱具有Hermitian对称性。,实偶信号实奇信号,实偶信号的谱是实偶函数,实奇信号的谱是纯虚值的，而且是频率变量的奇函数。,纯虚信号,傅里叶变换对称性总结,2 傅里叶变换定理和性质,线性性时移性 时域反转卷积定理相关定理 Wiener-Khintchine定理频移性调制定理Parseval定理两个序列的乘积(加窗定理)周期卷积频域微分,线性性,傅里叶变换是对信号的一种运算，它是一个线性变换.若则有,时移性,若则有,时域反转,若则有,卷积定理,若则有,例4.3.2 确定信号的傅里叶变换。,卷积性质的图形解释,相关定理 若则有,证明,称为信号x1(n)和x2(n)的互能量密度谱。,Wiener-Khintchine定理,能量信号的能量谱密度就是该信号的自相关序列的傅里叶变换假定 是实信号，那么有,频移性,若则有,调制定理,Parseval定理若则有,两个序列的乘积（加窗定理）若则有,周期卷积,两个有相同周期的函数的卷积，称为周期卷积。注意到积分限是在单个周期内。对于连续时间信号的卷积，时域和频域之间具有对偶性，即时域的卷积等于频域的乘积，时域的乘积等于频域的卷积。,由于离散时间信号的傅里叶变换具有周期性，关于卷积运算，在时域和频域之间没有像在连续时间信号情况下完美的对偶性。对于离散时间信号，时域卷积等价于傅里叶变换（连续的、周期的）的乘积。然而，非周期序列的乘积等价于它们的傅里叶变换的周期卷积。在基于加窗技术的FIR滤波器设计中，加窗定理是非常有用的。,频域微分 若 则有,p248,4.5 小结傅里叶级数和傅里叶变换是在频域分析信号特征的数学工具。傅里叶级数适宜于周期信号的表示，它把周期信号表示成谐波相关的正弦分量的加权和，其中加权系数表示每个谐波分量的强度，加权系数幅度的平方表示每个谐波分量的功率。傅里叶级数是周期信号许多可能的正交级数展开中的一种,它的重要性源于LTI系统的特性。傅里叶变换适合于表示具有有限能量的非周期信号的谱特性,给出了傅里叶变换的重要性质。,