数字信号处理(丁玉美版)教案第7章.ppt

第7章 有限长单位脉冲响应,7.1 线性相位FIR滤波器的特点 7.2 用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 等波纹线性相位滤波器7.5 FIR滤波器和IIR滤波器的比较7.6 数字滤波器的应用,7.1 线性相位FIR滤波器的特点,如果FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是实序列,且满足偶对称或奇对称的条件，即h(n)=h(N-1-n)则滤波器就具有严格的线性相位特点。,7.1.1 线性相位特性(1)先看h(n)偶对称的情况:h(n)=h(N-1-n)0nN-1（7-1）其系统函数为,将m=N-1-n代入,即,上式改写成,（7-2）,（7-3）,h(n)偶对称的情况,滤波器的频率响应为,（7-4）,可以看到，上式的以内全部是标量，如果我们将频率响应用相位函数()及幅度函数H()表示,（7-5）,h(n)偶对称的情况,那么有：,（7-6）,（7-7）,式(7-6)的幅度函数H()是标量函数，可以包括正值、负值和零，而且是的偶对称函数和周期函数;而|H(ej)|取值大于等于零,两者在某些值上相位相差。式(7-7)的相位函数()具有严格的线性相位，如图7-1所示。,h(n)偶对称的情况,图 7-1 h(n)偶对称时 线性相位特性,h(n)偶对称的情况,数字滤波器的群延迟()定义为,（7-8）,式中，grd(groupdelay)为群延迟函数。由式（7-8）可知，当h(n)满足偶对称时，FIR数字滤波器具有(N-1)/2个采样的延时，它等于单位脉冲响应h(n)长度的一半。也就是说，FIR数字滤波器的输出响应整体相对于输入延时了(N-1)/2个采样周期。(2)再看h(n)奇对称的情况:,h(n)=-h(N-1-n)0nN-1,（7-9）,h(n)偶对称的情况,其系统函数为,因此,H(z)=-z-(N-1)H(z-1),（7-10）,h(n)奇对称的情况,同样可以改写成,（7-11）,h(n)奇对称的情况,其频率响应为,（7-12）,所以有:,（7-13）,（7-14）,h(n)奇对称的情况,幅度函数H()可以包括正值、负值和零，而且是的奇对称函数和周期函数。如图7-2所示。当h(n)为奇对称时，FIR滤波器不仅有(N-1)/2 个采样的延时，还产生一个90的相移。这种使所有频率的相移皆为90的网络，称为移相器，或称正交变换网络。它和理想低通滤波器、理想微分器一样，有着极重要的理论和实际意义。当h(n)为奇对称时，FIR滤波器将是一个具有准确的线性相位的正交变换网络。,h(n)奇对称的情况,图 7-2 h(n)奇对称时线性相位特性,h(n)奇对称的情况,7.1.2 幅度响应特性,1.第一种类型：h(n)为偶对称，N为奇数从h(n)偶对称的幅度函数式（7-6）,可以看出，不但h(n)对于(N-1)/2 呈偶对称，而且 也对(N-1)/2 呈偶对称，即:,由上，幅度函数就可以表示为,再进行一次换元，即令，则上式可改写为,h(n)为偶对称，N为奇数,可表示为,（7-15）,式中:,（7-16a）,n=1,2,3,(N-1)/2,（7-16b）,按照式（7-15），由于式中cos(n)项对=0,2皆为偶对称，因此幅度函数H()对于=0,，2也呈偶对称。,h(n)为偶对称，N为奇数,2.第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数 推导过程和前面N为奇数相似，不同点是由于N为偶数，因此式（7-6）中无单独项，全部可以两两合并得,令，代入上式可得,因此,（7-17）,式中:,n=1,2,3,N/2,（7-18）,按照式（7-17），当=时，余弦项对=呈奇对称，因此H()=0，即H(z)在z=ej=-1 处必然有一个零点，而且H()对=呈奇对称。当=0或2时，或-1，余弦项对=0,2为偶对称，幅度函数H()对于=0,2也呈偶对称。如果数字滤波器在=处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。,h(n)为偶对称，N为偶数,因此，,即h(n)奇对称时，中间项一定为零。此外，在幅度函数式（7-13）中，也对(N-1)/2 呈奇对称。,3.第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数将h(n)奇对称的幅度函数式（7-13）重写如下：,由于h(n)对于(N-1)/2 呈奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)，当n=(N-1)/2时，,因此，在中第n项和第(N-1-n)项是相等的，将这两两相等的项合并，共合并为(N-1)/2，即,h(n)为奇对称，N为奇数,令，则上式可改写为,即,式中:,n=1,2,3,(N-1)/2,（7-20）,（7-19）,h(n)为奇对称，N为奇数,由于sin(n)在=0,2处都为零，并对这些点呈奇对称，因此幅度函数H()在=0,2处为零，即H(z)在z=1上都有零点，且H()对于=0,2也呈奇对称。如果数字滤波器在=0,2处不为零，例如低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计，除非不考虑这些频率点上的值。,h(n)为奇对称，N为奇数,4.第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数 和前面情况3推导类似，不同点是由于N为偶数，因此式（7-13）中无单独项，全部可以两两合并得,令，则有,因此,式中:,（7-22）,（7-21）,由式（7-21），当=0,2时，且对=0,2呈奇对称，因此H()在=0,2处为零，即H(z)在z=1 处有一个零点，且H()对=0,2也呈奇对称。,h(n)为奇对称，N为偶数,当=时，或1，则 对=呈偶对称，幅度函数H()对于=也呈偶对称。如果数字滤波器在=0,2处不为零，例如低通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。最后,将这四种线性相位FIR滤波器的特性示于表7-1中。,h(n)为奇对称，N为偶数,表7-1 四种线性相位滤波器,表7-1 四种线性相位滤波器,7.1.3 线性相位FIR滤波器的零点位置 由式（7-2）与式（7-10）可以看到，线性相位FIR滤波器的系统函数有以下特点：H(z)=z-(N-1)H(z-1)（7-23）因此，若z=zi是H(z)的零点，即H(zi)=0，则它的倒数z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零点，因为H(zi-1)=zi(N-1)H(zi)=0;而且当h(n)是实数时，H(z)的零点必成共轭对出现，所以z=zi*及z=(z*i)-1也一定是H(z)的零点，因而线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。这种互为倒数的共轭对有四种可能性：,(1)zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，如图7-3(a)所示。(2)zi不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本身，故此时零点是一组共轭对，如图7-3(b)所示。(3)zi在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分。故零点对如图7-3(c)所示。(4)zi既在实轴上又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可能，或位于z=1，或位于z=-1，如图7-3(d)、(e)所示。,图 7-3 线性相位FIR滤波器的零点位置图,由幅度响应的讨论可知，第二种类型的线性相位滤波器由于H()=0，因此必然有单根z=-1。第四种类型的线性相位滤波器由于H(0)=0,因此必然有单根z=1。而第三种类型的线性相位滤波器由于H(0)=H(）=0，因此这两种单根z=1 都必须有。了解了线性相位FIR滤波器的特点，便可根据实际需要选择合适类型的FIR滤波器，同时设计时需遵循有关的约束条件。下面讨论线性相位FIR滤波器的设计方法时，都要用到这些特点。,7.1.4 举例 例 7-1 如果系统的单位脉冲响应为,0n4,其他n,显然，这是第一种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为,该系统的振幅、相位和群延迟示于图7-4中。因为h(n)的长度N=5，群延迟也是整数，()=(N-1)/2=2。,图 7-4 例7-1系统的频率响应（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延迟,例 7-2 系统的单位脉冲响应为,h(n)为偶对称且长度N=6，因此，这是第二种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为,该系统的振幅、相位和群延迟示于图7-5中。,图7-5 例7-2系统的频率响应(a）振幅特性;(b)相位;(c)群延迟,例 7-3 系统的单位脉冲响应为h(n)=(n)-(n-2)h(n)为奇对称且长度N=3，因此，这是第三种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为,该系统的振幅、相位和群延迟示于图7-6中。,图 7-6 例7-3系统的频率响应（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延迟,例 7-4 系统的单位脉冲响应为h(n)=(n)-(n-1)h(n)为奇对称且长度N=2，这是第四种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为,该系统的振幅、相位和群延迟示于图7-7中。,图7-7 例7-4 系统的频率响应（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延迟,例 7-5 一个FIR线性相位滤波器的单位脉冲响应是实数的，且n6 时h(n)=0。如果h(0)=1且系统函数在z=0.5ej/3和z=3 各有一个零点，H(z)的表达式是什么？解 因为n6 时h(n)=0，且h(n)是实值，所以当H(z)在z=0.5ej/3 有一个复零点时，则在它的共轭位置z=0.5e-j/3 处一定有另一个零点。这个零点共轭对产生如下的二阶因子：,H1(z)=(1-0.5ej/3 z-1)(1-0.5e-j/3z-1)=1-0.5z-1+0.25z-2,线性相位的约束条件需要在这两个零点的倒数位置上有零点，所以H(z)同样必须包括如下的有关因子：,系统函数还包含一个z=3 的零点，同样线性相位的约束条件需要在z=1/3 也有一个零点。于是，H(z)还具有如下因子：,由此，我们有,最后，多项式中零阶项的系数为A，为使h(0)=1，必定有：A=1。,