指数函数与对数函数性质.ppt

第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质1.函数的三要素：定义域、值域、对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表 示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函 数是同一函数.2.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图.作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是 图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变 换、对称变换.,3.函数的性质（1）单调性 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量的值x1,x2,且x1f(x2)成立，则 f(x)在D上是减函数）.（2）奇偶性 对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都 有f(-x)=-f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(-x)=f(x)成立，则f(x)为偶函数）.（3）周期性,周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条 件：当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x);T是不为零的最小正数.一般地，若T为f（x）的周期，则nT（nZ）也为 f(x)的周期，即f(x)=f(x+nT).（4）最值 一般地，设函数y=f（x)的定义域为I,如果存在实 数M满足：对于任意的xI,都有f(x)M(f(x)M)；存在x0I,使f(x0)=M，那么称M是函数y=f(x)的 最大值（最小值）.,4.函数单调性的判定方法（1）定义法：取值，作差，变形，定号，作答.其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解.（2）导数法.（3）复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.5.函数奇偶性的判定方法(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件.（2）对于定义域内的任意一个x，若都有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.若都有f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.,若都有f(-x)-f(x）=0，则f(x)为偶函数.若都有f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数.6.指数函数与对数函数的图象和性质,一、函数的概念例1 设a1,若仅有一个常数c使得对于任意的 xa，2a，都有ya，a2满足方程 logax+logay=c,这时a的取值的集合为.思维启迪 将方程问题转化成函数，同时注意定 义域和值域.解析 logax+logay=c，logaxy=c（c0）.xy=ac,由于仅有一个常数c,使xa，2a时，y a,a2满足方程.因此a,a2应是函数 在xa，2a时的值域（因为常数c只有一个，,从而函数的定义域确定时，值域也是确定的).ax2a，且a1，探究提高 题目中的方程是一个不定方程，其实 质是一个函数（隐函数），求出这个函数的解析 式是解题的突破口，解题的关键是理解“对于任 意的xa，2a，都有ya，a2”指的是“函数 在a，2a上的值域是a，a2的子 集”，然后利用不等式理论及题意，求出常数a.,答案 2,变式训练1（2009山东理，10）定义在R上的 函数f(x)满足 则f(2 009)的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 当x0时，因为f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1).f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x).f(x+6)=f(x).即当x0时，函数f(x)的周期是6.又f(2 009)=f(3346+5)=f(5),由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.,C,二、函数的性质例2 设kR，函数 F（x）=f（x）-kx，xR.试讨论函数F（x）的单 调性.思维启迪 本题可以分k=0，k0,k0中x1,k0中x1,k0中 x1,需用导数法判断.解,对于 当k0时,函数F(x)在(-,1)上是增函数;当k0时,函数F(x)在 上是减函数,在 上是增函数.对于F(x)=-kx(x1),当k0时,函数F(x)在(1,+)上是减函数;当k0时,函数F(x)在 上是减函数，在,探究提高（1）判断函数的单调性的一般思路：对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合 法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复 合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判 断问题；对于解析式较复杂的用导数法或定义法.（2）对于函数的奇偶性的判断，首先要看函数的 定义域是否关于原点对称，其次再看f（-x）与 f(x)的关系.（3）求函数最值常用的方法有单调性法、图象 法、基本不等式法、导数法和换元法.,变式训练2 已知函数(x0,常数 aR).（1）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f(x)在x2，+）上为增函数，求 a的取值范围.解（1）方法一 定义域x|x0,xR.故定义域关于原点对称.若f(x)=是奇函数，则f(-x)=-f(x)恒成立，即 恒成立.x2=0恒成立.x0,x2=0不恒成立，f（x）不是奇函数.,若 是偶函数，则f(-x)=f(x)恒成立，即 xR,且x0,要使 恒成立，故a=0,结合知当a=0时，是偶函数.当a0时，f(x)是非奇非偶函数.方法二 a=0时，f(x)=x2(x0),f(-x)=f(x),故a=0时，f(x)是偶函数.a0时，f(1)=1+a,f(-1)=1-a,1+a1-a=f(-1),1+a-(1-a)=-f(-1),即f(1)-f(-1),f(1)f(-1),f（x）是非奇非偶函数.结合知当a=0时，f(x)是偶函数,当a0时，f(x)是非奇非偶函数.（2）方法一 设2x14,x1+x24,x1x2(x1+x2)-a0恒成立.即a16,只需a16即可，a的取值范围是（-，16.方法二 要使f(x)在2，+）上是增函数，则f(x)0在x2，+）时恒成立.即 2x3-a0,a2x3恒成立.a(2x3)min,x2，+），2x3是增函数，（2x3）min=16，a16.方法三 令f(x)0，则 即f(x)的递增区间为 要使f(x)在2,+)上是增函数，则,三、函数的图象及其应用例3 设函数 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求关于x的方程f(x)=x的解的个数.思维启迪 由两个已知条件求出b,c，再利用函数 图象或解方程求解.解 方法一 由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,方程f(x)=x等价于,即x=2,或 x=2,或x=-1,或x=-2,即f(x)=x有3个解.方法二 由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得b=4,c=2.图象如图所示.方程f(x)=x解的个数即y=f(x)与y=x图象的交点个数.由图知两图象有A、B、C三 个交点,故方程有3个解.,探究提高 函数的图象从直观上很好地反映出了 函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图 象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起 到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点 个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则 容易出错.变式训练3 已知 则下列函数 的图象错误的是（）,解析 函数f(x)=的图象如图所示.函数f(x-1)的图象只需将y=f(x)的图象向右平移一 个单位，故A正确；函数f(-x)的图象只需将y=f(x)的图象关于y轴对 称，故B正确；函数f(|x|)的图象只需将y=f(x)的图象y轴右侧图象 不变，左侧部分图象与右侧部分关于y轴对称，故 C正确；由于函数 恒大于零，故|f(x)|的图象与y=f(x)的图象相同，故D项错误.,答案 D,四、基本初等函数问题例4 已知函数 若f(x0)2,则x0的取值范围是.思维启迪 本题可以分x00和x00两种情况讨 论，分别得到简单的指数、对数不等式，再根据 幂和对数运算性质转化为同底数幂值、对数值比 较大小，最后用指数、对数函数单调性求解.解析 当x00时，f(x0)2化为,当x00时，f(x0)2化为log2(x0+2)2,即log2(x0+2)log2 4,x0+24,x02,x0的取值范围是（-，-12，+）.答案 探究提高(1)熟练掌握基本初等函数的图象和性 质是解决此类题目的关键.（2）要注意化归和分类讨论的思想在这些题目中 的应用.,（-,-12,+),变式训练4 已知周期为2的函数f(x)是奇函数，当 x（-1，0）时，f(x)=-2-x，则 的值为.解析(-6,-5),设-6x-5,则0 x+61,-1-(x+6)0.f（x）的周期为2,f(x+6)=f(x).又f（x）为奇函数，f-(x+6)=-f(x+6).当x(-6,-5)时，f(x)=f(x+6)=-f-(x+6)=2x+6.,例5 设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根 x1和x2满足0 x1x21,（1）求实数a的取值范围；（2）试比较f(0)f(1)-f(0)与 的大小,并说明理由.思维启迪（1）从二次方程根的分布去考虑，运 用数形结合的思想去解决.（2）先计算f(0)f(1)-f(0)=2a2,实质上是比较大小 问题.解（1）令F(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,如图所示，要使F(x)的两个零点 x1,x2(0,1),且x1x2,解得 故所求a的取值范围是(2)f(0)f(1)-f(0)=f(0)f(1)-1=a(1+2a-1)=2a2,f(0)f(1)-f(0),探究提高 处理二次方程根的分布问题，要注意数形结合，函数与方程等思想方法的运用，具体求解时一般考虑判别式、对称轴位置、函数在端点的符号、列出不等式（组）求解即可，对于大小比较问题，一般用比较法或函数的单调性进行.,变式训练5 设函数f(x)=x2+2bx+c(cb1)，f(1)=0且方程f(x)+1=0有实根.（1）证明：-3c-1;（2）证明：b0；（3）若x0是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(x0-4)的正负，并加以证明.证明(1)方程f(x)+1=0，即x2+2bx+c+1=0有实根，=4b2-4(c+1)0，即(c+1)2-4(c+1)0.c-1或c3.-3c-1.,（2）由（1）知c-1,c+10,（3）f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1).x0是方程f(x)+1=0的根，f(x0)+1=0,f(x0)=-10.故f(x0-4)为正值.,规律方法总结 函数是反映客观世界中两个变量的依存关系的数学模型.1.定义域、值域和对应法则是决定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先”.2.单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”.判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.对于选择题和填空题，也可用一些命题，如两个增（减）函数的和函数仍为增（减）函数.,3.函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分（一半）区间上，是简化问题的一种途径.4.函数图象是函数的一种直观形象的表示，是函数部分运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、用图三个基本问题.5.函数图象的对称性（1）若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x)，则f(x)的图象关于直线x=a对称.,（2）若f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象 关于直线 对称.（3）若函数y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x)，则该函数图象关于点（a,b）成中心对称.6.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中.,7.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.对于幂函数，掌握好考纲中列出的五种常用的幂函数即可.8.注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.,一、选择题1.（2009四川文，2）函数y=2x+1（xR）的反函 数是（）A.y=1+log2x(x0)B.y=log2(x-1)(x1)C.y=-1+log2x(x0)D.y=log2(x+1)(x-1)解析 函数y=2x+1,当x R时，y0,x+1=log2y,x=-1+log2y.f-1(x)=-1+log2x(x0).,C,2.已知函数f(x)=ax(a0且a1)在区间-2，2上 的函数值总小于2,则log2 a的取值范围是（）A.B.C.D.解析,C,3.（2009辽宁理，9）已知偶函数f(x)在区间 0,+）上单调递增，则满足 的x的取值范围是（）A.B.C.D.解析 方法一 当2x-10,即 时，因为f(x)在0，+）单调递增，故需满足 即 所以 当2x-10,即 时，由于f(x)是偶函数，故f(x),在（-,0单调递减，此时需满足2x-所以 综合可得 方法二 f(x)为偶函数 f(2x-1)=f(|2x-1|)又f(x)在0,+)上为增函数.,答案 A,4.若函数f(x)=loga|x+1|在区间(-1,0)上恒有f(x)0,则f(x)的单调递增区间是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)解析 设u=|x+1|,如图所示.当x(-1,0)时,u(0,1),由f(x)恒大于0,知0a1,由复合函数 的单调性质知f(x)的单调递增区间是(-,-1).,B,5.(2009山东理，6)函数 的图象大致 为（）解析 函数有意义，需使ex-e-x0,其定义域为 x|x0.又因为 所以 当x0时函数为减函数，故选A.,A,二、填空题6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=当2x3时，f(x)=x,则f(1.5)=.解析,2.5,7.(2009徐州三模)已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a),对于任意x2,当x0时,恒有f(x+x)f(x)，则实数a的取值范围是.解析 当x2,+）且x0时，恒有f(x+x)f(x),即当x2，+）时，f(x)为单调增函数.二次函数g(x)=x2-ax+3a的对称轴 a4.又g(2)=4-2a+3a0,a-4.-4a4.,（-4，4,8.给出下列命题：如果函数f(x)对任意的x1,x2R，且x1x2，都有(x1-x2)f（x1）-f（x2）0时,f(x)0,g(x)0,则xg(x).其中正确的命题是.(请将所有正确命题的 序号都填上),解析 当x10，即f(x1)f(x2);当x1x2时，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2),所以f(x)为减函数，故正确.f（x）=-f(2+x),f(x)=-f(2+x)=-f(2+2+x)=f(4+x),所以f(x)的周期为T=4，故正确.举反例，若f(x)=2x,则f(x+1)-2=2(x+1)-2=2x,所以两函数图象重合，故不正确.f（x）=-f（-x），g（-x）=g（x），f（x）为奇函数，,g(x)为偶函数.又x0时,f(x)0,g(x)0,x0,g(x)g(x),故正确.答案 三、解答题9.如果函数f(x)的定义域为x|x0，且f(x)为增函 数，f(xy)=f(x)+f(y).（1）求证：(2)已知f(3)=1,且f(a)f(a-1)+2，求a的取值范围.,（1）证明(2)解 f(3)=1,f(a)f(a-1)+2,f(a)-f(a-1)2.f(x)是增函数，a的取值范围是,10.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a0),F(x)=若f(-1)=0，且对任意实数x均有 f(x)0成立.（1）求F（x）的表达式；（2）当x-2，2时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求k的取值范围.解（1）f(-1)=0,a-b+1=0,b=a+1,f(x)=ax2+(a+1)x+1.f(x)0恒成立，,f(x)(x0),-f(x)(x0).,a=1,从而b=2,f(x)=x2+2x+1,(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.g（x）在-2，2上是单调函数，或 解得k-2,或k6.所以所求k的取值范围为k-2,或k6.,返回,