序列的Z变换与傅里叶变换.ppt

第二章 序列的Z变换与傅里叶变换,2,本章目录,序列的Z变换,序列的傅里叶变换,序列的Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,Matlab实现,3,2.1 引言,信号与系统的分析方法:时域分析变换域分析,连续时间信号与系统 信号用时间 t的函数表示系统用微分方程描述,离散时间信号与系统 信号用序列表示系统用差分方程描述,4,时域与频域分析,傅里叶变换,时间域,频率域(复频域),拉普拉斯变换,推广,离散时间傅里叶变换,时间域,频率域(复频域),Z变换,推广,连续时间信号与系统,离散时间信号与系统,5,本章主要内容,序列的Z变换,Z变换的主要性质,序列的傅里叶变换,傅里叶变换的主要性质,6,2.2 序列的Z变换,Z变换及其收敛域的定义几种序列的Z变换及其收敛域逆Z变换Z变换的性质和定理利用Z变换求解差分方程,7,2.2.1 Z变换及其收敛域的定义,序列的Z变换定义双边Z变换,单边Z变换,因果序列的Z变换:单边Z变换可以看成因果序列情况下的双边Z变换,8,Z平面与单位圆,变量z的极坐标形式,Z平面:Z变换定义式中z所在的复平面，z是一个连续复变量，具有实部和虚部,单位圆:在Z平面上|z|=1为半径的圆单位圆上的参数可表示为,9,例:求序列的Z变换,例2.1 求序列 的Z变换。,解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义,分析收敛性：X(z)是无穷项幂级数。,X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为,当|z|a时级数发散，当|z|a|时级数收敛。,10,Z变换的收敛域,根据级数理论，式(2.1)收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件，即,收敛域:对于给定的任意序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合组成的区域。,根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域,收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域,11,2.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域,序列x(n)的性质决定了X(z)的收敛域，不同形式的序列其收敛域不同。,有限长序列：0|z|+或 0|z|+右边序列：Rx-|z|+左边序列：0|z|Rx+双边序列：Rx-|z|Rx+,12,有限长序列,有限长序列只在有限区间n1nn2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零,Z变换,要求：在有限区间内级数的每一项都有界，则有限项的和有界，级数就收敛。,x(n)有界,开域,边界讨论：z=0及z=两点是否也收敛与n1、n2取值情况有关。,13,例：求有限长序列的Z变换,例2.2 求序列 的Z变换。,讨论：假设|a|是有限值，且|a|1。X(z)有一个z=a的极点，但也有一个z=a的零点，将零极点对消。收敛域为0|z|+。,解：根据Z变换的定义,14,右边序列,右边序列只在有限区间nn1 内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零,Z变换,假设：级数(2.5)在某个圆|z|=|z1|上绝对收敛,15,右边序列（因果）的收敛域,假设：z是圆外任意一点，即|z|z1|,当n10时，序列为因果序列,显然，级数X(z)收敛。,讨论：级数X(z)中没有正幂项，|z|=+时级数收敛，因此收敛域包括点，即为Rx-|z|+,16,右边序列（非因果）的收敛域,当n1 0时，序列为非因果序列,显然，当z取有限值时，级数X1(z)的值有限，而级数X2(z)收敛。所以，级数X(z)的收敛域是以Rx-为半径的圆的外部区域，即Rx-|z|+,17,左边序列,左边序列只在有限区间nn2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零,Z变换,假设：级数(2.5)在某个圆|z|=|z2|上绝对收敛,18,左边序列（逆因果）的收敛域,假设：z是圆内任意一点，即|z|z2|,当n2 0时，序列为逆因果序列,显然，级数X(z)收敛。,讨论：级数X(z)中没有负幂项，|z|=0时级数收敛，因此收敛域包括0点，即为0|z|Rx+,19,左边序列（非逆因果）的收敛域,当n20时，序列为非因果序列,显然，当z取0外的有限值时，级数X2(z)的值有限，而级数X1(z)收敛。所以，级数X(z)的收敛域是以Rx+为半径的圆的内部区域，即0|z|Rx+,20,例：求左边序列的Z变换,例2.3 求序列 的Z变换。解：,讨论：当|az|1，即|z|1/|a|时，级数收敛。X(z)可用封闭形式表示 X(z)有一个z=1/a的极点，但也有一个z=0的零点。,21,双边序列,双边序列指n从-到+都具有非零的有限值，可看成右边序列和左边序列的和,Z变换,讨论：X1(z)收敛域为0|z|Rx+；X2(z)收敛域为Rx-|z|+。双边序列Z变换的收敛域是公共部分。如果满足Rx-Rx+，则X(z)的收敛域为环状区域，即Rx-|z|Rx+；如果满足Rx-Rx+，则X(z)无收敛域。,22,例：求双边序列的Z变换,例2.4 己知序列,讨论：极点为z1=a和z2=b 零点为z1=0和z2=(a+b)/2 收敛域为环域a|z|b,解：,如果0ab，求其Z变换及其收敛域。,23,2.2.3 逆Z变换,逆Z变换:由X(z)及其收敛域求序列x(n)的变换。求逆Z变换的方法:幂级数法(长除法)部分分式展开法围线积分法。,24,幂级数法(长除法),Z变换的定义可知:X(z)是复变量z-1的幂级数，其系数是序列x(n)的值,显见:只要在给定的收敛域内，把X(z)展开成幂级数，则级数的系数就是序列x(n),X(z)展开成幂级数的方法:log，sin，cos等函数:利用幂级数公式有理分式:直接用长除法,25,例：幂级数法求逆Z变换,例2.5 求，|a|z|的逆Z变换。,展开X(z)得,解：利用ln(1+x)，且|x|1的幂级数公式,由收敛域|a|z|知x(n)为右边序列,注:X(z)的闭合形式加上收敛域，才能唯一确定x(n)。,26,长除法:展开有理分式X(z),使用前判定对应x(n)类型:由收敛域确定右边序列(或因果序列)左边序列(或逆因果序列)。,根据x(n)类型展开X(z)右边序列:X(z)展成负幂级数，分子分母应按z的降幂排列左边序列:X(z)展成正幂级数，分子分母应按z的升幂排列。,27,例：长除法-X(z)降幂排列,例2.6 求，|z|3的逆Z变换。,解：收敛域是圆外部，对应右边序列。当z时，X(z)趋近于有限值0，说明收敛域包括点，因此是因果序列。把X(z)的分子分母按z的降幂排列,长除运算，得,由此得到,28,例：长除法-X(z)升幂排列,例2.7 求，|z|3的逆Z变换。,解：收敛域是圆内部，对应左边序列。当z=0时，X(z)趋近于有限值0，说明收敛域包括0点，因此是逆因果序列。把X(z)的分子分母按z的升幂排列,长除运算，得,由此得到,29,部分分式展开法,方法：如果有理分式X(z)是两个实系数多项式P(z)和Q(z)的比，展开成部分分式，求各简单分式的逆Z变换，再相加得到x(n)。,式中，ck是X(z)的非零零点，dk是X(z)的非零极点P(z)和Q(z)的阶次分别为M和N。,30,部分分式系数的计算,当MN且X(z)只有一阶极点时，则,由留数定理,当MN且X(z)除有一阶极点外，在z=di处还具有s阶极点，则,式中，Br用长除法得到，系数cm由式(2.13)得到,31,例：部分分式法求逆Z变换,例2.用部分分式法求逆Z变换。,求得系数为,解：收敛域为圆外，右边序列。z时，X(z)趋近于有限值1，确定是因果序列。X(z)有两个一阶极点：z1=2和z2=0.5,查表2.1可得,32,2.2.4 Z变换的性质和定理,线性：满足叠加原理 Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z)，R-|z|R+(2.20),例2.12 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的Z变换。,由于出现零极点抵消，收敛域增大了。由于x(n)是n0的有限长序列，收敛域是除|z|=0之外的全部z平面。,33,Z变换性质,序列的移位：,证明,乘以指数序列：,证明,34,Z变换性质,序列的线性加权：,证明,序列的折叠：,证明,35,Z变换性质初值定理,初值定理：若x(n)是因果序列，即x(n)=0，n0，则,证明：x(n)是因果序列，有,显然,若x(n)是逆因果序列，即x(n)=0，n0，有,36,Z变换性质终值定理,终值定理：若x(n)是因果序列，且X(z)的全部极点，除在z=1处可以有一阶极点外，其余极点都在单位圆内，则,证明：由移位性质可得,x(n)是因果序列，则,有,37,Z变换性质,序列的卷积：W(z)=Zx(n)*y(n)=X(z)Y(z)，R-|z|R+,证明,交换求和次序，并代入m=n-k得,38,例：Z变换性质求卷积,例2.,X(z)和H(z)收敛域分别为|z|a和|z|b，所以,解：查表得,由收敛域知y(n)是因果序列,讨论：在z=a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，如果|b|a|，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大，如图2.10所示。,39,2.2.5 利用Z变换求解差分方程,N阶线性常系数差分方程,时域求解,Z变换移位性质,Z变换求解,差分方程,代数方程,Z变换式,输出序列,逆Z变换,解方程,40,例：Z变换求差分方程,例2.5 已知一个线性时不变系统的差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)，设初始条件y(-1)=2，输入 时系统的输出序列。,解：,于是,零输入解和零状态解分别为,41,2.3 序列的傅里叶变换,序列傅里叶变换的定义,序列傅里叶变换的性质,周期序列的傅里叶级数表示,周期序列的傅里叶变换表示,42,2.3.1 序列傅里叶变换的定义,序列的傅里叶变换定义,傅里叶逆变换定义,由Z变换定义式,比较可见:序列的傅里叶变换在数值上等于它在z平面单位圆上取值的Z变换,43,傅里叶变换对的计算,频谱用实部和虚部表示,频谱用幅度和相位表示,幅度特性,相位特性,44,例：求序列傅里叶变换,例2.6 求序列x(n)=RN(n)的傅里叶变换。,解：,画出模和相位的曲线，如图2.11。,45,序列傅里叶变换的特点,频谱是的连续周期函数，周期为2。,x(n)为实序列时，频谱幅度在区间02内是偶对称函数，相位是奇对称函数。,46,2.3.2 序列傅里叶变换的性质,线性：满足叠加原理,2序列的移位：,3序列的调制：,4序列乘以n：,47,序列傅里叶变换的性质,5序列的折叠：,6序列的复共轭：,7序列的卷积：,令n-k=m,48,序列的乘积,8序列的乘积：,49,序列的乘积,8帕斯瓦尔定理：能量守恒定理，表明信号在时域的总能量等于其频域的总能量,50,序列傅里叶变换的对称性,任何序列x(n)总能表示为一个共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)之和,定义xe(n)和xo(n),序列x(n)与xe(n)和xo(n)的关系,51,序列傅里叶变换的对称性质,52,2.3.3 周期序列的傅里叶级数表示,周期序列定义：,周期序列不是绝对可和的：在任何z值下，其Z变换都不收敛,周期序列的傅里叶级数表示,ak:傅里叶级数的系数基频序列:e1(n)k次谐波序列:ek(n),53,周期序列用离散傅里叶级数表示,离散傅里叶级数只有N个独立谐波分量:因为复指数序列是k的周期函数,周期序列:只取k0到N-1的N个独立谐波分量足以表示原信号,54,周期序列的离散傅里叶级数变换对,离散傅里叶级数正变换,离散傅里叶级数反变换,55,周期序列：时域与频域,时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也是周期序列,周期序列与有限长序列之间本质联系：周期序列的信息可用它在一个周期中的N个值来代表，式(2.76)与(2.77)中只取N个序列值说明这一点。,56,例：求周期序列的傅里叶级数,例2.7 设，0，1，2，3，0，1，2，3，是一个以N=4为周期的周期序列，求离散傅里叶级数。,解：,因此得到，离散傅里叶级数，6，-2+2j，-2，-2-2j，6，-2+2j，-2，-2-2j，,57,2.3.4 周期序列的傅里叶变换表示,例2.8 设=，1，1，1，1，0，0，0，0，是一个以N=8为周期的周期序列，求傅里叶变换。,解：如图2.14(a)是周期序列的周期N=8，傅里叶变换为,参考例2.16，可以得到,58,2.4 序列的Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,对连续时间信号的理想取样输出，求拉普拉斯变换,与离散时间信号的变换式比较，得到,当 时，取样序列xa(nT)的变换等于取样信号 的拉普拉斯变换。,59,s平面到z平面的映射关系,将s平面用直角坐标表示，即s=+j，z平面用极坐标表示，代入式(2.90)中，得到,因此,=0时，r0=1，s平面的j轴映射成z平面的单位圆；0时，r01，s平面的左半平面映射成z平面的单位圆内部；0时，r01，s平面的右半平面映射成z平面的单位圆外部；,60,序列的Z变换与傅里叶变换的关系,傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即sj，因而映射到z平面上为单位圆，代入式(2.89)得,取样序列在单位圆上的变换，等于其理想取样信号的傅里叶变换。,61,2.5 Matlab实现,序列逆Z变换的Matlab实现,周期序列傅里叶级数的Matlab实现,62,2.5.1 序列逆Z变换的Matlab实现,函数residuez:适合计算离散系统有理函数的留数和极点，可以用于求解序列的逆Z变换。,函数residuez基本调用方式:r,p,c=residuez(b,a);输入参数:b=b0，b1，bM为分子多项式的系数,a=a0，a1，aN为分母多项式的系数，这些多项式都按z的降幂排列 输出参数:r是极点的留数，p是极点，c是无穷项多项式的系数项，仅当MN时存在。,63,例：计算逆Z变换,例2.19 计算 的逆Z变换。,解:有理分式X(z)分子和分母多项式都按z的降幂排列。,b=0,1;a=2,-3,1;%多项式的系数r,p,c=residuez(b,a);%求留数、极点和系数项disp(留数:);disp(r);%显示输出参数disp(极点:);disp(p);disp(系数项:);disp(c);,程序运行结果为留数:1-1极点:1.0000 0.5000系数项:,X(z)的部分分式形式为,逆Z变换为,64,2.5.2 周期序列傅里叶级数的Matlab实现,DFS式(2.77)的矩阵形式,由周期序列的DFS定义，0nN-1，0kN-1，有,只需计算WN因子，由矩阵理论可计算式(2.99),65,例：计算周期序列离散傅里叶级数,例2.21 计算 以N=4为周期进行周期延拓，求周期序列的离散傅里叶级数。,解:,xn=0,1,2,3;N=4;%设定序列和周期n=0:1:N-1;k=0:1:N-1;%设定n和kWN=exp(-j*2*pi/N);%设定Wn因子nk=n*k;WNnk=WN.nk;%计算W矩阵Xk=xn*WNnk;%计算DFS的系数Xkdisp(xn);disp(Xk);%显示计算结果(系数),程序运行结果为0 1 2 36.0000-2.0000+2.0000i-2.0000-0.0000i-2.0000-2.0000i,