平面直角坐标系中的基本公式.ppt

平面直角坐标系中的基本公式,一.两点间的距离公式,当AB不平行于坐标轴时，也不在坐标轴上时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线 AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分别为A1(x1，0)，A2(y1，0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，其中直线 BB1 和 AA2 相交于点 C。,C,在直角ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2x1|，|BC|=|A2B2|=|y2y1|，,由勾股定理得|AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2x1|2+|y2y1|2，,由此得到计算两点间距离的公式：d(A，B)=|AB|,C,两点间的距离公式,已知：A(x1，y1)，B(x2,y2),则AB两点间距离的公式：d(A，B),当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2x1|；（y2=y1）,当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y2y1|；(x2=x1),当B为原点时，d(A，B)=(x2=y2=0),特别地：,已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：,（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2，y2).（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即x=x2x1，y=y2y1.,求两点距离的步骤,（3）计算 d=,（4）给出两点的距离 d.,通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离.,例1.已知A(2，4)，B(2，3)，求d(A，B)。,解：x1=2，x2=2，y1=4，y2=3，,x=x2x1=4，y=y2y1=7，,d(A，B)=,例题解析,例2已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0),求证：ABC是等腰三角形。,证明：因为 d(A，B)=,d(A，C)=,d(B，C)=,因为|AC|=|BC|，且A，B，C不共线，,所以ABC是等腰三角形。,坐标法,坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.,用坐标法证题的步骤,（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；（2）设出未知坐标；（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论.,例3已知ABCD，求证:AC2+BD2=2(AB2+AD2).,证明：取A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，,依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(ba，c)，,AB2=a2，AD2=(ba)2+c2，AC2=b2+c2，BD2=(b2a)2+c2，,AC2+BD2=4a2+2b2+2c24ab=2(2a2+b2+c22ab)，,AB2+AD2=2a2+b2+c22ab，,所以：AC2+BD2=2(AB2+AD2).,二.中点坐标公式,已知A(x1，y1),B(x2，y2)两点，M(x，y)是线段AB的中点，则有 x-x1=x 2-x,y-y1=y2-y,（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。,（2）若已知点P(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的点坐标为P(2x0 x，2y0y).,（3）利用中点坐标可以求得ABC（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐标为,例4已知ABCD的三个顶点A(3，0)，B(2，2)，C(5，2)，求顶点D的坐标。,解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同。设D点的坐标为(x，y)，,则,解得,所以点D的坐标是(0，4).,小结：作业：,再见,例5 已知点A(1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，ACB=90，则满足条件的点C的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）4,解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由ACB=90，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，,(13)2+(31)2=(x+1)2+32+(x3)2+12，解得x=0或x=2,若点C在y轴上，设C(0，y)，由ACB=90得|AB|2=|AC|2+|BC|2，可得y=0 或y=4，,而其中原点O(0，0)计算了两次，故选C.,例6ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|=|CE|.,证明：如图，以B点为坐标原点，取AC所在的直线为x轴建立直角坐标系.,设ABD和BCE的边长分别为a和c，,则A(a，0)，C(c，0),D，E，,于是|AE|=,|CD|=,所以|AE|=|CD|.,例7.求函数y=的最小值.,解：函数的解析式可化为,令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|+|PB|取最小值.,A(0，1)关于x轴的对称点为A(0，1)，,即函数y=的最小值为,练习题：,1 如果一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标是1，则端点B的纵坐标是（）（A）3（B）5（C）3或5（D）1或3,C,2设A(1，2)，在x轴上求一点B，使得|AB|=5，则B点的坐标是（）（A）(2，0)或(0，0)（B）(，0)（C）(，0)（D）(，0)或(，0),D,3若x轴上的点M到原点及点(5，3)的距离相等，则M点的坐标是（）（A）(2，0)（B）(1，0)（C）(1.5，0)（D）(3.4，0),D,4若点M在y轴上，且和点(4，1)，(2，3)等距离，则M点的坐标是.,5若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)的距离相等，则x+y的值等于.,7,6已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是。,7已知ABC的两个顶点A(3，7)，B(2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是。,(2，7)或(3，5),8 已知A(1，2)，B(3，b)两点间的距离等于4，则b=。,6或2,