平面图形的面积.ppt

1,小结 思考题 作业,直角坐标下平面图形的面积,7.2 平面图形的面积,极坐标下平面图形的面积,今天的口水就是明天的眼泪,学习的痛苦是暂时的,学不到的痛苦是终生的,2,回忆,的几何意义:,曲边梯形的面积.,启示,一般曲线围成区域的面积如何计算?,定积分,下面曲线均假定是连续曲线.,等于介于y=f(x),直线x=a,x=b与x轴之间,3,求这两条曲线及,直线x=a,x=b所围成的区域的面积A.,面积微元dA为,它对应的,(1),即,区间,一、直角坐标下平面图形的面积,设在区间a,b上,曲线y=f(x)位于曲线,y=g(x)的上方,在a,b上任取一个小,4,(2),由曲线 x=f(y),和直线y=c,x=d,所围成的区域的,面积A.,面积微元dA为,它对应的,区间,x=g(y),在c,d上任取一个小,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,若选 为积分变量呢？,6,例,解,画草图,求两曲线交点的坐标以便,解方程组:,交点,面积微元,法一,选 为积分变量,?,确定积分限,7,法二,选 y为积分变量,面积微元,8,(3),平面图形(如图)面积为,?,设f(x)、g(x)在a,b上连续,则曲线,y=f(x)、y=g(x)与直线x=a,x=b所围成的,解,两曲线的交点,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,11,解,曲线的参数方程为,由对称性,作变量代换,例,其中,总面积等于4倍第一象限部分面积.,不易积分.,12,解,面积,练习,作变量代换,求摆线(旋轮线),与x轴所围图形的面积.,13,面积微元,曲边扇形的面积,由极坐标方程,给出的平面曲线,所围成的面积A.,和射线,曲边扇形,二、极坐标下平面图形的面积,14,解,由对称性知总面积,=4倍第一象限部分面积,例,求双纽线,所围平面图形的面积.,15,解,利用对称性知,例,求心形线,所围平面图形的,面积,16,解,求交点,由对称性,2,例,求心形线,的公共部分的面积.,所围图形与圆盘,17,解,交点,由对称性,是双纽线方程.,极坐标方程:,极坐标方程:,练习,18,求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形,(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分,分平面图形的方法有:,分竖条,分横条,分成扇形,分成圆环.,的面积.,运算),三、小结,思考题,思考题解答,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,22,解,求由抛物线,与过焦点的弦所围成的图形,设,记,面积的最小值.,焦点,(变)弦,(1),(2),求交点,练习,23,(3),设,因为S(k)单减,所以,求由抛物线,与过焦点的弦所围成的,图形面积的最小值.,24,作业,习题7.2(251页),25,练习,解,利用对称性知,的公共部分面积.,26,解,两曲线的交点,画草图,练习,27,思考题,位置无关.,分别,表示从点,向抛物线,引出的两条切线的切点.,在点,的切线方程:,即,又,解,28,于是切线,的方程分别为,所围图形的,面积为,可见A与x0无关,A与点P(x0,y0)位置无关.,29,答案,(1),成的面积最小.,(2),之间图形面积.,答案,练习,30,解,之间图形面积.,对称性,所求面积A为在第一象限中,由直线,x轴,及椭圆,所围图形面积的,8倍.,将椭圆,化为极坐标方程.,(2),练习,将,代入椭圆,得,31,