平面及其方程空间直线及其方程.ppt
第6节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程,第八章,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求过三点,即,解:取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此平面的三点式方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程为,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习：习题8-6 题1，题3.,题1.题3.,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊情形,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,平面平行于 x 轴;,A x+C z+D=0 表示,A x+B y+D=0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,By+C z=0 表示经过x轴的平面；,A x+C z=0 表示经过y轴的平面；,A x+By=0 表示经过z轴的平面；,C z+D=0 表示平行于 xoy 面 的平面;,A x+D=0 表示平行于 yoz 面 的平面;,B y+D=0 表示平行于 zox 面 的平面.,例2.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过 x 轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,(自己练习),机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题8.6 题8(1)(3),三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有下列结论：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此有,例4.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,外一点,求,例5.设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解:已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业:习题8-6,题2,题6,题8(2),一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七节空间直线及其方程,第八章,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1.一般式方程,直线可视为两平面交线，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.对称式方程,故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.参数式方程,设,得参数式方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习：习题8-7 题1，题2,4,二、线面间的位置关系,1.两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3.求过点(1,2,4)且与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线 L:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,相交,求此直线方程.,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法2 利用所求直线与L2 的交点.,即,故所求直线方程为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入上式,得,由点法式得所求直线方程,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业：习题8-7题 3.题7.题9自测题8,
